Terminale A · Leçon 4
Suites numériques
Suites : définition, modes de génération
Une suite numérique est une application de \(\mathbb{N}\) (ou d'une partie de \(\mathbb{N}\)) dans \(\mathbb{R}\). On note ses valeurs \(u_0, u_1, u_2, \ldots\) ou encore \((u_n)_{n \ge 0}\). Deux modes de définition sont courants.
Forme explicite : on donne directement \(u_n\) en fonction de \(n\), par exemple \(u_n = 3n^2 - 1\). On peut alors calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents.
Forme récurrente : on donne \(u_0\) (le premier terme) et une relation de la forme \(u_{n+1} = f(u_n)\). Pour obtenir \(u_5\), il faut d'abord calculer \(u_1, u_2, u_3, u_4\) dans l'ordre.
Une suite est croissante si \(u_{n+1} \ge u_n\) pour tout \(n\), et décroissante si \(u_{n+1} \le u_n\). En pratique, on étudie le signe de \(u_{n+1} - u_n\).
Lorsque tous les termes de la suite sont strictement positifs, on peut aussi comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) : si le quotient est supérieur à \(1\), la suite croît ; s'il est inférieur à \(1\), elle décroît.
Pour montrer que \((u_n)\) est croissante à partir de la forme explicite \(u_n = f(n)\), on calcule \(u_{n+1} - u_n = f(n+1) - f(n)\) et on détermine le signe de cette expression en fonction de \(n\).
- Exprimer \(u_{n+1}\) en remplaçant \(n\) par \(n+1\) dans la formule.
- Former la différence \(u_{n+1} - u_n\) et la simplifier (factorisation si nécessaire).
- Conclure : signe constant positif → croissante ; négatif → décroissante.
Soit \(u_n = 2n + 5\). On a \(u_{n+1} - u_n = 2(n+1)+5 - (2n+5) = 2 > 0\). La suite est donc strictement croissante.
Soit \(u_0 = 10\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1\). Calculons les premiers termes : \(u_1 = 6\), \(u_2 = 4\), \(u_3 = 3\), \(u_4 = 2{,}5\). La suite semble décroissante. On vérifie : si \(u_n > 2\), alors \(u_{n+1} - u_n = 1 - \dfrac{u_n}{2} < 0\), ce qui confirme la décroissance tant que les termes restent supérieurs à \(2\).
Vérifier que quelques termes croissent ne suffit pas à conclure : il faut que la propriété soit établie pour tout \(n \ge 0\). Une suite peut croître pour les premiers rangs puis décroître (par exemple \(u_n = n\,e^{-n}\)).
Représentation de deux suites — visualisation interactive
\(v_n = -n^2/4+6\)
Suites arithmétiques : terme général et somme
Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r \in \mathbb{R}\) si chaque terme s'obtient en ajoutant \(r\) au précédent : \[u_{n+1} = u_n + r \quad \text{pour tout } n \ge 0.\] Si \(r > 0\), la suite est croissante ; si \(r < 0\), décroissante ; si \(r = 0\), tous les termes sont égaux (suite constante).
Cette formule permet d'accéder directement à n'importe quel terme sans calculer les intermédiaires. Elle montre que \(u_n\) est une fonction affine de \(n\).
\[ S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \frac{(n+1)\,(u_0 + u_n)}{2} \]La somme vaut « nombre de termes » multiplié par « demi-somme du premier et du dernier terme ». Remarquons qu'il y a \(n+1\) termes de \(u_0\) à \(u_n\).
- Calculer \(u_1 - u_0\), \(u_2 - u_1\), \(u_3 - u_2\).
- Si toutes ces différences sont égales, la suite est arithmétique de raison \(r = u_1 - u_0\).
- Écrire la formule du terme général \(u_n = u_0 + nr\).
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r = 3\) et \(u_0 = 5\).
Terme général : \(u_n = 5 + 3n\).
Terme d'indice 10 : \(u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 35\).
Somme \(S_{10}\) :
\(S_{10} = \dfrac{11 \times (5 + 35)}{2} = \dfrac{11 \times 40}{2} = 220\).
On sait que \(u_3 = 11\) et \(u_7 = 19\). Trouver \(r\), \(u_0\) et \(u_{20}\).
De \(u_7 = u_3 + 4r\) on tire \(19 = 11 + 4r\), donc \(r = 2\).
Ensuite \(u_0 = u_3 - 3r = 11 - 6 = 5\).
Enfin \(u_{20} = 5 + 2 \times 20 = 45\).
On veut calculer la somme des entiers de \(1\) à \(100\). La suite \(u_n = n\) est arithmétique, \(u_1 = 1\), \(u_{100} = 100\), donc \(S = \dfrac{100 \times (1 + 100)}{2} = 5050\).
