Équations, inéquations et systèmes avec ln et exp

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Exercice 1 — Équation exponentielle directe

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{3x+1}=e^{7}$.

Exercice 2 — Équation logarithmique directe

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(5x-3)=\ln(x+9)$.

Exercice 3 — Inéquation exponentielle

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x-1}\le e^{5}$.

Exercice 4 — Équation avec changement de variable

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x}-4e^{x}+3=0$.

Exercice 5 — Inéquation logarithmique

Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(3x+1) > 2$.

Exercice 6 — Système avec exponentielle

Résoudre le système $\begin{cases} x+y=7 \\ e^{x}=e^{3}\,e^{y} \end{cases}$.

Le même jour, Awa place 400 000 francs à intérêts composés au taux annuel de 5 % et son cousin Issa place 500 000 francs à intérêts composés au taux annuel de 3 %. On note \(a_n\) le capital d'Awa et \(b_n\) celui d'Issa, en francs, au bout de \(n\) années. On donne \(\ln 1{,}03\approx 0{,}0296\), \(\ln 1{,}05\approx 0{,}0488\), \(\ln 1{,}25\approx 0{,}2231\) et \(\ln 1{,}5\approx 0{,}4055\).

1) Justifie que \((a_n)\) et \((b_n)\) sont des suites géométriques, puis exprime \(a_n\) et \(b_n\) en fonction de \(n\). Calcule \(a_1\) et \(b_1\).

2) Awa veut disposer d'au moins 600 000 francs. Montre que cela revient à résoudre l'inéquation \(1{,}05^n\geq 1{,}5\), puis détermine au bout de combien d'années ce sera le cas.

3) Démontre que \(a_n\gt b_n\) équivaut à \(n\left(\ln 1{,}05-\ln 1{,}03\right)\gt\ln 1{,}25\).

4) Déduis-en à partir de quelle année le capital d'Awa dépasse celui d'Issa.

5) Issa affirme : « Comme je suis parti avec 100 000 francs de plus, mon capital restera toujours le plus grand. » Explique son erreur, puis contrôle le résultat de la question 4 à l'aide des valeurs \(1{,}05^{11}\approx 1{,}7103\), \(1{,}03^{11}\approx 1{,}3842\), \(1{,}05^{12}\approx 1{,}7959\) et \(1{,}03^{12}\approx 1{,}4258\).

Sur un marché, on étudie la vente de sachets d'arachides grillées. Lorsque le sachet coûte \(x\) centaines de francs, avec \(1\leq x\leq 3\), les vendeuses sont prêtes à proposer \(f(x)=e^x-2\) milliers de sachets par semaine, tandis que les clients souhaitent en acheter \(g(x)=8e^{-x}\) milliers. On donne \(\ln 2\approx 0{,}693\).

1) Calcule \(f'(x)\) et \(g'(x)\), puis donne le sens de variation de \(f\) et de \(g\) sur \([1;3]\). Interprète ces deux résultats.

2) Le prix d'équilibre est celui pour lequel la quantité proposée est égale à la quantité demandée. Démontre que l'équation \(f(x)=g(x)\) équivaut à \(e^{2x}-2e^x-8=0\).

3) En posant \(X=e^x\), résous cette équation. Donne le prix d'équilibre en francs, à l'unité près, et la quantité échangée à ce prix.

4) Résous sur \([1;3]\) l'inéquation \(f(x)\gt g(x)\), puis interprète l'ensemble des solutions.

5) Pour quels prix de l'intervalle \([1;3]\) les clients demandent-ils au moins un millier de sachets ? Donne le prix maximal correspondant en francs, à l'unité près.

On considère l'équation \((E)\) : \(\ln(x-2)+\ln(x+1)=\ln(3x-2)\) et l'inéquation \((I)\) : \(\ln(x-2)+\ln(x+1)\leq\ln(3x-2)\).

1) Détermine l'ensemble \(D\) des réels \(x\) pour lesquels les trois logarithmes existent.

2) Démontre que, pour \(x\) dans \(D\), l'équation \((E)\) équivaut à \(x^2-4x=0\), puis résous \((E)\). Explique pourquoi l'une des deux valeurs trouvées doit être écartée.

3) Résous l'inéquation \((I)\).

4) Donne tous les entiers solutions de \((I)\) et vérifie directement que le plus petit d'entre eux convient. Le nombre 1 vérifie \(x^2-4x\leq 0\) : est-il solution de \((I)\) ? Justifie.

5) Sans refaire tous les calculs, résous l'inéquation \(\ln(x-2)+\ln(x+1)\geq\ln(3x-2)\).

On note \((L)\) le système d'inconnues \(X\) et \(Y\) : \(\begin{cases}2X+Y=7\\ X-3Y=0\end{cases}\)

1) Résous le système \((L)\).

2) Déduis-en les solutions du système \(\begin{cases}2\ln x+\ln y=7\\ \ln x-3\ln y=0\end{cases}\), après avoir précisé pour quels réels \(x\) et \(y\) il a un sens.

3) Déduis-en aussi les solutions du système \(\begin{cases}2e^x+e^y=7\\ e^x-3e^y=0\end{cases}\).

4) Démontre que le système \(\begin{cases}e^x+e^y=1\\ 2e^x-e^y=5\end{cases}\) n'a aucune solution.

5) On cherche deux réels \(x\) et \(y\) tels que \(\begin{cases}x+y=7\\ \ln x+\ln y=\ln 10\end{cases}\). Montre que \(x\) vérifie \(x^2-7x+10=0\), puis résous le système.