Terminale A · Leçon 5
Fonction ln et exponentielle
Fonction logarithme népérien : définition, propriétés algébriques
Il existe une unique fonction dérivable sur \(]0\,;+\infty[\), notée \(\ln\) (logarithme népérien), vérifiant :
\[ \ln(1) = 0 \qquad\text{et}\qquad (\ln x)' = \frac{1}{x} \quad\text{pour tout } x > 0. \]Ce sont les deux caractéristiques qui définissent \(\ln\) de façon unique. Toutes les autres propriétés en découlent.
Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\) :
\[ \ln(ab) = \ln a + \ln b. \]On en déduit immédiatement, pour \(a, b > 0\) et \(n \in \mathbb{Z}\) :
\[ \ln\!\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a \qquad \ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^{n}) = n\ln a. \]Puisque \((\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0\) pour tout \(x > 0\), la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\).
\[ \lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty. \]Valeurs remarquables : \(\ln 1 = 0\) et, par définition du nombre \(e\), \(\ln e = 1\) (avec \(e \approx 2{,}718\)).
| \(x\) | \(0^+\) | \(\frac{1}{e}\) | \(1\) | \(e\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
| variation | ↗ strictement croissante | ||||
Pour simplifier \(\ln A\) avec \(A > 0\), on factorise \(A\) en produit, quotient ou puissance, puis on applique les règles algébriques.
- Factoriser l'expression sous le \(\ln\).
- Développer avec \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\).
- Simplifier les termes restants.
Calculer \(\ln\!\left(\dfrac{e^{3}}{\sqrt{e}}\right)\).
\(\ln\!\left(\dfrac{e^{3}}{\sqrt{e}}\right) = \ln(e^3) - \ln(e^{1/2}) = 3\ln e - \tfrac{1}{2}\ln e = 3 - \tfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\).
Résoudre \(\ln(2x - 1) = \ln 3\) (sur \(]1/2\,;+\infty[\)).
\(\ln\) étant strictement croissante, l'équation \(\ln A = \ln B\) est équivalente à \(A = B\). Donc \(2x - 1 = 3\), soit \(x = 2\). On vérifie : \(2 \cdot 2 - 1 = 3 > 0\). Solution : \(\{2\}\).
Résoudre \(\ln x \leq \ln(3x - 2)\) sur leur domaine commun.
Domaine : \(x > 0\) et \(3x - 2 > 0\), donc \(x > 2/3\). Comme \(\ln\) est croissante, l'inéquation équivaut à \(x \leq 3x - 2\), soit \(2 \leq 2x\), soit \(x \geq 1\). En intersectant avec le domaine : \(x \geq 1\). Solution : \([1\,;+\infty[\).
On ne peut écrire \(\ln A\) que si \(A\) est strictement positif. Avant tout calcul, il faut donc préciser le domaine en imposant \(A > 0\). Oublier cette condition entraîne une pénalité systématique au Bac.
Pour comparer deux réels strictement positifs \(a\) et \(b\), on peut étudier le signe de \(\ln a - \ln b = \ln(a/b)\) : il est positif si et seulement si \(a/b > 1\), c'est-à-dire \(a > b\). La croissance de \(\ln\) transforme une comparaison de réels en une comparaison de logarithmes.
Figure 1 — Courbe de y = ln x (déplacer le curseur pour lire les valeurs)
tangente en \(a\)
Fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^{x}\), est la fonction réciproque de \(\ln\). Cela signifie que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[ \ln(e^{x}) = x \qquad\text{et}\qquad e^{\ln x} = x \;(x > 0). \]En particulier, \(e^{0} = 1\), \(e^{1} = e \approx 2{,}718\) et \(e^{-1} = 1/e\). La notation \(e^{x}\) est préférable à \(\exp(x)\) car elle respecte les règles de calcul sur les puissances.