De \(u_0\) à \(u_n\) il y a \(n+1\) termes, pas \(n\). De \(u_p\) à \(u_q\) il y en a \(q - p + 1\). Oublier le « \(+1\) » est l'erreur classique dans le calcul de somme.
Suite arithmétique — ajustez \(u_0\) et la raison \(r\)
Suites géométriques : terme général et somme
Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q \ne 0\) si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par \(q\) : \[u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{pour tout } n \ge 0.\] La raison \(q\) est le rapport constant \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) (valable tant que \(u_n \ne 0\)).
Cas particulier : si \(q = 1\), tous les termes valent \(u_0\) et \(S_n = (n+1)\,u_0\).
- Si tous les termes sont non nuls, calculer \(\dfrac{u_1}{u_0}\), \(\dfrac{u_2}{u_1}\), etc.
- Si ces rapports sont tous égaux, la suite est géométrique de raison \(q\).
- Écrire \(u_n = u_0 \cdot q^n\).
\((u_n)\) géométrique de raison \(q = 3\), \(u_0 = 2\).
\(u_5 = 2 \times 3^5 = 2 \times 243 = 486\).
\(S_5 = 2 \times \dfrac{1 - 3^6}{1 - 3}
= 2 \times \dfrac{1 - 729}{-2}
= 2 \times 364 = 728\).
Un capital de \(1000\) € est placé à intérêts composés de taux \(5\,\%\) par an. Le capital après \(n\) années vaut \(u_n = 1000 \times 1{,}05^n\). Il s'agit d'une suite géométrique de raison \(1{,}05\).
Après \(10\) ans : \(u_{10} = 1000 \times 1{,}05^{10} \approx 1629\) €.
Soit \(u_0 = 8\) et \(q = -\dfrac{1}{2}\). \(u_n = 8 \times \left(-\tfrac{1}{2}\right)^n\). Les termes alternent en signe et tendent vers \(0\).
La formule \(u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) n'est pas définie pour \(q = 1\) (division par zéro). Dans ce cas, utiliser directement \(S_n = (n+1)u_0\).
Suite géométrique — faites varier \(u_0\) et \(q\)
Limite d'une suite, convergence, limites usuelles
On dit que \((u_n)\) converge vers \(\ell \in \mathbb{R}\) si les termes \(u_n\) se rapprochent indéfiniment de \(\ell\) quand \(n\) grandit. On note alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\).
Si les termes grandissent sans limite, on écrit \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\) (divergence vers \(+\infty\)). Si la suite n'admet pas de limite (oscillation persistante), on dit qu'elle diverge.
C'est le résultat pivot du chapitre : toute limite de suite géométrique ou de suite du type \(u_n = a \cdot q^n + b\) se ramène à ce tableau.
Si \(\lim u_n = \ell\) et \(\lim v_n = m\), alors : \(\lim (u_n + v_n) = \ell + m\), \(\lim (u_n \cdot v_n) = \ell m\), et \(\lim (u_n / v_n) = \ell/m\) si \(m \ne 0\). Ces règles permettent de calculer les limites terme à terme.
Lorsque \(u_n\) s'exprime comme une fraction rationnelle en \(n\), on factorise numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de \(n\) présente, puis on passe à la limite terme à terme.
- Repérer la puissance dominante au dénominateur.
- Diviser tous les termes (numérateur et dénominateur) par cette puissance.
- Exploiter \(\dfrac{1}{n^k} \to 0\) pour simplifier.
\(u_n = 5 \times (0{,}5)^n + 3\). Comme \(|0{,}5| < 1\), \((0{,}5)^n \to 0\), donc \(u_n \to 3\). La suite converge vers \(3\).
\(u_n = \dfrac{2n+1}{n+3}\). On divise par \(n\) : \[\frac{2n+1}{n+3} = \frac{2+\tfrac{1}{n}}{1+\tfrac{3}{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{2}{1} = 2.\]
\(v_n = \sqrt{3n+1}\). Comme \(3n+1 \to +\infty\), on a \(\sqrt{3n+1} \to +\infty\). La suite diverge vers \(+\infty\).
\(w_n = (-2)^n\). Comme \(q = -2 \le -1\), la suite oscille entre des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes : elle n'admet pas de limite.
Le théorème sur \(q^n\) concerne la base fixe et l'exposant variable. Pour \(u_n = n^2\) ou \(u_n = n^3\), ce sont des puissances polynomiales de \(n\) qui tendent vers \(+\infty\), pas des suites géométriques.
