Terminale A · Leçon 7
Probabilités
Probabilités : univers, événements, équiprobabilité
On appelle expérience aléatoire toute expérience dont on ne peut pas prévoir à l'avance l'issue. L'ensemble de toutes les issues possibles est l'univers, noté \(\Omega\). Un événement est n'importe quel sous-ensemble de \(\Omega\) ; l'événement certain est \(\Omega\) lui-même, et l'événement impossible est l'ensemble vide \(\emptyset\).
Une probabilité est une fonction \(P\) qui associe à chaque événement \(A \subseteq \Omega\) un réel \(P(A) \in [0\,;1]\), vérifiant : \(P(\Omega)=1\), et pour deux événements incompatibles \(A\) et \(B\) : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Pour tous événements \(A\) et \(B\) d'un univers fini :
\[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad\quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). \]La première formule est dite de l'événement contraire : elle est souvent plus rapide que calculer \(P(A)\) directement quand \(A\) est compliqué.
Lorsque toutes les issues de \(\Omega\) sont également probables (situation dite d'équiprobabilité), la probabilité d'un événement se calcule par un simple comptage :
\[ P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à }A}{\text{nombre total d'issues de }\Omega}. \]Avant toute chose, vérifier que le contexte garantit l'équiprobabilité : dé non pipé, tirage au sort, urne dont on mélange les boules… Si ce n'est pas précisé, les probabilités sont données explicitement dans l'énoncé et l'on travaille directement avec elles.
Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité d'obtenir un numéro pair.
L'univers est \(\Omega = \{1,2,3,4,5\}\), avec \(|\Omega|=5\) issues équiprobables. L'événement « obtenir un nombre pair » est \(A=\{2,4\}\), d'où \(|A|=2\). On obtient :
\[P(A) = \frac{2}{5}.\]On lance un dé équilibré. Soit \(A\) = « obtenir un multiple de 2 » et \(B\) = « obtenir un multiple de 3 ». Calculer \(P(A \cup B)\).
\(A = \{2,4,6\}\), \(P(A)=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}\) ; \(B = \{3,6\}\), \(P(B)=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}\) ; \(A \cap B = \{6\}\), \(P(A \cap B)=\tfrac{1}{6}\). Donc :
\[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]Dans une classe de 30 élèves, 18 pratiquent un sport. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ne pratique aucun sport ?
Soit \(A\) = « pratiquer un sport ». \(P(A) = \tfrac{18}{30} = \tfrac{3}{5}\). Alors :
\[P(\bar{A}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}.\]Ce calcul par l'événement contraire est ici plus direct que compter les non-sportifs (même si \(30-18=12\) donne le même résultat).
Oublier de soustraire \(P(A \cap B)\) dans la formule de réunion est une erreur classique. On compte alors deux fois les issues qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\). Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles (\(A \cap B = \emptyset\)), alors \(P(A \cap B) = 0\) et la formule se simplifie, mais ce cas particulier doit être justifié.
Diagramme de Venn interactif — Opérations sur les événements
\(B\)
\(A \cap B\)
Opérations sur les événements, événements incompatibles
Deux événements \(A\) et \(B\) sont dits incompatibles (ou mutuellement exclusifs) si leur réalisation simultanée est impossible, c'est-à-dire si \(A \cap B = \emptyset\). Dans ce cas, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
L'événement contraire de \(A\), noté \(\bar{A}\), est l'événement « \(A\) ne se réalise pas ». On a toujours \(A\) et \(\bar{A}\) incompatibles, et \(A \cup \bar{A} = \Omega\), d'où \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\).
| Opération | Notation | Interprétation | Formule probabiliste |
|---|---|---|---|
| Intersection | \(A \cap B\) | \(A\) et \(B\) | Dépend de la situation (cf. probabilités conditionnelles) |
| Réunion | \(A \cup B\) | \(A\) ou \(B\) (ou les deux) | \(P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) |
| Contraire | \(\bar{A}\) | Ni \(A\) | \(1 - P(A)\) |
| Incompatibles | \(A \cap B = \emptyset\) | \(A\) et \(B\) ne peuvent pas arriver ensemble | \(P(A \cup B) = P(A)+P(B)\) |
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes ordinaires. Soit \(C\) = « obtenir un cœur » et \(R\) = « obtenir un roi ». Calculer \(P(C \cup R)\).
