Terminale A · Leçon 2
Fonctions numériques — Dérivation
Nombre dérivé, tangente et approximation affine
La dérivation naît d'une question concrète : à quelle vitesse une quantité change-t-elle ? En analyse, on mesure cette vitesse par le taux de variation d'une fonction entre deux points, puis on fait tendre les deux points l'un vers l'autre pour obtenir la vitesse instantanée — le nombre dérivé.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\), et \(x_0 \in I\). Pour tout \(h \neq 0\) tel que \(x_0+h \in I\), le taux de variation de \(f\) entre \(x_0\) et \(x_0+h\) est :
\[\tau(h) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.\]Géométriquement, \(\tau(h)\) est le coefficient directeur de la droite sécante à la courbe passant par les points d'abscisses \(x_0\) et \(x_0+h\).
\(f\) est dérivable en \(x_0\) si la limite suivante existe et est finie :
\[f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.\]Cette limite s'appelle le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\). Géométriquement, c'est le coefficient directeur de la tangente à la courbe \(\mathcal{C}_f\) au point d'abscisse \(x_0\), d'équation :
\[y = f'(x_0)(x - x_0) + f(x_0).\]Calculons \(f'(1)\) pour \(f(x) = x^2\).
\(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^2 - 1}{h} = \dfrac{1+2h+h^2-1}{h} = \dfrac{h(2+h)}{h} = 2+h \xrightarrow[h\to 0]{} 2.\)
Donc \(f'(1) = 2\), et la tangente en \(x_0=1\) a pour équation \(y = 2(x-1)+1 = 2x-1\).
Un mobile parcourt une distance \(d(t) = 3t^2 + 2t\) mètres en \(t\) secondes. La vitesse instantanée à \(t_0 = 2\) s est \(d'(2)\).
\(\dfrac{d(2+h)-d(2)}{h} = \dfrac{3(2+h)^2+2(2+h)-(12+4)}{h} = \dfrac{3(4+4h+h^2)+4+2h-16}{h} = \dfrac{12h+3h^2+2h}{h} = 14+3h \to 14.\)
La vitesse instantanée à \(t=2\) s est donc \(14\) m/s.
Ne pas confondre le taux de variation \(\tau(h)\) (qui dépend encore de \(h\)) et le nombre dérivé \(f'(x_0)\) (qui est sa limite quand \(h\to 0\)). Le taux de variation est la pente d'une sécante ; le nombre dérivé est la pente de la tangente.
Figure 1 — De la sécante à la tangente : faites glisser \(h\) vers 0
Sécante
Tangente en \(x_0\)
Dérivées usuelles et règles de calcul
Plutôt que de revenir chaque fois à la définition, on dispose d'un catalogue de dérivées connues et de règles qui permettent de dériver toute combinaison de fonctions sans calcul de limite.
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables, et \(k \in \mathbb{R}\) :
\[\begin{array}{ll} (u+v)' = u'+v' & \qquad (ku)' = ku' \\[4pt] (uv)' = u'v + uv' & \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0) \end{array}\]Pour \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'\), on identifie d'abord \(u\) et \(v\), on calcule séparément \(u'\) et \(v'\), puis on applique la formule. Ne jamais « dériver numérateur et dénominateur séparément » sans la formule !
Soit \(f(x) = x^3 e^x\). Posons \(u = x^3\) et \(v = e^x\), alors \(u' = 3x^2\) et \(v' = e^x\).
\(f'(x) = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x = e^x(3x^2 + x^3) = x^2 e^x(3+x).\)
Soit \(g(x) = \dfrac{2x-1}{x^2+1}\). Posons \(u = 2x-1\), \(v = x^2+1\), donc \(u' = 2\), \(v' = 2x\).
\(g'(x) = \dfrac{2(x^2+1)-(2x-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x^2+2-4x^2+2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{-2x^2+2x+2}{(x^2+1)^2}.\)
Soit \(h(x) = 3\ln x - \dfrac{2}{x} + 5\) définie sur \(\,]0;+\infty[\).
\(h'(x) = \dfrac{3}{x} - \left(-\dfrac{2}{x^2}\right) + 0 = \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{3x+2}{x^2}.\)
\(\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'\) peut se traiter comme un quotient (\(u=1,\ v=x^2\)) ou comme une puissance \((x^{-2})' = -2x^{-3}\). Les deux donnent le même résultat \(-\dfrac{2}{x^3}\), mais la méthode des puissances est souvent plus rapide.
