Statistiques

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Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Série : $3,5,7,9$. L'étendue vaut :
a) 4   b) 6   c) 9   d) 3

2) Série de moyenne 8 : $6,7,9,10$. L'écart-moyen vaut :
a) 1   b) 1,5   c) 2   d) 6

3) La formule simplifiée de la variance est :
a) $V=\dfrac1n\sum x_i-\bar x$   b) $V=\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)-\bar x^2$   c) $V=\sqrt{\dfrac1n\sum x_i^2}$   d) $V=\bar x^2-\dfrac1n\sum x_i$

4) Si $\sigma=3$, alors la variance $V$ vaut :
a) 9   b) 6   c) 3   d) 1,5

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Une série a pour effectifs $3,7,6,3,1$. L'effectif total est :
a) $20$   b) $15$   c) $18$   d) $25$

2) Pour une série de $20$ individus (effectif pair), la médiane se situe entre :
a) la $10^{\text e}$ et la $11^{\text e}$ valeur triées   b) la $9^{\text e}$ et la $10^{\text e}$   c) uniquement la $10^{\text e}$   d) uniquement la $11^{\text e}$

3) Dans un histogramme, ce qui doit être proportionnel à l'effectif d'une classe est :
a) l'aire du rectangle   b) la hauteur du rectangle   c) la largeur du rectangle   d) le périmètre

4) La classe modale d'une série regroupée en classes est :
a) la classe de plus grand effectif   b) la classe la plus large   c) la première classe   d) la classe contenant la moyenne

Exercice 2 — Situation d'intégration

Deux champs de mil dans la province du Yatenga ont produit, sur 5 années successives, les rendements suivants (en sacs de 100 kg) :
Champ A : $18,\;20,\;19,\;21,\;22$
Champ B : $12,\;25,\;15,\;28,\;20$

Consigne : Calculer la moyenne de chaque champ, calculer l'écart-type de chaque champ à l'aide de la formule simplifiée, et conclure sur la régularité de chaque champ pour aider l'agriculteur à décider lequel privilégier en cas de mauvaise saison.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Le président d'une association de producteurs de mil dans la région du Sahel a relevé les rendements (en kg par are) de $15$ parcelles pilotes : $40, 45, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 55, 55, 60, 60, 65, 70, 75$.

Consigne : 1) Construire le tableau des effectifs et l'effectif cumulé croissant. 2) Calculer le rendement moyen des $15$ parcelles. 3) Déterminer la médiane de cette série. 4) Le président qualifie de "bon rendement" toute parcelle au-dessus de la moyenne. Combien de parcelles sont dans ce cas ?

Exercice supplémentaire. Un vétérinaire relève le nombre de vaccins administrés par jour sur $20$ jours : $3$ jours à $2$ vaccins, $5$ jours à $4$ vaccins, $8$ jours à $5$ vaccins, $4$ jours à $8$ vaccins.

1) Vérifier que l'effectif total est bien $20$.
2) Calculer la moyenne.
3) Déterminer la médiane de cette série.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un enseignant de mathématiques regroupe les notes sur $20$ de ses $25$ élèves à un contrôle en classes : $[0;5[$ : $2$ élèves ; $[5;10[$ : $6$ élèves ; $[10;15[$ : $11$ élèves ; $[15;20]$ : $6$ élèves. Le proviseur souhaite savoir si une séance de soutien s'impose : il fixe le seuil de déclenchement à $30\,\%$ d'élèves en situation d'échec (note strictement inférieure à $10$).

Consigne : Vérifier l'effectif total, déterminer la classe modale, calculer le nombre d'élèves ayant une note inférieure à $10$ ainsi que le pourcentage correspondant, et conclure si le proviseur doit déclencher la séance de soutien.

Exercice supplémentaire. Un pharmacien classe les âges de $40$ clients reçus en une matinée : $[0;20[$ : $6$ clients ; $[20;40[$ : $14$ clients ; $[40;60[$ : $12$ clients ; $[60;80[$ : $8$ clients.

1) Donner le centre de chaque classe.
2) Calculer l'âge moyen de ces clients.
3) Quelle est la classe modale ?

Problème. On relève les notes sur 20 obtenues par 5 élèves à un devoir : $8,\;10,\;10,\;12,\;15$.

Partie A.
1) Calculer la moyenne de cette série.
2) Calculer l'étendue de cette série.

Partie B.
3) Calculer la variance à l'aide de la formule simplifiée.
4) En déduire l'écart-type, arrondi au centième.

Partie C.
5) Le professeur décide d'ajouter 2 points de bonus à chaque note. Sans refaire tous les calculs, donner la nouvelle moyenne et le nouvel écart-type, en justifiant.

Problème. Un enseignant de mathématiques d'un lycée a noté sur $20$ les résultats de $22$ élèves à une interrogation : $6, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19$.

Partie A.
1) Quel est le mode de cette série ?
2) Calculer la moyenne de la classe (arrondir au dixième).

