Terminale A · Leçon 1
Fonctions numériques — Limites
Limites des fonctions de référence en l'infini et en un réel
Avant d'aborder les techniques de calcul, il est indispensable de maîtriser le comportement asymptotique des fonctions élémentaires. Ce sont elles qui servent de « briques » dans toute limite plus complexe.
Lorsqu'une fonction n'est pas définie en un point \(a\) (par exemple parce qu'elle possède un pôle en ce point), on distingue la limite à droite \(\lim_{x\to a^+} f(x)\) et la limite à gauche \(\lim_{x\to a^-} f(x)\). Si ces deux limites existent et sont égales, on dit que \(f\) a une limite en \(a\) ; sinon, la limite en \(a\) n'existe pas.
Calculons \(\lim_{x\to-\infty} x^3\) et \(\lim_{x\to-\infty} x^4\). Puisque \(3\) est impair, \(x^3 \to -\infty\). Puisque \(4\) est pair, \(x^4 \to +\infty\). La parité change tout le signe.
Quand \(x\to 0^+\), on a \(x > 0\) donc \(\tfrac{1}{x} \to +\infty\). Quand \(x\to 0^-\), on a \(x < 0\) donc \(\tfrac{1}{x} \to -\infty\). La limite en \(0\) n'existe pas ; il y a deux limites unilatérales opposées.
\(\ln\) n'est défini que sur \(\mathopen]0\,,+\infty\mathclose[\). Lorsque \(x\to 0^+\), \(\ln x \to -\infty\) : la courbe plonge verticalement vers \(-\infty\) en s'approchant de l'axe des ordonnées. Lorsque \(x\to+\infty\), \(\ln x \to +\infty\) mais très lentement — bien plus lentement que n'importe quelle puissance de \(x\).
Pour un exposant entier impair, le signe de \(x^n\) est celui de \(x\) ; pour un exposant pair, \(x^n\) est toujours positif ou nul. En pratique : « pair → positif, impair → garde le signe ».
Figure 1 — Comportement comparé de \(x^n\) selon la parité de \(n\)
\(y=x^3\)
\(y=x\)
Opérations sur les limites et formes indéterminées
Lorsque les limites de deux fonctions sont connues, on peut calculer la limite de leur somme, de leur produit ou de leur quotient en combinant ces résultats — sauf dans certains cas particuliers où l'opération produit une forme indéterminée, c'est-à-dire une expression dont le signe ou la valeur ne peut pas être décidée a priori.
Si \(\lim f = \ell\) et \(\lim g = m\) (finis ou infinis), alors sous réserve que le résultat ne soit pas indéterminé :
| Opération | Résultat | Cas indéterminés |
|---|---|---|
| \(f + g\) | \(\ell + m\) | \(+\infty - \infty\) |
| \(f \times g\) | \(\ell \times m\) | \(0 \times \infty\) |
| \(f / g\) | \(\ell / m\) | \(\infty/\infty\) et \(0/0\) |
Dans chacun de ces cas, le résultat peut valoir n'importe quel réel, \(+\infty\) ou \(-\infty\) selon les fonctions concernées. Il faut lever l'indétermination par un calcul algébrique.
En \(+\infty\) ou \(-\infty\), un polynôme se comporte comme son terme de plus haut degré. Pour une fraction rationnelle, on compare les degrés du numérateur et du dénominateur après factorisation par la puissance dominante.
Concrètement, on met en facteur \(x^n\) (puissance la plus grande présente) au numérateur et au dénominateur, puis on simplifie. Les termes en \(1/x^k\) tendent vers \(0\) et disparaissent.
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(3x^2 - 5x + 1)\).
\[ 3x^2 - 5x + 1 = x^2\!\left(3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}\right). \]Comme \(x^2 \to +\infty\) et le facteur entre parenthèses tend vers \(3 > 0\), le produit tend vers \(+\infty\). Le terme \(3x^2\) « l'emporte » sur \(-5x\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{2x+1}{x-3}\).
\[ \frac{2x+1}{x-3} = \frac{x(2+1/x)}{x(1-3/x)} = \frac{2+1/x}{1-3/x} \;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\; \frac{2}{1} = 2. \]Les deux degrés sont égaux, la limite est le rapport des coefficients directeurs : \(2/1 = 2\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\frac{x+1}{x^2+2}\).
\[ \frac{x+1}{x^2+2} = \frac{x^2\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x^2\!\left(1+\frac{2}{x^2}\right)} = \frac{\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}{1+\frac{2}{x^2}} \;\to\; 0. \]Le dénominateur « grandit plus vite » : la limite vaut \(0\).
Pour \(\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x^2 - x)\), on factorise par \(x^2\) et on obtient \(x^2(1 - 1/x)\). Attention : quand \(x\to-\infty\), \(-1/x\to 0^+\), le facteur entre parenthèses tend vers \(1 > 0\), et \(x^2 \to +\infty\). La limite est \(+\infty\), même si les deux termes semblent de signes opposés.