Dérivée d'une fonction composée
Le programme de Terminale A limite la dérivation des fonctions composées au cas où la fonction « intérieure » est affine, c'est-à-dire de la forme \(x \mapsto ax+b\). Cette situation est extrêmement fréquente au Bac et mérite qu'on la maîtrise parfaitement.
Si \(f\) est dérivable et \(a, b \in \mathbb{R}\), alors la fonction \(x \mapsto f(ax+b)\) est dérivable et :
\[\big[f(ax+b)\big]' = a \cdot f'(ax+b).\]En d'autres termes, on dérive normalement \(f\), on évalue en \(ax+b\), et on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure, c'est-à-dire par \(a\).
Avant de dériver, identifier \(f\) et la fonction affine intérieure \(u = ax+b\). Repérer le coefficient \(a\) qui « sort » devant lors de la dérivation. En cas de doute, noter la dérivée de \(f\) en \(u\) puis remplacer \(u\) par \(ax+b\) et multiplier par \(a\).
\(f(x) = (3x-2)^4\) : ici \(f : t \mapsto t^4\) et \(u = 3x-2\), donc \(a = 3\).
\(f'(x) = 4 \times 3 \times (3x-2)^3 = 12(3x-2)^3.\)
\(g(x) = \sqrt{5-2x}\) définie sur \(\left]-\infty\,;\frac{5}{2}\right[\). Ici \(a = -2\).
\(g'(x) = \dfrac{-2}{2\sqrt{5-2x}} = -\dfrac{1}{\sqrt{5-2x}}.\)
\(h(x) = e^{-2x+1}\) : \(h'(x) = -2\,e^{-2x+1}\).
\(k(x) = \ln(4x+3)\) définie sur \(\left]-\frac{3}{4}\,;+\infty\right[\) : \(k'(x) = \dfrac{4}{4x+3}\).
\(\big[e^{3x}\big]'\) n'est pas \(e^{3x}\), mais bien \(3e^{3x}\). De même, \(\big[\ln(5x)\big]' = \dfrac{5}{5x} = \dfrac{1}{x}\) (et non \(\dfrac{1}{5x}\)). Le facteur \(a\) est systématiquement obligatoire.
Figure 2 — Courbe de \(f(ax+b)\) et sa dérivée : choisissez \(f\), \(a\) et \(b\)
\(y = [f(ax+b)]'\)
Signe de la dérivée, variations et extremums
Connaître la dérivée d'une fonction, c'est bien ; savoir en extraire l'information sur le comportement de la fonction, c'est encore mieux. Le lien entre le signe de \(f'\) et les variations de \(f\) est au cœur de l'étude de fonction.
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\).
- Si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) < 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) = 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
Si \(f'\) s'annule en un point \(x_0\) en changeant de signe, \(f\) admet un extremum local en \(x_0\) : minimum si \(f'\) passe de \(-\) à \(+\), maximum si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\).
Étape 1 : calculer \(f'(x)\). Étape 2 : résoudre \(f'(x) = 0\) et repérer les points où \(f'\) n'est pas définie. Étape 3 : signer \(f'\) sur chaque intervalle (tableau de signes). Étape 4 : en déduire le tableau de variations de \(f\), en calculant les valeurs remarquables (\(f\) aux extrémités et aux points critiques).
Étudier les variations de \(f(x) = (2x-1)^2\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f'(x) = 2 \times 2 \times (2x-1) = 4(2x-1).\)
\(f'(x) = 0 \iff 2x-1 = 0 \iff x = \tfrac{1}{2}.\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | 0 | ↗ | \(+\infty\) |
\(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\frac{1}{2}\right]\), croissante sur \(\left[\frac{1}{2}\,;+\infty\right[\), avec un minimum global \(f\!\left(\frac{1}{2}\right) = 0\).
Étudier les variations de \(g(x) = x\,e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\).
\(g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x).\)
Comme \(e^{-x} > 0\) pour tout \(x\), le signe de \(g'\) est celui de \((1-x)\) : \(g'(x) > 0 \iff x < 1\) et \(g'(x) < 0 \iff x > 1\).
\(g\) est croissante sur \(]-\infty\,; 1]\), décroissante sur \([1\,;+\infty[\), avec un maximum \(g(1) = e^{-1} = \dfrac{1}{e}\).
