Probabilités

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Exercice 1 — Équiprobabilité simple

Une urne contient $7$ boules numérotées de $1$ à $7$. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de $3$.

Exercice 2 — Somme de deux dés

On lance deux dés équilibrés à $6$ faces. Calculer la probabilité que la somme des résultats soit égale à $7$.

Exercice 3 — Loi de probabilité et espérance

Une variable aléatoire $X$ suit la loi $P(X=-2)=0{,}1$, $P(X=0)=0{,}4$, $P(X=3)=0{,}3$, $P(X=5)=0{,}2$. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$.

Exercice 4 — Variance et écart-type

Pour la variable $X$ de l'exercice précédent ($P(X=-2)=0{,}1$, $P(X=0)=0{,}4$, $P(X=3)=0{,}3$, $P(X=5)=0{,}2$, $E(X)=1{,}7$), calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$.

Exercice 5 — Jeu de gain

On tire une carte parmi $10$ cartes numérotées de $1$ à $10$. Si le numéro est pair, le joueur gagne $500$ F ; s'il est impair et inférieur à $5$, il gagne $100$ F ; sinon il ne gagne rien. Déterminer la loi du gain $X$, sa fonction de répartition, et l'espérance de gain.

Exercice 6 — Détermination d'un paramètre

Une variable aléatoire $X$ suit la loi $P(X=-1)=p$, $P(X=1)=2p$, $P(X=2)=3p$. Déterminer $p$, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.

Le club de lecture d'un lycée compte 40 membres. Chacun a indiqué son genre préféré parmi trois ; le tableau ci-dessous donne la répartition.

On choisit au hasard un membre du club : tous les membres ont la même probabilité d'être choisis. On note \(F\) l'événement « le membre choisi est une fille », \(R\) l'événement « il préfère le roman » et \(P\) l'événement « il préfère la poésie ».

1) Calcule \(p(F)\) et \(p(R)\). Décris par une phrase l'événement \(F\cap R\), puis calcule sa probabilité.

2) Calcule \(p(F\cup R)\) à l'aide de la formule qui relie \(p(F\cup R)\), \(p(F)\), \(p(R)\) et \(p(F\cap R)\). Contrôle ensuite ton résultat en comptant directement dans le tableau.

3) Justifie que les événements \(R\) et \(P\) sont incompatibles, puis calcule \(p(R\cup P)\). Décris par une phrase l'événement contraire de \(R\cup P\) et donne sa probabilité.

4) Pour représenter le club à un salon du livre, on tire au sort, simultanément, deux membres parmi les 40. Combien y a-t-il de délégations possibles ? Calcule la probabilité de l'événement \(A\) « la délégation est formée de deux filles » et celle de l'événement \(B\) « la délégation est formée de deux garçons ».

5) On note \(M\) l'événement « la délégation est mixte », c'est-à-dire formée d'une fille et d'un garçon. Déduis \(p(M)\) de la question 4 en justifiant, puis retrouve ce résultat par un dénombrement direct. Le président du club affirme : « Il y a plus d'une chance sur deux que la délégation soit mixte. » A-t-il raison ?

Pour financer sa sortie de fin d'année, une classe de terminale organise une tombola. Elle vend 36 billets numérotés au prix de 500 francs chacun, et tous les billets sont vendus. Un tirage au sort désigne ensuite les billets gagnants : un billet gagne un lot de 4 000 francs, deux billets gagnent chacun 1 500 francs, cinq billets gagnent chacun 400 francs ; les autres billets ne gagnent rien.

Karim a acheté un seul billet. Tous les billets ont la même probabilité d'être tirés. On note \(X\) le gain algébrique de Karim, en francs : la valeur du lot reçu diminuée du prix du billet.

1) Donne les valeurs que peut prendre \(X\), puis établis la loi de probabilité de \(X\) dans un tableau. Vérifie que la somme des probabilités vaut 1.

2) Calcule la probabilité que le billet de Karim gagne un lot, puis la probabilité que Karim gagne réellement de l'argent, c'est-à-dire \(p(X\gt0)\). Explique la différence entre ces deux résultats.

