Terminale A · Leçon 5
Fonction ln et exponentielle
Exercices corrigés
Résolution d'une équation exponentielle
Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.
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- Injectivité de l'exponentielle
$e^{2x-1}=e^3 \iff 2x-1=3$. - Résolution
$2x=4 \iff x=2$. - Résultat
$\mathbb{S} = \{2\}$.
Équation avec logarithme
Exercice 1 — Équation avec logarithme
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x)=3$.
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- Passage à l'exponentielle
$\ln(x)=3 \iff x=e^{3}$ (réciprocité de $\ln$ et $\exp$). - Résultat
$\mathbb{S}=\{e^{3}\}$.
Équation avec exponentielle
Exercice 2 — Équation avec exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{x}=7$.
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- Passage au logarithme
$e^{x}=7 \iff x=\ln 7$. - Résultat
$\mathbb{S}=\{\ln 7\}$.
Propriétés algébriques du logarithme
Exercice 3 — Propriétés algébriques
Calculer, sans calculatrice, $\ln(8)-\ln(2)+\ln\!\left(\dfrac14\right)$.
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- Écriture en puissances de $2$
$\ln 8=\ln(2^3)=3\ln2$ ; $\ln\!\left(\dfrac14\right)=\ln(2^{-2})=-2\ln2$. - Somme
$$3\ln2-\ln2-2\ln2 = (3-1-2)\ln2 = 0.$$ - Résultat
$\ln(8)-\ln(2)+\ln\!\left(\dfrac14\right) = 0$.
Inéquation exponentielle par changement de variable
Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.
Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.
Variations de $\ln(x)-x^2$
Exercice 4 — Étude de variations
Étudier les variations de $f(x)=\ln(x)-x^{2}$ sur $]0\,;+\infty[$ (dérivée, signe, valeur du maximum).
Équation quadratique en $e^x$
Exercice 5 — Équation quadratique en $e^x$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x}-e^{x}-6=0$.
Une inégalité classique : $\ln x < x$
Exercice 6 — Une inégalité classique
Étudier $g(x)=x-\ln(x)$ sur $]0\,;+\infty[$, montrer que $g(x)\ge1$ pour tout $x>0$, et en déduire que $\ln(x) < x$ pour tout $x>0$.
La courbe de l'oubli
Un professeur de psychologie fait apprendre une liste de mots à un groupe d'étudiants, puis il mesure ce qu'ils en retiennent au fil des jours. Le pourcentage moyen de mots encore retenus \(t\) jours après l'apprentissage est modélisé, pour tout \(t\geq 0\), par \(R(t)=20+80e^{-0{,}5t}\).
1) Calcule \(R(0)\) et interprète ce nombre. Donne la valeur exacte de \(R(2)\), puis sa valeur arrondie à l'unité.
2) Détermine la limite de \(-0{,}5t\), puis celle de \(e^{-0{,}5t}\), quand \(t\) tend vers \(+\infty\). Déduis-en la limite de \(R\) en \(+\infty\) et l'asymptote correspondante. Interprète ce résultat.
3) Calcule \(R'(t)\), donne son signe et le sens de variation de \(R\). Calcule \(R'(0)\) et interprète ce nombre.
4) Résous l'équation \(R(t)=60\). On note \(t_1\) sa solution : donne sa valeur exacte, puis une valeur approchée au centième.
5) Résous l'équation \(R(t)=40\) et démontre que sa solution est \(2t_1\). Un étudiant affirme : « En deux fois plus de temps, on oublie deux fois plus de mots. » Qu'en penses-tu ? Justifie par un calcul.
Le bénéfice d'une vannière
Une artisane fabrique des paniers tressés. Lorsqu'elle fabrique et vend \(x\) centaines de paniers dans l'année, avec \(1\leq x\leq 10\), son bénéfice annuel, exprimé en dizaines de milliers de francs, est \(B(x)=10\ln x-2x+4\).
1) Calcule \(B(1)\) et interprète ce nombre. Donne la valeur exacte de \(B(e)\), puis une valeur approchée au centième.
2) Calcule \(B'(x)\) et montre que, pour tout \(x\) de \([1;10]\), \(B'(x)=\dfrac{2(5-x)}{x}\).
3) Étudie le signe de \(B'(x)\) sur \([1;10]\), puis dresse le tableau de variations de \(B\), avec les valeurs exactes de \(B(5)\) et de \(B(10)\).
4) Combien de paniers l'artisane doit-elle fabriquer pour que son bénéfice soit maximal ? Donne ce bénéfice maximal en francs, à la centaine de francs près (on donne \(\ln 5\approx 1{,}609\)).
5) En écrivant \(10=2\times 5\), démontre que \(B(5)-B(10)=10\left(1-\ln 2\right)\). Justifie sans calculatrice que ce nombre est positif, puis interprète-le pour l'artisane (on donne \(\ln 2\approx 0{,}693\)).
Étude d'une fonction formée avec des exponentielles
Soit \(f\) la fonction définie pour tout réel \(x\) par \(f(x)=e^{2x}-6e^x+5\). On note \((C)\) sa courbe dans un repère.
1) Détermine la limite de \(f\) en \(-\infty\). Quelle asymptote à \((C)\) en déduis-tu ?
2) Vérifie que, pour tout réel \(x\), \(f(x)=e^x\left(e^x-6\right)+5\), puis détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\). Explique pourquoi l'écriture de départ ne permettait pas de conclure.
3) Calcule \(f'(x)\) et montre que \(f'(x)=2e^x\left(e^x-3\right)\).
4) Résous l'équation \(e^x=3\), étudie le signe de \(f'(x)\), puis dresse le tableau de variations de \(f\). Quel est le minimum de \(f\) ?
5) Vérifie que \(f(x)=\left(e^x-1\right)\left(e^x-5\right)\). Déduis-en les abscisses des points où \((C)\) coupe l'axe des abscisses, puis explique en quoi ce résultat est cohérent avec le tableau de variations.
6) Détermine une équation de la tangente à \((C)\) au point d'abscisse 0, puis vérifie qu'elle passe par l'origine du repère.
Étude d'une fonction formée avec le logarithme népérien
Soit \(f\) la fonction définie sur l'intervalle \([1;+\infty[\) par \(f(x)=x\ln x-2x\). On note \((C)\) sa courbe dans un repère.
1) Calcule les valeurs exactes de \(f(1)\), de \(f(e)\) et de \(f\left(e^2\right)\).
2) Vérifie que \(f(x)=x\left(\ln x-2\right)\), puis détermine la limite de \(f\) en \(+\infty\). Explique pourquoi il fallait factoriser.
3) Calcule \(f'(x)\) et montre que \(f'(x)=\ln x-1\).
4) Résous l'équation \(\ln x=1\), étudie le signe de \(f'(x)\) sur \([1;+\infty[\), puis dresse le tableau de variations de \(f\). Quel est le minimum de \(f\) ?
5) Résous l'équation \(f(x)=0\) sur \([1;+\infty[\), puis donne le signe de \(f(x)\). Interprète ce résultat pour la courbe \((C)\).
6) Détermine une équation de la tangente à \((C)\) au point d'abscisse \(e^2\). En quel point de \((C)\) la tangente est-elle parallèle à l'axe des abscisses ? Justifie.