Étudier les variations de \(h(x) = \dfrac{x^2}{x-1}\) sur \(]-\infty\,;1[\).
\(h'(x) = \dfrac{2x(x-1)-x^2 \cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}.\)
Sur \(]-\infty\,;1[\), \((x-1)^2 > 0\). On signe \(x(x-2)\) : il s'annule en \(x=0\) et \(x=2\) (mais \(x=2\notin\,]-\infty\,;1[\)). Pour \(x < 0\) : \(x(x-2) = (\text{nég.})(\text{nég.}) > 0\) ; pour \(0 < x < 1\) : \(x(x-2) = (\text{pos.})(\text{nég.}) < 0\).
\(h\) est croissante sur \(]-\infty\,;0]\), décroissante sur \([0\,;1[\), avec un maximum local \(h(0) = 0\).
Dans les exercices de Bac, \(f'\) est souvent déjà factorisée ou se factorise facilement. Si l'énoncé demande de montrer que \(f'(x) = \ldots\), vérifier que la forme donnée se factorise bien et signer chaque facteur séparément.
Figure 3 — Variations de \(f(x) = x^2 + ax + b\) : déplacez les paramètres
\(f'(x) = 2x + a\)
Minimum de \(f\)
Résumé
\(f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\). Tangente : \(y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\).
\((x^n)' = nx^{n-1}\), \((\sqrt x)' = \frac{1}{2\sqrt x}\), \((\ln x)' = \frac{1}{x}\), \((e^x)' = e^x\).
\((uv)' = u'v+uv'\). \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}\).
\([f(ax+b)]' = a \cdot f'(ax+b)\). Le coefficient \(a\) sort systématiquement.
\(f' > 0 \Rightarrow f\) croissante. \(f' < 0 \Rightarrow f\) décroissante. Changement de signe de \(f'\) : extremum local.
Calculer \(f'\), factoriser, dresser le tableau de signes, puis le tableau de variations avec les valeurs remarquables.
Sujet type Bac
Question 1 — Calculer \(f'(x)\) et la simplifier.
\(f\) est le produit de \(u(x) = 2x-1\) et de \(v(x) = e^{-x}\).
On a \(u'(x) = 2\) et \(v'(x) = -e^{-x}\) (composée affine avec \(a=-1\)).
\(f'(x) = u'v + uv' = 2e^{-x} + (2x-1)(-e^{-x}) = e^{-x}\big[2 - (2x-1)\big] = e^{-x}(3-2x).\)
Question 2 — Signe de \(f'(x)\) et tableau de variations.
Comme \(e^{-x} > 0\) pour tout réel \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \((3-2x)\).
\(3 - 2x > 0 \iff x < \dfrac{3}{2}.\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{3}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | + | 0 | − | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | \(2e^{-3/2}\) | ↘ | \(0\) |
\(f\) est croissante sur \(\left]-\infty\,;\frac{3}{2}\right]\) et décroissante sur \(\left[\frac{3}{2}\,;+\infty\right[\), avec un maximum \(f\!\left(\frac{3}{2}\right) = (2\times\frac{3}{2}-1)e^{-3/2} = 2e^{-3/2}\).
Question 3 — Équation de la tangente en \(x_0 = 0\).
\(f(0) = (0-1)e^{0} = -1\).
\(f'(0) = e^{0}(3-0) = 3\).
L'équation de la tangente en \(x_0 = 0\) est : \(y = 3(x - 0) + (-1) = 3x - 1.\)
Question 4 — Limites aux bornes.
En \(+\infty\) : \(e^{-x} \to 0\) et \((2x-1)\) croît, mais les exponentielles l'emportent sur les polynômes : \(\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0\). La courbe admet la droite \(y=0\) comme asymptote horizontale en \(+\infty\).
En \(-\infty\) : \(2x-1 \to -\infty\) et \(e^{-x} \to +\infty\), donc \(f(x) \to -\infty\). La courbe n'a pas d'asymptote en \(-\infty\).
Question 5 — Point d'intersection avec l'axe des abscisses.
\(f(x) = 0 \iff (2x-1)e^{-x} = 0 \iff 2x-1 = 0\) (car \(e^{-x} \neq 0\)) \(\iff x = \dfrac{1}{2}\).
La courbe coupe l'axe des abscisses en \(\left(\dfrac{1}{2}\,; 0\right)\) uniquement.