Fonctions numériques — Limites

Exercice 1 — Limite d'un polynôme

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} (5x^3-2x+1)$.

Exercice 2 — Limite d'une fraction rationnelle

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \frac{3x-2}{x+5}$.

Exercice 3 — Quantité conjuguée

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\sqrt{x+4}-\sqrt{x}\right)$.

Exercice 4 — Limites à gauche et à droite

Soit $f(x)=\dfrac{1}{2x-3}$. Calculer $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{-}} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(3/2)^{+}} f(x)$, puis conclure sur l'existence d'une limite globale en $\dfrac32$.

Exercice 5 — Domaine et limites

Soit $f(x)=\sqrt{3x-5}$. Déterminer le domaine de définition de $f$, puis calculer $\displaystyle\lim_{x\to+\infty} f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to(5/3)^{+}} f(x)$.

Exercice 6 — Limite en $-\infty$

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} \left(\sqrt{x^2+1}+x\right)$.

Exercice 6 — Limite d'une suite rationnelle

Soit $u_n = \dfrac{n^2+1}{n+2}$. Déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$ en réécrivant $u_n$ sous une forme adaptée.

Un patient avale un comprimé à l'instant \(t=0\). Pour tout \(t\geq 0\), exprimé en heures, la concentration du médicament dans son sang, en milligrammes par litre, est modélisée par \(c(t)=\dfrac{12t}{t^2+4}\).

1) Calcule \(c(0)\), \(c(2)\) et \(c(6)\).

2) Explique pourquoi les limites du numérateur et du dénominateur ne permettent pas de conclure directement sur la limite de \(c\) en \(+\infty\). En mettant \(t^2\) en facteur au dénominateur, détermine cette limite. Quelle asymptote la courbe de \(c\) admet-elle ? Interprète ce résultat pour le patient.

3) Démontre que, pour tout \(t\geq 0\), \(3-c(t)=\dfrac{3(t-2)^2}{t^2+4}\). Déduis-en la concentration maximale et l'instant où elle est atteinte.

4) Le médicament est efficace tant que la concentration est au moins égale à \(2{,}4\) milligrammes par litre. Montre que \(c(t)\geq 2{,}4\) équivaut à \(t^2-5t+4\leq 0\), puis détermine pendant combien de temps le médicament est efficace.

5) Une infirmière affirme : « Avec ce modèle, la concentration finit par être aussi proche de zéro que l'on veut, mais elle ne redevient jamais exactement nulle. » A-t-elle raison ? Justifie.

Une association ouvre une bibliothèque numérique pour les lycéens de sa ville. Elle prévoit que, \(t\) mois après l'ouverture, le nombre d'abonnés, exprimé en centaines, sera \(N(t)=\dfrac{40t+30}{t+3}\), pour tout \(t\geq 0\).

1) Calcule \(N(0)\), \(N(3)\) et \(N(12)\), puis donne dans chaque cas le nombre d'abonnés.

2) Démontre que, pour tout \(t\geq 0\), \(N(t)=40-\dfrac{90}{t+3}\).

3) Détermine la limite de \(t+3\), puis celle de \(\dfrac{1}{t+3}\), quand \(t\) tend vers \(+\infty\). Déduis-en la limite de \(N\) en \(+\infty\) et l'asymptote correspondante.

4) Justifie que \(N(t)\lt 40\) pour tout \(t\geq 0\). Soient \(a\) et \(b\) deux nombres tels que \(0\leq a\lt b\) : compare \(N(a)\) et \(N(b)\). Interprète ces deux résultats, ainsi que la limite de la question 3, pour l'association.

5) L'association recrutera un second bibliothécaire dès que le nombre d'abonnés atteindra 3 700. Au bout de combien de mois cela se produira-t-il ?

On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{x^2-x-6}{x^2-9}\), et on note \((C)\) sa courbe dans un repère.

1) Détermine l'ensemble de définition \(D\) de \(f\).

2) En mettant \(x^2\) en facteur au numérateur et au dénominateur, détermine les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\). Quelle asymptote à \((C)\) en déduis-tu ?

3) Vérifie que \(x^2-x-6=(x-3)(x+2)\), puis simplifie \(f(x)\) pour \(x\) dans \(D\). Explique pourquoi la limite de \(f\) en 3 se présente d'abord sous une forme indéterminée, puis calcule-la.

4) Détermine les limites de \(f\) en \(-3\), à droite puis à gauche. Quelle asymptote obtient-on ? La droite d'équation \(x=3\) est-elle aussi asymptote à \((C)\) ? Justifie.

5) Calcule \(f(x)-1\) pour \(x\) dans \(D\) et déduis-en la position de \((C)\) par rapport à la droite d'équation \(y=1\).

6) Résous dans \(D\) les équations \(f(x)=0\) et \(f(x)=\dfrac{5}{6}\). Interprète le second résultat à l'aide de la question 3.

Une commune plante de jeunes arbres le long d'une avenue. D'après le service des espaces verts, la hauteur gagnée par un arbre \(t\) années après sa plantation, en mètres, est modélisée par \(h(t)=\sqrt{4t+9}-3\), pour tout \(t\geq 0\).

1) Calcule \(h(0)\), \(h(4)\), \(h(10)\) et \(h(18)\).

2) Détermine la limite de \(4t+9\) quand \(t\) tend vers \(+\infty\), puis celle de \(\sqrt{4t+9}\) et celle de \(h(t)\). Interprète ce résultat et dis ce qu'il t'inspire sur la validité du modèle.

3) Au bout de combien d'années un arbre aura-t-il gagné au moins 8 mètres ?

4) Pour \(t\gt 0\), on note \(m(t)=\dfrac{h(t)}{t}\) la hauteur gagnée en moyenne par année depuis la plantation. Vérifie que \(\left(\sqrt{4t+9}-3\right)\left(\sqrt{4t+9}+3\right)=4t\), puis déduis-en que \(m(t)=\dfrac{4}{\sqrt{4t+9}+3}\).

5) Explique pourquoi l'écriture \(m(t)=\dfrac{\sqrt{4t+9}-3}{t}\) ne permet pas de conclure directement sur la limite de \(m\) en \(+\infty\). Détermine cette limite avec l'écriture de la question 4 et interprète-la, en la comparant au résultat de la question 2.