Partie B.
3) Déterminer la médiane de cette série ($22$ valeurs : moyenne des $11^e$ et $12^e$ valeurs triées).
4) L'enseignant attribue une mention "Très bien" aux notes strictement supérieures à $15$. Combien d'élèves l'obtiennent, et quel pourcentage de la classe cela représente-t-il (arrondi à l'entier) ?

Problème. Un vendeur de recharges téléphoniques relève le nombre de recharges vendues chaque jour sur $10$ jours :

Partie A. 1) Vérifier que l'effectif total est bien $10$, puis déterminer le mode.

Partie B. 2) Calculer la moyenne des ventes journalières.

Partie C. 3) Déterminer la médiane de cette série.

Pour un exposé de sciences humaines, des élèves ont interrogé 40 familles de leur quartier et ont relevé, pour chacune, le nombre d'enfants scolarisés. Voici leurs résultats.

1) Précise la population étudiée, le caractère étudié et sa nature. Calcule ensuite la fréquence de chaque valeur, en pourcentage.

2) Les élèves veulent illustrer leur exposé par un diagramme circulaire : calcule l'angle de chaque secteur. Quel autre diagramme est adapté à cette série ? Décris-le, et explique pourquoi un histogramme ne convient pas ici.

3) Donne le mode de la série. Calcule les effectifs cumulés croissants, puis détermine la médiane et interprète-la.

4) Calcule le nombre moyen d'enfants scolarisés par famille. Combien d'enfants scolarisés ces 40 familles comptent-elles en tout ?

5) Un journaliste du quartier écrit : « Plus de la moitié des familles interrogées ont au moins trois enfants scolarisés. » A-t-il raison ? Justifie par un calcul, puis explique en quoi la médiane permettait de prévoir la réponse.

Le conseil des élèves d'un lycée veut savoir si l'heure du premier cours est bien choisie. Il interroge 50 élèves sur la durée de leur trajet entre la maison et le lycée, en minutes. Les réponses sont regroupées en classes.

1) Quel est le caractère étudié et quelle est sa nature ? Quelle est l'amplitude de chaque classe ? Explique l'intérêt de regrouper les réponses en classes.

2) Décris l'histogramme de cette série, en prenant 1 centimètre pour 10 minutes sur l'axe horizontal et 1 centimètre pour 2 élèves sur l'axe vertical. Quelle est la classe modale ?

3) Calcule les effectifs cumulés croissants et les fréquences cumulées croissantes, en pourcentage. Quel pourcentage d'élèves mettent moins de 30 minutes ? Dans quelle classe se trouve la médiane ? Justifie.

4) En remplaçant chaque classe par son centre, calcule la durée moyenne du trajet. Pourquoi n'obtient-on qu'une valeur approchée de la vraie moyenne ?

5) Toujours avec les centres des classes, calcule la variance par la formule simplifiée, puis l'écart-type.

6) Dans un lycée voisin, la durée moyenne du trajet est aussi de \(23{,}4\) minutes, mais l'écart-type n'est que de \(4{,}5\) minutes. Dans lequel des deux lycées les durées de trajet sont-elles les plus homogènes ? Qu'est-ce que cela change pour le choix de l'heure du premier cours ?

On considère la série statistique formée des cinq valeurs 2, 5, 6, 8 et 9. Le but de l'exercice est de comprendre pourquoi la variance se calcule avec les écarts à la moyenne plutôt qu'avec les écarts à un autre nombre.

1) Calcule la moyenne, la médiane et l'étendue de cette série.

2) Calcule l'écart moyen de la série.

3) Calcule la variance en utilisant les carrés des écarts à la moyenne, puis l'écart-type arrondi au centième. Contrôle la variance par la formule simplifiée.

4) Pour tout réel \(t\), on note \(S(t)\) la moyenne des carrés des écarts des cinq valeurs au nombre \(t\) : \(S(t)=\dfrac{(2-t)^2+(5-t)^2+(6-t)^2+(8-t)^2+(9-t)^2}{5}\). Démontre que \(S(t)=t^2-12t+42\).

5) Calcule \(S'(t)\), étudie son signe et dresse le tableau de variations de \(S\). Pour quelle valeur de \(t\) la fonction \(S\) atteint-elle son minimum, et que vaut ce minimum ? Compare avec les résultats des questions 1 et 3, puis interprète.

Une petite entreprise conditionne du sucre en sachets de 500 grammes avec deux machines, A et B. Pour un contrôle de qualité, on pèse dix sachets pris à la sortie de chaque machine. Les masses, en grammes, sont rangées par ordre croissant.

1) Calcule la masse moyenne des sachets de chaque machine. Que constates-tu ?

2) Détermine la médiane et l'étendue de chacune des deux séries.

3) Calcule l'écart moyen de chaque série.

4) Calcule la variance, puis l'écart-type arrondi au centième, de chaque série.

5) Un sachet est déclaré conforme si sa masse est comprise entre 497 et 503 grammes, ces deux valeurs étant acceptées. Pour chaque machine, donne le nombre et le pourcentage de sachets conformes.

6) Le technicien n'a le temps de régler qu'une seule machine aujourd'hui. Laquelle doit-il choisir ? Justifie avec les résultats précédents et explique pourquoi la moyenne seule ne permettait pas de décider.