Figure 2 — Comportement de \(\dfrac{ax+1}{x-b}\) quand \(x\to\pm\infty\)
asymptote horizontale
Techniques de levée d'indétermination (factorisation, quantité conjuguée)
Dès qu'une expression contient des racines carrées en addition ou en soustraction, les développements standards ne fonctionnent plus directement. La technique de la quantité conjuguée permet de transformer une forme \(\infty - \infty\) en une expression calculable.
On s'appuie sur l'identité algébrique \((\sqrt{A} - \sqrt{B})(\sqrt{A} + \sqrt{B}) = A - B\). On multiplie et divise par la somme conjuguée \(\sqrt{A} + \sqrt{B}\) pour faire apparaître \(A - B\) au numérateur, expression polynomiale dont on sait calculer la limite.
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})\). C'est une forme \(\infty - \infty\).
\[ \sqrt{x+1}-\sqrt{x} = \frac{(\sqrt{x+1}-\sqrt{x})(\sqrt{x+1}+\sqrt{x})}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{(x+1)-x}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}. \]Quand \(x\to+\infty\), le dénominateur \(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\to+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}) = 0\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}(\sqrt{x^2+x}-x)\).
\[ \sqrt{x^2+x}-x = \frac{(x^2+x)-x^2}{\sqrt{x^2+x}+x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+x}+x}. \]On factorise \(x\) au dénominateur (pour \(x > 0\), \(\sqrt{x^2+x} = x\sqrt{1+1/x}\)) :
\[ \frac{x}{x\!\left(\sqrt{1+1/x}+1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+1/x}+1} \;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\; \frac{1}{\sqrt{1}+1} = \frac{1}{2}. \]La limite vaut \(\dfrac{1}{2}\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{\sqrt{x}-2}{x-4}\). C'est une forme \(0/0\).
\[ \frac{\sqrt{x}-2}{x-4} = \frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+2)} = \frac{1}{\sqrt{x}+2} \;\xrightarrow[x\to 4]{}\; \frac{1}{\sqrt{4}+2} = \frac{1}{4}. \]La racine \(\sqrt{u(x)}\) n'est définie que pour \(u(x)\ge 0\). Avant tout calcul de limite, vérifier que l'expression est bien définie au voisinage du point considéré. Par exemple, \(\sqrt{2x-3}\) n'est défini qu'à partir de \(x = 3/2\) ; la limite en \(-\infty\) n'a pas de sens.
Figure 3 — \(\sqrt{x+c}-\sqrt{x}\) et son comportement en \(+\infty\)
asymptote \(y=0\)
Limite d'une fonction composée
Une fois la limite de la « partie intérieure » \(u(x) = ax+b\) identifiée, il suffit d'appliquer la limite usuelle de \(f\) à ce résultat. C'est le théorème de composition des limites dans le cas affine, le cas le plus courant au programme de Terminale A.
Soit \(u(x) = ax + b\) avec \(a \neq 0\), et soit \(f\) l'une des fonctions de référence (\(x^2\), \(\sqrt{x}\), \(1/x\), \(\ln x\), \(e^x\)). Si \(\lim u(x) = \ell\) (fini ou infini) et si \(f\) admet une limite \(L\) en \(\ell\), alors :
\[ \lim f\!\bigl(u(x)\bigr) = L. \]En pratique, on procède en deux étapes : d'abord calculer la limite de \(ax+b\), puis appliquer la règle usuelle de \(f\) à ce résultat intermédiaire.
Étape 1 : identifier \(u(x) = ax + b\) et déterminer \(\lim u(x)\)
comme une limite affine usuelle.
Étape 2 : remplacer mentalement \(u(x)\) par sa limite dans la
fonction \(f\) et lire la limite usuelle de \(f\) à ce point.
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\sqrt{2x-3}\). On a \(u(x)=2x-3 \to +\infty\), et \(\sqrt{u}\to+\infty\). Donc la limite vaut \(+\infty\).
\(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} e^{-2x+1}\). On a \(u(x)=-2x+1 \to -\infty\), et \(e^u \to 0^+\). Donc la limite vaut \(0^+\).
\(\displaystyle\lim_{x\to(1/2)^+} \ln(2x-1)\). On a \(u(x)=2x-1 \to 0^+\) quand \(x\to(1/2)^+\), et \(\ln u \to -\infty\). Donc la limite vaut \(-\infty\).
\(\displaystyle\lim_{x\to(-2/3)^+} \frac{1}{3x+2}\). On a \(3x+2 \to 0^+\) donc \(\dfrac{1}{3x+2}\to+\infty\). À gauche de \(-2/3\) : \(3x+2 \to 0^-\) donc \(\dfrac{1}{3x+2}\to-\infty\). La limite globale n'existe pas.
Quand la limite intérieure est \(0\), il faut impérativement préciser si c'est \(0^+\) ou \(0^-\) avant d'appliquer la limite de \(f = 1/u\) ou de \(f = \ln u\). Le signe de \(u(x)\) au voisinage du point est déterminé par celui de \(a\) dans \(u(x)=ax+b\).