\(P(C) = \tfrac{13}{52} = \tfrac{1}{4}\) ; \(P(R) = \tfrac{4}{52} = \tfrac{1}{13}\) ; l'intersection \(C \cap R\) = « le roi de cœur » : \(P(C \cap R) = \tfrac{1}{52}\).
\[ P(C \cup R) = \frac{1}{4} + \frac{1}{13} - \frac{1}{52} = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \approx 0{,}308. \]Dès que l'énoncé contient les mots « au moins un », « au moins une fois » ou « aucun », penser immédiatement à l'événement contraire. Calculer \(P(\text{aucun}) = 1 - P(\text{au moins un})\) est presque toujours plus simple que la méthode directe.
Variable aléatoire discrète : loi, espérance, variance
Une variable aléatoire \(X\) définie sur \(\Omega\) est une fonction qui associe un réel à chaque issue de \(\Omega\). On dit que \(X\) est discrète lorsqu'elle ne prend qu'un nombre fini (ou dénombrable) de valeurs \(x_1 < x_2 < \cdots < x_n\).
La loi de probabilité de \(X\) est la donnée, pour chaque valeur \(x_i\), de la probabilité \(p_i = P(X = x_i)\). Elle se présente sous forme d'un tableau, et la somme de toutes les probabilités vaut nécessairement 1 :
\[ \sum_{i=1}^{n} p_i = p_1 + p_2 + \cdots + p_n = 1. \]Pour dresser la loi de probabilité d'une variable aléatoire \(X\), on suit systématiquement les étapes suivantes : (1) lister toutes les valeurs distinctes que peut prendre \(X\) ; (2) pour chaque valeur \(x_i\), identifier l'événement \(\{X = x_i\}\) en termes d'issues de \(\Omega\) ; (3) calculer sa probabilité ; (4) vérifier que la somme des \(p_i\) est bien égale à 1.
On lance un dé équilibré à 6 faces. On définit le gain \(X\) (en francs) par : \(X = 100\) si le résultat est 6 ; \(X = 20\) si le résultat est 2 ou 4 ; \(X = 0\) dans tous les autres cas (1, 3 ou 5).
| \(x_i\) | 0 | 20 | 100 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\) | \(\dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\) | \(\dfrac{1}{6}\) |
Vérification : \(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} + \dfrac{1}{6} = \dfrac{3}{6}+\dfrac{2}{6}+\dfrac{1}{6} = \dfrac{6}{6} = 1\).
Une urne contient 3 boules rouges et 2 boules noires. On tire 2 boules simultanément. Soit \(X\) le nombre de boules rouges obtenues.
Le nombre total de façons de tirer 2 boules parmi 5 est \(\binom{5}{2} = 10\). Les valeurs possibles de \(X\) sont 0, 1 et 2.
- \(P(X=0)\) : choisir 2 noires parmi 2 : \(\binom{2}{2}=1\), soit \(\tfrac{1}{10}\).
- \(P(X=1)\) : choisir 1 rouge parmi 3 et 1 noire parmi 2 : \(\binom{3}{1}\binom{2}{1}=6\), soit \(\tfrac{6}{10}=\tfrac{3}{5}\).
- \(P(X=2)\) : choisir 2 rouges parmi 3 : \(\binom{3}{2}=3\), soit \(\tfrac{3}{10}\).
| \(x_i\) | 0 | 1 | 2 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\dfrac{1}{10}\) | \(\dfrac{3}{5}\) | \(\dfrac{3}{10}\) |
Vérification : \(\tfrac{1}{10}+\tfrac{6}{10}+\tfrac{3}{10}=1\).
Attention à ne pas confondre les valeurs prises par \(X\) (qui peuvent être très grandes, comme 100 F ou 10 000 F) avec les probabilités correspondantes (qui sont toujours dans \([0\,;1]\)). Le tableau de la loi doit toujours avoir deux lignes clairement distinctes.
Histogramme de la loi de probabilité — Jeu de dé modifiable
Soit \(X\) une variable aléatoire de loi \((x_i, p_i)\). On définit :
\[ E(X) = \sum_{i} x_i\,p_i \qquad V(X) = \sum_{i} p_i\,x_i^{2} - \bigl[E(X)\bigr]^{2} \qquad \sigma(X) = \sqrt{V(X)}. \]L'espérance \(E(X)\) est la moyenne théorique : c'est la valeur que l'on obtiendrait en moyenne sur un très grand nombre de répétitions de l'expérience. La variance \(V(X)\) mesure l'écart quadratique moyen aux valeurs de \(X\) par rapport à leur espérance. L' écart-type \(\sigma(X)\) est l'écart-type, exprimé dans la même unité que \(X\), et quantifie la dispersion des valeurs autour de \(E(X)\).