Comportement de \(u_n = a \cdot q^n + L\) — choisissez les paramètres
Limite \(L\)
Résumé
Raison \(r\) constante : \(u_{n+1} = u_n + r\). Terme général : \(u_n = u_0 + nr\). Somme : \(S_n = \dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\).
Raison \(q \ne 0\) : \(u_{n+1} = qu_n\). Terme général : \(u_n = u_0 q^n\). Somme : \(S_n = u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (\(q \ne 1\)).
\(|q|<1\) : \(q^n \to 0\). \(q>1\) : \(q^n \to +\infty\). \(q \le -1\) : pas de limite.
Fractions rationnelles : diviser par la plus haute puissance de \(n\). Croissance exponentielle > polynomiale à l'infini.
Sujet type Bac
Deux amis, Awa et Kofi, placent chacun de l'argent dans deux banques différentes.
- Awa place \(500\) € à intérêts composés de taux \(4\,\%\) par an. Son capital après \(n\) années est \(A_n = 500 \times 1{,}04^n\).
- Kofi alimente un compte par versements constants : il commence avec \(200\) € et ajoute \(60\) € chaque année. Son capital est \(K_n = 200 + 60n\).
Question 1 — Quelle est la nature de chacune des suites \((A_n)\) et \((K_n)\) ? Préciser les paramètres.
\((A_n)\) est géométrique de premier terme \(A_0 = 500\) et de raison \(q = 1{,}04\), car \(A_{n+1} = 1{,}04 \times A_n\). \((K_n)\) est arithmétique de premier terme \(K_0 = 200\) et de raison \(r = 60\), car \(K_{n+1} = K_n + 60\).
Question 2 — Calculer \(A_{10}\) et \(K_{10}\). Arrondir à l'euro.
\(A_{10} = 500 \times 1{,}04^{10}\). On calcule \(1{,}04^{10} \approx 1{,}4802\), donc \(A_{10} \approx 500 \times 1{,}4802 \approx 740\) €. \(K_{10} = 200 + 60 \times 10 = 200 + 600 = 800\) €. Après \(10\) ans, Kofi dispose de plus de capital.
Question 3 — Calculer la somme totale versée par Awa sur les \(10\) premières années (de \(A_0\) à \(A_9\)).
La somme \(S = A_0 + A_1 + \cdots + A_9\) est la somme des \(10\) premiers termes d'une suite géométrique : \[S = 500 \times \frac{1 - 1{,}04^{10}}{1 - 1{,}04} = 500 \times \frac{1 - 1{,}4802}{-0{,}04} = 500 \times \frac{0{,}4802}{0{,}04} = 500 \times 12{,}005 = 6\,002{,}5.\] Avec la valeur arrondie \(1{,}04^{10} \approx 1{,}4802\), on trouve donc \(S \approx 6\,003\) € (la calculatrice donne \(6\,003{,}05\)).
Question 4 — Étudier les limites de \((A_n)\) et \((K_n)\) quand \(n \to +\infty\). Interpréter.
Pour \((A_n)\) : la raison \(q = 1{,}04 > 1\), donc \(1{,}04^n \to +\infty\), et \(A_n = 500 \times 1{,}04^n \to +\infty\). Le capital d'Awa croît sans limite, et de plus en plus vite. Pour \((K_n)\) : \(K_n = 200 + 60n \to +\infty\) également, mais de façon linéaire (un terme de plus en plus petit relativement). À long terme, c'est \((A_n)\) qui « écrase » \((K_n)\) : la croissance exponentielle l'emporte toujours sur la croissance linéaire.
Question 5 (bonus) — À partir de quelle année \(n\) le capital d'Awa dépasse-t-il celui de Kofi ?
On cherche le plus petit \(n\) tel que \(A_n > K_n\), soit \(500 \times 1{,}04^n > 200 + 60n\). Il n'existe pas de solution algébrique simple ; on procède par tâtonnement ou tableau de valeurs. Pour \(n = 10\) : \(A_{10} \approx 740\) et \(K_{10} = 800\), donc Awa est encore derrière. Pour \(n = 20\) : \(A_{20} = 500 \times 1{,}04^{20} \approx 500 \times 2{,}191 \approx 1096\) et \(K_{20} = 200 + 1200 = 1400\), toujours derrière. Pour \(n = 40\) : \(A_{40} \approx 500 \times 4{,}801 \approx 2400\) et \(K_{40} = 2600\), encore derrière. Pour \(n = 50\) : \(A_{50} \approx 500 \times 7{,}107 \approx 3554\) et \(K_{50} = 3200\) — Awa dépasse Kofi ! Le croisement a lieu entre \(n = 40\) et \(n = 50\), vers \(n \approx 47\).