3) Calcule l'espérance \(E(X)\) et interprète-la. Retrouve à partir de \(E(X)\) le bénéfice que la tombola rapporte à la classe.

4) On appelle \(a\) le prix d'un billet, en francs, les lots restant les mêmes. Exprime l'espérance du gain algébrique en fonction de \(a\), puis détermine le prix pour lequel le jeu serait équitable. Pourquoi la classe ne choisit-elle pas ce prix ?

5) Mariam, elle, a acheté deux billets. Combien y a-t-il de façons de choisir deux billets parmi les 36 ? Calcule la probabilité qu'aucun de ses deux billets ne gagne de lot, puis la probabilité qu'elle gagne au moins un lot. A-t-elle deux fois plus de chances que Karim de gagner un lot ?

Une boîte contient quatre cartons indiscernables au toucher, numérotés de 1 à 4. On tire un carton au hasard, on note son numéro et on le remet dans la boîte, puis on tire un second carton. Une issue est un couple \((a;b)\), où \(a\) est le premier numéro et \(b\) le second ; toutes les issues ont la même probabilité. On note \(X\) la variable aléatoire égale au plus grand des deux numéros tirés (si les deux numéros sont égaux, \(X\) prend cette valeur commune).

1) Combien y a-t-il d'issues ? Justifie. Dresse un tableau à double entrée donnant la valeur de \(X\) pour chaque issue.

2) Établis la loi de probabilité de \(X\) et vérifie que la somme des probabilités vaut 1.

3) Soit \(k\) l'un des nombres 1, 2, 3 ou 4. Justifie, sans utiliser la loi de \(X\), que \(p(X\leq k)=\dfrac{k^2}{16}\). Vérifie cette formule pour \(k=2\) à l'aide de la loi.

4) On note \(F\) la fonction de répartition de \(X\), définie pour tout réel \(x\) par \(F(x)=p(X\leq x)\). Donne l'expression de \(F(x)\) suivant les valeurs de \(x\), puis décris sa représentation graphique.

5) En utilisant seulement la fonction \(F\), calcule \(p(X\gt2)\) et \(p(1\lt X\leq3)\). Contrôle avec la loi de \(X\).

6) Calcule l'espérance \(E(X)\), la variance \(V(X)\) et l'écart-type de \(X\), arrondi au centième. Interprète l'espérance.

Lors d'un jeu radiophonique, un candidat doit remplir un questionnaire de 3 questions. Pour chaque question, quatre réponses sont proposées et une seule est juste. Un candidat qui ne connaît aucune réponse coche au hasard une réponse à chaque question : toutes les façons de remplir le questionnaire ont la même probabilité. On note \(X\) le nombre de bonnes réponses du candidat.

On donne \(\ln(0{,}05)\approx-2{,}996\) et \(\ln(0{,}75)\approx-0{,}288\).

1) Combien y a-t-il de façons de remplir le questionnaire ? Justifie.

2) En dénombrant les façons de remplir le questionnaire qui conviennent, montre que \(p(X=0)=\dfrac{27}{64}\) et que \(p(X=1)=\dfrac{27}{64}\). Établis ensuite la loi de probabilité de \(X\).

3) Calcule l'espérance \(E(X)\), la variance \(V(X)\) et l'écart-type de \(X\). Interprète l'espérance.

4) Le candidat reçoit un lot s'il donne au moins deux bonnes réponses. Calcule la probabilité qu'il reçoive un lot, puis la probabilité qu'il donne au moins une bonne réponse.

5) L'animateur allonge le jeu : le questionnaire comporte désormais \(n\) questions du même type, où \(n\) est un entier naturel non nul. On note \(p_n\) la probabilité que le candidat qui répond au hasard donne au moins une bonne réponse. Justifie que \(p_n=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\), puis détermine la limite de la suite \((p_n)\) et interprète-la.

6) À partir de combien de questions la probabilité de donner au moins une bonne réponse en répondant au hasard atteint-elle \(0{,}95\) ?