La formule \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\) est équivalente à la définition. En pratique, on calcule d'abord \(E(X)\), puis \(E(X^2) = \sum p_i x_i^2\), et on soustrait le carré de l'espérance.
Étape 1 : dresser le tableau de la loi \((x_i, p_i)\). Étape 2 : calculer \(E(X) = \sum x_i p_i\) (chaque valeur multipliée par sa probabilité, puis on somme). Étape 3 : calculer \(E(X^2) = \sum x_i^2 p_i\) de la même façon. Étape 4 : \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\). Étape 5 : \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\) (souvent laissé sous forme approchée).
Pour \(X\) avec \(P(X=0)=\tfrac{1}{2}\), \(P(X=20)=\tfrac{1}{3}\), \(P(X=100)=\tfrac{1}{6}\) :
\[ E(X) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 20 \cdot \frac{1}{3} + 100 \cdot \frac{1}{6} = 0 + \frac{20}{3} + \frac{100}{6} = \frac{40}{6} + \frac{100}{6} = \frac{140}{6} \approx 23{,}33 \text{ F}. \] \[ E(X^2) = 0 \cdot \frac{1}{2} + 400 \cdot \frac{1}{3} + 10000 \cdot \frac{1}{6} = \frac{800}{6} + \frac{10000}{6} = \frac{10800}{6} = 1800. \] \[ V(X) = 1800 - \left(\frac{140}{6}\right)^{\!2} = 1800 - \frac{19600}{36} \approx 1800 - 544{,}44 \approx 1255{,}56. \qquad \sigma(X) \approx 35{,}43 \text{ F}. \]L'espérance indique qu'un joueur gagne en moyenne environ 23,33 F par partie, mais l'écart-type de 35,43 F montre que les résultats sont très dispersés autour de cette moyenne.
Reprenons \(X\) = nombre de boules rouges tirées (2 boules parmi 5 = 3R+2N) : \(P(X=0)=\tfrac{1}{10}\), \(P(X=1)=\tfrac{3}{5}\), \(P(X=2)=\tfrac{3}{10}\).
\[ E(X) = 0 \cdot \frac{1}{10} + 1 \cdot \frac{3}{5} + 2 \cdot \frac{3}{10} = 0 + \frac{6}{10} + \frac{6}{10} = \frac{12}{10} = 1{,}2. \] \[ E(X^2) = 0 + 1 \cdot \frac{3}{5} + 4 \cdot \frac{3}{10} = \frac{6}{10} + \frac{12}{10} = \frac{18}{10} = 1{,}8. \] \[ V(X) = 1{,}8 - (1{,}2)^2 = 1{,}8 - 1{,}44 = 0{,}36. \qquad \sigma(X) = 0{,}6. \]On retrouve ici que l'espérance 1,2 coïncide avec le résultat intuitif : dans une urne de 5 boules dont \(\tfrac{3}{5}\) sont rouges, en tirant 2, on en espère \(2 \times \tfrac{3}{5} = 1{,}2\) de rouges.
La variance est toujours positive ou nulle (nulle uniquement si \(X\) est constante). Si l'on obtient un résultat négatif, c'est qu'une erreur de calcul s'est glissée, le plus souvent dans le calcul de \(E(X)^2\) ou dans la somme des \(p_i x_i^2\).
Un jeu est dit équitable lorsque \(E(X) = 0\) (le gain moyen est nul). Si le prix de participation est \(c\) francs et que le gain brut est \(G\), le gain net est \(X = G - c\) ; le jeu est équitable si \(E(G) = c\). C'est une question classique de Bac.
Espérance et écart-type — Visualisation dynamique
Fonction de répartition
La fonction de répartition d'une variable aléatoire \(X\) est la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[F(x) = P(X \le x).\]C'est une fonction en escalier, croissante au sens large, qui vaut 0 avant la plus petite valeur de \(X\) et vaut 1 à partir de la plus grande. À chaque valeur \(x_i\), elle fait un saut d'amplitude \(p_i = P(X = x_i)\).
La fonction de répartition permet de calculer directement des probabilités d'intervalles :
\[ P(X \le b) = F(b) \qquad P(X > a) = 1 - F(a) \qquad P(a < X \le b) = F(b) - F(a). \]Attention : la convention habituelle est \(F(x) = P(X \le x)\), qui inclut la valeur \(x\). Ainsi \(P(X < x) = F(x) - P(X = x)\) (différent de \(F(x)\) si \(X\) prend la valeur \(x\) avec une probabilité non nulle).
