Fonctions numériques — Travaux pratiques

Exercice 2 — Asymptotes

Déterminer les asymptotes de $f(x)=\dfrac{x-2}{x+1}$.

Exercice 3 — Étude complète

Étudier complètement $f(x)=x^3-3x$ sur $\mathbb{R}$ (dérivée, signe, variations, valeurs remarquables).

Exercice 4 — Étude d'une fonction rationnelle

Étudier $f(x)=\dfrac{2x-3}{x-2}$ : domaine, asymptotes, sens de variation (via la dérivée du quotient).

Exercice 5 — Étude d'un polynôme de degré 4

Étudier $f(x)=x^4-8x^2+7$ : dérivée factorisée, tableau de signes, variations et valeurs remarquables.

Exercice 6 — Synthèse

Étudier $f(x)=\dfrac{3x+2}{2x-6}$ : domaine, asymptotes, et sens de variation (dérivée via la forme $\dfrac{3}{2}+\dfrac{11}{2x-6}$).

Une retenue d'eau alimente un périmètre maraîcher. Pendant huit mois, les exploitants relèvent le niveau de l'eau. À l'instant \(t\), exprimé en mois, avec \(0\leq t\leq 8\), ce niveau, en décimètres, est modélisé par \(h(t)=-t^3+12t^2-36t+50\).

1) Calcule \(h(0)\), puis \(h'(t)\). Montre que \(h'(t)=-3(t-2)(t-6)\).

2) Étudie le signe de \(h'(t)\) sur \([0;8]\) et dresse le tableau de variations de \(h\).

3) Quel est le niveau le plus bas relevé pendant ces huit mois ? Quel est le plus haut ? À quels instants sont-ils atteints ? Décris l'évolution du niveau de l'eau.

4) Calcule \(h(4)\). À l'aide du tableau de variations, justifie que l'équation \(h(t)=34\) a exactement trois solutions dans \([0;8]\).

5) Le pompage n'est autorisé que lorsque le niveau est au moins égal à 34 décimètres. Calcule \(h(1)\) et \(h(7)\), encadre par deux entiers consécutifs chacune des deux autres solutions de l'équation \(h(t)=34\), puis décris les périodes pendant lesquelles le pompage est autorisé.

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{x^2+x+2}{x+2}\). On note \((C)\) sa courbe dans un repère et \((D)\) la droite d'équation \(y=x-1\).

1) Détermine l'ensemble de définition de \(f\), puis ses limites en \(-2\), à droite et à gauche. Quelle asymptote à \((C)\) obtient-on ?

2) Vérifie que, pour tout \(x\) différent de \(-2\), \(f(x)=x-1+\dfrac{4}{x+2}\). Déduis-en les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\).

3) Calcule \(f(x)-(x-1)\) et détermine sa limite en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Que peux-tu en conclure pour la droite \((D)\) ? Étudie la position de \((C)\) par rapport à \((D)\).

4) Montre que \(f'(x)=\dfrac{x(x+4)}{(x+2)^2}\), étudie son signe et dresse le tableau de variations complet de \(f\).

5) À l'aide du tableau de variations, donne le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=-3\), puis de l'équation \(f(x)=2\). Vérifie que \(x^2-x-2=(x-2)(x+1)\) et résous par le calcul l'équation \(f(x)=2\).

Un atelier de couture confectionne des tenues scolaires. Lorsqu'il produit \(x\) dizaines de tenues dans la semaine, son coût total, en milliers de francs, est \(2x^2+5x+72\). Le coût moyen d'une dizaine de tenues, en milliers de francs, est donc \(f(x)=\dfrac{2x^2+5x+72}{x}\), pour tout \(x\gt 0\). On note \((C)\) la courbe de \(f\).

1) Vérifie que \(f(x)=2x+5+\dfrac{72}{x}\). Détermine la limite de \(f\) en 0, donne l'asymptote correspondante et interprète ce résultat pour l'atelier.

2) Détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\). Calcule \(f(x)-(2x+5)\) et sa limite en \(+\infty\) : que peux-tu dire de la droite \((D)\) d'équation \(y=2x+5\) ? Précise la position de \((C)\) par rapport à \((D)\).

3) Calcule \(f'(x)\) et montre que \(f'(x)=\dfrac{2(x-6)(x+6)}{x^2}\). Étudie son signe et dresse le tableau de variations de \(f\).

4) Quelle production rend le coût moyen minimal ? Donne alors le coût de revient d'une tenue, en francs.

5) L'atelier vend ses tenues 35 milliers de francs la dizaine. Il ne vend pas à perte lorsque le coût moyen ne dépasse pas ce prix, c'est-à-dire lorsque \(f(x)\leq 35\). Montre que cette inéquation équivaut à \(2x^2-30x+72\leq 0\), vérifie que \(2x^2-30x+72=2(x-3)(x-12)\), puis détermine les productions pour lesquelles l'atelier ne vend pas à perte. Ce résultat est-il cohérent avec le tableau de variations ?

Soit \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\dfrac{2x^2-3x+2}{x^2+1}\). On note \((C)\) sa courbe dans un repère.

1) Justifie que \(f\) est définie pour tout réel \(x\). En mettant \(x^2\) en facteur au numérateur et au dénominateur, détermine les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Quelle asymptote à \((C)\) en déduis-tu ?

2) Calcule \(f(x)-2\). Étudie la position de \((C)\) par rapport à la droite d'équation \(y=2\) et précise le point où elles se coupent.

3) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(f'(x)=\dfrac{3(x-1)(x+1)}{(x^2+1)^2}\).

4) Étudie le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variations complet de \(f\).

5) Justifie que, pour tout réel \(x\), \(\dfrac{1}{2}\leq f(x)\leq\dfrac{7}{2}\). Combien l'équation \(f(x)=3\) a-t-elle de solutions ? Et l'équation \(f(x)=4\) ? Justifie avec le tableau.