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[ e^{a+b} = e^{a} \cdot e^{b} \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^{a}} \qquad e^{a-b} = \frac{e^{a}}{e^{b}} \qquad (e^{a})^{n} = e^{na}. \]On admet que \((e^{x})' = e^{x}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Comme \(e^{x} > 0\), la dérivée est toujours positive : \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[ \lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0 \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty. \]| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(e^{x}\) | \(0^+\) | \(e^{-1}\) | \(1\) | \(e\) | \(+\infty\) |
| variation | ↗ strictement croissante | ||||
Pour passer d'une équation/inéquation en \(\ln\) à une en \(e\) (ou inversement), on utilise la bijectivité et les relations réciproques :
- \(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u, v > 0\)).
- \(\ln u = k \iff u = e^{k}\) (avec \(u > 0\)).
- \(e^{u} = e^{v} \iff u = v\).
- \(e^{u} = k \iff u = \ln k\) (avec \(k > 0\)).
- Les inégalités : \(\ln u < \ln v \iff u < v\) et \(e^u < e^v \iff u < v\).
Résoudre \(e^{2x-1} = e^{x+3}\).
Comme \(\exp\) est injective : \(2x - 1 = x + 3\), donc \(x = 4\). Solution : \(\{4\}\).
Résoudre \(e^{x} = 5\) sur \(\mathbb{R}\).
En appliquant \(\ln\) des deux membres (loisible car \(5 > 0\)) : \(\ln(e^{x}) = \ln 5\), soit \(x = \ln 5\). Solution : \(\{\ln 5\}\).
Résoudre \(e^{3x} > e^{x+4}\).
Comme \(\exp\) est croissante : \(3x > x + 4\), soit \(2x > 4\), donc \(x > 2\). Solution : \(]2\,;+\infty[\).
\(e^{\ln x}\) n'est défini que pour \(x > 0\), mais \(\ln(e^{x})\) est défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Ne jamais appliquer \(\ln\) à un nombre négatif ou nul : \(\ln(-2)\) n'existe pas.
Lorsqu'une expression de la forme \(A \cdot e^{kx} + B\) doit être étudiée, on met \(e^{kx}\) en facteur pour lire le signe. Exemple : \(e^{x} - 2 = e^{x}(1 - 2e^{-x})\) — mais on préfère souvent étudier \(f(x) = e^{x} - 2\) directement : \(f(x) > 0 \iff e^x > 2 \iff x > \ln 2\).
Figure 2 — Courbe de y = e^x et tangente en x = a
tangente en \(a\)
Fonctions réciproques et symétrie des courbes
Deux fonctions réciproques l'une de l'autre ont leurs courbes représentatives symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Pour \(\ln\) et \(\exp\), cela signifie que le point \((a\,;\, b)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\exp}\) si et seulement si \((b\,;\, a)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\ln}\).
On pose \(g(x) = e^{x} - x - 1\) et on cherche le minimum de \(g\).
- \(g'(x) = e^{x} - 1\) : \(g'(x) < 0\) pour \(x < 0\), \(g'(x) > 0\) pour \(x > 0\).
- \(g\) est donc décroissante puis croissante, avec un minimum en \(x = 0\).
- \(g(0) = 1 - 0 - 1 = 0\), donc \(g(x) \geq 0\) pour tout \(x\).
- On conclut : \(e^{x} \geq x + 1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), avec égalité uniquement en \(x = 0\).
Cette inégalité est très souvent demandée en préliminaire d'exercice de Bac.
Montrer que \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\).
Pour \(x > 0\), on pose \(t = \ln x\) (qui parcourt \(\mathbb{R}\) quand \(x\) parcourt \(]0\,;+\infty[\)). L'inégalité \(e^{t} \geq t + 1\) s'écrit \(x \geq \ln x + 1\), soit \(\ln x \leq x - 1\). L'égalité a lieu en \(t = 0\), c'est-à-dire en \(x = 1\).
Sur la figure interactive ci-dessous, on peut vérifier que le passage d'un point de \(\mathcal{C}_{\exp}\) à sa symétrique par rapport à \(y = x\) donne bien un point de \(\mathcal{C}_{\ln}\). Le curseur permet de déplacer le point et d'observer la construction en temps réel.
