Fonctions numériques — Dérivation

Exercice 1 — Dérivée composée

Calculer la dérivée de $f(x)=(3x-2)^4$.

Exercice 2 — Équation d'une tangente

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $f(x)=x^2-3x+2$ au point d'abscisse $x_0=1$.

Exercice 1 — Variations d'un polynôme

Étudier le signe de $f'(x)$ pour $f(x)=x^2-4x+3$ et en déduire ses variations sur $\mathbb{R}$.

Exercice 3 — Signe de la dérivée

Étudier le signe de $g'(x)$ et les variations de $g(x)=(1-3x)^2$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 4 — Dérivée et domaine

Calculer la dérivée de $f(x)=\sqrt{4-2x}$, puis déterminer le domaine de définition de $f$ et de $f'$.

Exercice 5 — Exponentielle composée

Soit $f(x)=e^{-2x+3}$. Calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.

Exercice 6 — Synthèse logarithme

Soit $f(x)=\ln(2x+6)-x$. Déterminer le domaine de définition, calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire les variations de $f$.

Une coopérative de femmes fabrique du jus de bissap. Lorsqu'elle produit et vend \(x\) milliers de litres dans le mois, avec \(0\leq x\leq 8\), son bénéfice mensuel, exprimé en dizaines de milliers de francs, est \(B(x)=-x^3+6x^2+15x-20\). Un bénéfice négatif est une perte.

1) Calcule \(B(0)\) et interprète ce nombre. Calcule ensuite \(B'(x)\) et montre que \(B'(x)=-3(x-5)(x+1)\).

2) Étudie le signe de \(B'(x)\) sur \([0;8]\), puis dresse le tableau de variations de \(B\).

3) Quelle production rend le bénéfice maximal ? Donne ce bénéfice en francs.

4) Calcule \(B(1)\) et \(B(7)\). À l'aide du tableau de variations, démontre que \(B(x)\geq 0\) pour tout \(x\) de l'intervalle \([1;7]\). Interprète ce résultat.

5) Ce mois-ci, la coopérative a produit et vendu 6 milliers de litres. La trésorière propose de passer à 8 milliers de litres pour gagner davantage. Qu'en penses-tu ? Justifie avec le sens de variation de \(B\) et un calcul.

Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) différent de 1 par \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}\). On note \((C)\) sa courbe dans un repère.

1) Détermine les limites de \(f\) en \(+\infty\) et en \(-\infty\), puis en 1, à droite et à gauche. Quelle asymptote à \((C)\) obtient-on ?

2) Calcule \(f'(x)\) et montre que, pour tout \(x\) différent de 1, \(f'(x)=\dfrac{(x-3)(x+1)}{(x-1)^2}\).

3) Étudie le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variations complet de \(f\), avec les limites de la question 1.

4) Quel est le maximum de \(f\) sur \(]-\infty;1[\) ? Quel est son minimum sur \(]1;+\infty[\) ? Déduis-en, sans calcul de discriminant, que l'équation \(f(x)=0\) n'a pas de solution.

5) Détermine une équation de la tangente à \((C)\) au point d'abscisse 0, puis au point d'abscisse 2. Démontre que ces deux tangentes sont parallèles.

Le gérant d'un ciné-club de quartier a observé que le nombre de billets vendus pour une séance dépend du prix du billet. Si le prix est de \(p\) centaines de francs, avec \(0\leq p\leq 9\), il vend \(q(p)=(18-2p)^2\) billets. La recette de la séance, en centaines de francs, est alors \(R(p)=p\times q(p)\).

1) Calcule \(q(2)\) et \(q(5)\). Calcule \(q'(p)\), donne son signe sur \([0;9]\) et interprète le sens de variation de \(q\).

2) Démontre que, pour tout \(p\) de \([0;9]\), \(R'(p)=(18-2p)(18-6p)\).

3) Étudie le signe de \(R'(p)\) sur \([0;9]\) et dresse le tableau de variations de \(R\).

4) Quel prix du billet rend la recette maximale ? Donne alors le nombre de billets vendus et la recette en francs.

5) Le gérant envisage de fixer le prix à 500 francs, en se disant qu'un billet plus cher rapporte forcément plus. Calcule la recette correspondante et explique son erreur.

On considère la fonction \(f\) définie sur l'intervalle \([0;12]\) par \(f(x)=x-2\sqrt{2x+1}\). On note \((C)\) sa courbe dans un repère. On admet que \(f\) est dérivable sur \([0;12]\).

1) Calcule la dérivée de la fonction \(x\mapsto\sqrt{2x+1}\), puis montre que \(f'(x)=\dfrac{\sqrt{2x+1}-2}{\sqrt{2x+1}}\).

2) Résous l'inéquation \(\sqrt{2x+1}\geq 2\) sur \([0;12]\). Déduis-en le signe de \(f'(x)\) et dresse le tableau de variations de \(f\).

3) Quels sont le minimum et le maximum de \(f\) sur \([0;12]\) ? Justifie le choix du maximum.

4) Détermine une équation de la tangente à \((C)\) au point d'abscisse 4.

5) À l'aide du tableau de variations, justifie que l'équation \(f(x)=0\) a une seule solution dans \([0;12]\). En comparant \(2\sqrt{17}\) à 8 et \(2\sqrt{19}\) à 9, démontre que cette solution est comprise entre 8 et 9.