Figure 4 — \(f(ax+b)\) : choisir \(f\), \(a\) et \(b\)
Résumé
Puissances, racine carrée, \(e^x\), \(\ln x\) : mémoriser le comportement en \(\pm\infty\) et en \(0\). Pôles : toujours distinguer la limite à gauche et à droite.
\(\infty-\infty\), \(\infty/\infty\), \(0/0\), \(0\times\infty\). Lever par factorisation (terme dominant) ou par quantité conjuguée.
En \(\pm\infty\) : factoriser par le plus haut degré, les termes inférieurs disparaissent. Le résultat dépend de la comparaison des degrés.
Multiplier et diviser par \(\sqrt{A}+\sqrt{B}\) pour transformer \(\sqrt{A}-\sqrt{B}\) en \(\dfrac{A-B}{\sqrt{A}+\sqrt{B}}\).
\(f(ax+b)\) : calculer d'abord \(\lim(ax+b)\), puis appliquer la limite usuelle de \(f\) à ce résultat. Attention au signe en cas de pôle (\(0^+\) vs \(0^-\)).
Sujet type Bac
On considère la fonction \(f\) définie par \(\displaystyle f(x) = \frac{\sqrt{3x+4}-2}{x-0}\) pour \(x \neq 0\) et \(x \ge -4/3\), puis la fonction \(g\) définie par \(\displaystyle g(x) = \frac{2x^2 - x - 3}{x^2 - 1}\).
Question 1 — Limite de \(g\) en \(+\infty\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} g(x)\).
C'est une forme \(\infty/\infty\). Les deux polynômes sont de même degré 2. On divise numérateur et dénominateur par \(x^2\) :
\[ g(x) = \frac{2 - 1/x - 3/x^2}{1 - 1/x^2} \;\xrightarrow[x\to+\infty]{}\; \frac{2}{1} = 2. \]La courbe de \(g\) admet donc la droite \(y = 2\) comme asymptote horizontale en \(+\infty\).
Question 2 — Limite de \(g\) en \(1\). Étudier le comportement de \(g\) au voisinage de \(x = 1\).
Le dénominateur \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\) s'annule en \(x=1\). Le numérateur en \(x=1\) vaut \(2(1)^2 - 1 - 3 = -2 \neq 0\). C'est donc bien un pôle.
En \(x = 1^+\) : \(x-1 \to 0^+\) et \(x+1 \to 2 > 0\), donc \((x-1)(x+1) \to 0^+\). Le numérateur tend vers \(-2 < 0\). Donc \(g(x) \to -\infty\).
En \(x = 1^-\) : \(x-1 \to 0^-\) et \(x+1 \to 2\), donc le dénominateur \(\to 0^-\). Avec un numérateur négatif, \(g(x) \to +\infty\).
La droite \(x = 1\) est une asymptote verticale à la courbe de \(g\).
Question 3 — Simplification de \(g\). Montrer que, pour \(x \neq \pm 1\), \(g(x) = \dfrac{2x-3}{x-1}\).
On factorise le numérateur : \(2x^2 - x - 3\). On cherche deux facteurs du type \((2x - a)(x - b)\) avec \(ab = 3\) et \(a + 2b = 1\). On trouve \(a = 3\), \(b = -1\) :
\[ 2x^2 - x - 3 = (2x - 3)(x + 1). \]Le dénominateur \(x^2 - 1 = (x-1)(x+1)\). Donc :
\[ g(x) = \frac{(2x-3)(x+1)}{(x-1)(x+1)} = \frac{2x-3}{x-1} \quad (x \neq -1). \]Question 4 — Limite de \(f\) en \(0\). Calculer \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{3x+4}-2}{x}\).
C'est une forme \(0/0\). On multiplie par la quantité conjuguée \(\sqrt{3x+4}+2\) :
\[ f(x) = \frac{(\sqrt{3x+4}-2)(\sqrt{3x+4}+2)}{x(\sqrt{3x+4}+2)} = \frac{(3x+4)-4}{x(\sqrt{3x+4}+2)} = \frac{3x}{x(\sqrt{3x+4}+2)} = \frac{3}{\sqrt{3x+4}+2}. \]Quand \(x\to 0\) : \(\sqrt{3(0)+4}+2 = \sqrt{4}+2 = 4\). Donc \(\displaystyle\lim_{x\to 0} f(x) = \frac{3}{4}\).
Question 5 — Interprétation graphique. Que représente géométriquement la valeur \(3/4\) trouvée à la question 4 ?
La limite \(\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x) - f(0)}{x - 0}\) est précisément la définition du nombre dérivé de \(h(x) = \sqrt{3x+4}\) en \(x = 0\). En effet, \(h(0) = 2\) et \(\dfrac{\sqrt{3x+4} - 2}{x} \to \dfrac{3}{4}\).
La valeur \(3/4\) est donc le coefficient directeur de la tangente à la courbe de \(h : x \mapsto \sqrt{3x+4}\) en son point d'abscisse \(0\). Cette tangente a pour équation \(y = \tfrac{3}{4}x + 2\).