Figure 3 — Symétrie de ln et exp par rapport à y = x (déplacer le point bleu)
\(y = \ln x\)
\(y = x\)
Résumé
Définie sur \(]0\,;+\infty[\), \(\ln 1 = 0\), \((\ln x)' = 1/x\). Croissante, \(\ln x \to -\infty\) en \(0^+\), \(\ln x \to +\infty\) en \(+\infty\). Règles : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\).
Réciproque de \(\ln\) : \(e^{\ln x} = x\) (\(x > 0\)), \(\ln(e^x) = x\). Croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(e^x \to 0\) en \(-\infty\), \(\to +\infty\) en \(+\infty\). \((e^x)' = e^x\), \(e^{a+b} = e^a e^b\), \(e^{-a} = 1/e^a\).
\(\ln u = k \iff u = e^k\) (avec \(u > 0\)). \(e^u = k \iff u = \ln k\) (avec \(k > 0\)). \(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u,v > 0\)). \(e^u = e^v \iff u = v\).
\(e^x \geq x + 1\) pour tout \(x\) (égalité en \(x = 0\)). Corollaire : \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\) (égalité en \(x = 1\)). Ces inégalités se démontrent par étude du minimum d'une fonction auxiliaire.
Les courbes de \(\ln\) et de \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Cela signifie que \((a\,;b) \in \mathcal{C}_{\exp}\) ssi \((b\,;a) \in \mathcal{C}_{\ln}\).
\(\ln A\) n'est défini que si \(A > 0\). Toujours préciser le domaine avant de résoudre une équation ou inéquation. Oublier cette condition entraîne une pénalité directe au Bac.
Sujet type Bac
Question 1 — Domaine et limites aux bornes.
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) car \(e^{x}\) et les fonctions polynômes sont définies sur \(\mathbb{R}\).
En \(-\infty\) : Quand \(x \to -\infty\), \(e^{x} \to 0\) avec une vitesse beaucoup plus grande que \(|x|\) croît (\(e^x\) est une infiniment petite rapide). Donc \((x-1)e^{x} \to 0\), soit \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = 1\). La droite \(y = 1\) est une asymptote horizontale en \(-\infty\).
En \(+\infty\) : \((x-1) \to +\infty\) et \(e^{x} \to +\infty\), donc \((x-1)e^x \to +\infty\) et \(f(x) \to +\infty\).
Question 2 — Dérivée et tableau de variations.
On dérive \(f(x) = (x-1)e^{x} + 1\) par la règle du produit :
\(f'(x) = 1 \cdot e^{x} + (x-1) \cdot e^{x} = e^{x}(1 + x - 1) = x\,e^{x}.\)
Comme \(e^{x} > 0\) pour tout \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x\) : \(f'(x) < 0\) pour \(x < 0\) et \(f'(x) > 0\) pour \(x > 0\). Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) et croissante sur \([0\,;+\infty[\), avec un minimum en \(x = 0\) : \(f(0) = (0-1)e^0 + 1 = -1 + 1 = 0\).
Question 3 — Sens de la variation de \(f'\).
On calcule \(f''(x) = (xe^x)' = e^x + xe^x = (1+x)e^x\). \(f''(x) > 0 \iff x > -1\), donc \(f'\) est croissante sur \([-1\,;+\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty\,;-1]\). La courbe de \(f\) présente un point d'inflexion en \(x = -1\) : \(f(-1) = (-2)e^{-1} + 1 = 1 - 2/e\).
Question 4 — Position par rapport à l'axe des abscisses.
Le minimum de \(f\) est \(f(0) = 0\). Comme \(f(0) = 0\) et c'est le minimum global, on a \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\), avec égalité uniquement en \(x = 0\).
Cela implique en particulier que \((x-1)e^{x} \geq -1\) pour tout réel \(x\), inégalité que l'on peut retrouver en posant \(t = x\) dans l'inégalité \(e^t \geq t + 1\) vue en cours.
Question 5 — Équation de la tangente au minimum.
Au point \((0\,;\, f(0)) = (0\,;\,0)\), la pente de la tangente est \(f'(0) = 0 \cdot e^0 = 0\). La tangente est donc l'axe des abscisses \(y = 0\). C'est cohérent avec le fait que \(x = 0\) est un minimum : la tangente y est toujours horizontale.