Terminale A · Leçon 6
Variables aléatoires
Exercices corrigés
Loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$ — calculs et graphique
Exercice 6 — Loi binomiale
$X\sim\mathcal{B}(n,p)$ : $P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$ · $E(X)=np$ · $V(X)=np(1-p)$
Un examen a 10 QCM avec 4 choix dont 1 seul correct. Un élève répond au hasard.
1. Loi de $X$ = nombre de bonnes réponses. 2. $P(X=3)$. 3. $P(X\geq6)$. 4. $E(X)$ et $V(X)$. 5. Tracer la loi.
Voir le corrigé
- Loi de $X$
Chaque QCM a 4 choix dont 1 seul correct → $p = \dfrac{1}{4} = 0{,}25$ · $n=10$
Les réponses sont indépendantes et $p$ est constante : $X \sim \mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$
$$P(X=k) = \binom{10}{k}(0{,}25)^k(0{,}75)^{10-k}, \quad k=0,1,\ldots,10$$ - $P(X=3)$
$P(X=3) = \dbinom{10}{3}(0{,}25)^3(0{,}75)^7 = 120 \times 0{,}015625 \times 0{,}1335$
$\approx 120 \times 0{,}002086 \approx \boxed{0{,}2503}$
C'est la valeur la plus probable (mode) de la loi. - $P(X \geq 6)$
$P(X \geq 6) = \displaystyle\sum_{k=6}^{10}\binom{10}{k}(0{,}25)^k(0{,}75)^{10-k}$
Calcul terme à terme :
$P(X=6)\approx 0{,}01622$ · $P(X=7)\approx 0{,}00309$ · $P(X=8)\approx 0{,}000386$
$P(X=9)\approx 0{,}0000286$ · $P(X=10)\approx 9{,}5\times10^{-7}$
$P(X \geq 6) \approx \boxed{0{,}0197}$ soit environ 2% de chance d'avoir 6 bonnes réponses ou plus en répondant au hasard. - $E(X)$ et $V(X)$
$E(X) = np = 10 \times 0{,}25 = \boxed{2{,}5}$ bonnes réponses en moyenne
$V(X) = np(1-p) = 10 \times 0{,}25 \times 0{,}75 = \boxed{1{,}875}$
$\sigma(X) = \sqrt{1{,}875} \approx 1{,}37$ - Diagramme en bâtons de la loi $\mathcal{B}(10\,;\,0{,}25)$
Le mode est en $k=2$ (valeur la plus probable), $E(X)=2{,}5$ matérialisé par la ligne rouge.
Loi des grands nombres — fréquences et convergence
Exercice 7 — Loi des grands nombres
On lance une pièce équilibrée $n$ fois. Soit $f_n$ la fréquence d'apparition de Face.
1. Quelle est la loi de $X$ = nombre de Face en $n$ lancers ?
2. $E(f_n)$ et $V(f_n)$.
3. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev : $P(|f_n-0{,}5|\geq\varepsilon)\leq\dfrac{1}{4n\varepsilon^2}$. Pour $\varepsilon=0{,}05$, quelle valeur minimale de $n$ assure $P(|f_n-0{,}5|\geq0{,}05)\leq0{,}01$ ?
Loi de probabilité et espérance
Exercice 3 — Loi de probabilité et espérance
Une variable aléatoire $X$ suit la loi $P(X=-2)=0{,}1$, $P(X=0)=0{,}4$, $P(X=3)=0{,}3$, $P(X=5)=0{,}2$. Vérifier qu'il s'agit bien d'une loi de probabilité, puis calculer $E(X)$.
Voir le corrigé
- Vérification
$0{,}1+0{,}4+0{,}3+0{,}2 = 1$ : c'est bien une loi de probabilité. - Espérance
$$E(X) = (-2)(0{,}1)+0(0{,}4)+3(0{,}3)+5(0{,}2) = -0{,}2+0+0{,}9+1.$$ - Résultat
$E(X) = 1{,}7$.
Variance et écart-type
Exercice 4 — Variance et écart-type
Pour la variable $X$ de l'exercice précédent ($P(X=-2)=0{,}1$, $P(X=0)=0{,}4$, $P(X=3)=0{,}3$, $P(X=5)=0{,}2$, $E(X)=1{,}7$), calculer $V(X)$ et $\sigma(X)$.
Jeu de gain : loi, répartition, espérance
Exercice 5 — Jeu de gain
On tire une carte parmi $10$ cartes numérotées de $1$ à $10$. Si le numéro est pair, le joueur gagne $500$ F ; s'il est impair et inférieur à $5$, il gagne $100$ F ; sinon il ne gagne rien. Déterminer la loi du gain $X$, sa fonction de répartition, et l'espérance de gain.
Détermination d'un paramètre
Exercice 6 — Détermination d'un paramètre
Une variable aléatoire $X$ suit la loi $P(X=-1)=p$, $P(X=1)=2p$, $P(X=2)=3p$. Déterminer $p$, puis calculer $E(X)$ et $V(X)$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.