Pour construire le graphe de \(F\) : (1) écrire les valeurs \(x_i\) dans l'ordre croissant ; (2) calculer les paliers de \(F\) en cumulant les probabilités de gauche à droite (\(F(x_i) = p_1 + p_2 + \cdots + p_i\)) ; (3) tracer des segments horizontaux avec un point plein à gauche et un cercle vide à droite (convention de continuité à droite).
Pour \(X\) définie par \(P(X=0)=\tfrac{1}{2}\), \(P(X=20)=\tfrac{1}{3}\), \(P(X=100)=\tfrac{1}{6}\), la fonction de répartition est :
\[ F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0, \\[4pt] \dfrac{1}{2} & \text{si } 0 \le x < 20, \\[6pt] \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{5}{6} & \text{si } 20 \le x < 100, \\[6pt] 1 & \text{si } x \ge 100. \end{cases} \]Par exemple : \(P(X \le 50) = F(50) = \tfrac{5}{6}\) (on tient compte des cas \(X=0\) et \(X=20\)) ; \(P(X > 20) = 1 - F(20) + P(X=20)\) … attention ici à la convention ! Comme \(F(20) = P(X \le 20) = \tfrac{5}{6}\), on obtient \(P(X > 20) = 1 - \tfrac{5}{6} = \tfrac{1}{6}\).
Fonction de répartition — Loi de X interactive
Curseur \(t\)
Résumé
\(P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\) — valable uniquement quand toutes les issues sont équiprobables.
\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). \(P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
Tableau \((x_i, p_i)\) avec \(\sum p_i = 1\). Toujours vérifier la somme des probabilités.
\(F(x) = P(X \le x)\) — fonction en escalier croissante de 0 à 1, paliers cumulés de gauche à droite.
\(E(X) = \sum x_i p_i\). \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\). \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
Si \(X\) est le gain net : jeu équitable \(\Leftrightarrow\) \(E(X)=0\). Favorable au joueur \(\Leftrightarrow\) \(E(X)>0\).
Sujet type Bac
Énoncé. Une cible circulaire est divisée en trois zones concentriques. La probabilité d'atteindre la zone centrale (rouge) est \(\tfrac{1}{5}\), celle d'atteindre la zone intermédiaire (bleue) est \(\tfrac{2}{5}\), et celle d'atteindre la zone extérieure (blanche) est \(\tfrac{2}{5}\). Un joueur lance une fléchette et reçoit 150 F s'il touche le rouge, 50 F s'il touche le bleu, et 0 F s'il touche le blanc. Le coût de participation est de 40 F.
Soit \(G\) le gain brut (avant soustraction du coût) et \(X = G - 40\) le gain net du joueur.
Question 1 — Loi de probabilité de G.
Les valeurs de \(G\) sont directement données par les gains de chaque zone. La loi de \(G\) est donc :
| \(g_i\) | 0 | 50 | 150 |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g_i)\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) |
Vérification : \(\tfrac{2}{5}+\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{5} = \tfrac{5}{5} = 1\).
Question 2 — Espérance de G.
En moyenne, le joueur gagne brut 50 F par partie.
Question 3 — Loi de X et espérance de X.
Le gain net est \(X = G - 40\). On en déduit les valeurs de \(X\) : \(X = 0 - 40 = -40\) si blanc ; \(X = 50 - 40 = 10\) si bleu ; \(X = 150 - 40 = 110\) si rouge.
| \(x_i\) | \(-40\) | 10 | 110 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) |
On calcule alors :
\[ E(X) = (-40) \cdot \frac{2}{5} + 10 \cdot \frac{2}{5} + 110 \cdot \frac{1}{5} = \frac{-80+20+110}{5} = \frac{50}{5} = 10 \text{ F}. \]Remarque : on pouvait aussi utiliser la linéarité de l'espérance : \(E(X) = E(G) - 40 = 50 - 40 = 10\) F. Les deux méthodes s'accordent.
Question 4 — Le jeu est-il favorable au joueur ?
Un jeu est favorable au joueur si \(E(X) > 0\). Ici \(E(X) = 10 > 0\) : le jeu est favorable au joueur — en moyenne, il gagne 10 F par partie. Ce n'est pas un jeu équitable (\(E(X) \ne 0\)).
Question 5 — Variance et écart-type du gain net.
L'écart-type de 54,77 F est bien supérieur à l'espérance de 10 F : les résultats sont très dispersés, ce qui traduit une forte part d'aléatoire dans ce jeu.