Terminale A · Leçon 4
Étude de fonctions numériques d’une variable réelle, représentation graphique
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- Exemples d’étude et de représentation de fonctions simples : x ↦ ax + b + c / (dx + e)
- Étude de la fonction x ↦ x^n et de la fonction x ↦ x^(1/n) sur ℝ+ et pour n ∈ ℕ*
- Étude de fonctions simples comportant des fonctions logarithmes et/ou des fonctions exponentielles
- Étudier et représenter ces différentes fonctions
- Limite : tout exposé général sur les branches infinies est à exclure
- Limite : pour la recherche de l’asymptote oblique, la fonction f est mise sous la forme f(x) = ax + b + un terme de limite nulle à l’infini
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale A, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Étude d'une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est une fonction de la forme \(f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}\), où \(P\) et \(Q\) sont des polynômes avec \(Q \not\equiv 0\). Son domaine de définition est \(\mathbb{R}\) privé des racines de \(Q\) : \(\mathcal{D}_f = \{x \in \mathbb{R} \mid Q(x) \neq 0\}\).
On appelle asymptote verticale en \(x = x_0\) toute droite verticale telle que \(f(x) \to \pm\infty\) quand \(x \to x_0\) (avec \(x_0\) racine de \(Q\) non racine de \(P\)). On appelle asymptote horizontale en \(y = \ell\) toute droite horizontale telle que \(f(x) \to \ell\) quand \(x \to +\infty\) ou \(x \to -\infty\).
- Asymptote verticale : résoudre \(Q(x) = 0\). Pour chaque racine \(x_0\), calculer \(\lim_{x \to x_0^+} f(x)\) et \(\lim_{x \to x_0^-} f(x)\) (analyser les signes au voisinage).
- Asymptote horizontale : diviser numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de \(x\) présente, puis passer à la limite. Si \(\deg P < \deg Q\), la limite est \(0\). Si \(\deg P = \deg Q\), la limite est le rapport des coefficients dominants.
- Décomposer : pour \(f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d}\), écrire \(f(x) = \dfrac{a}{c} + \dfrac{k}{cx+d}\) (division euclidienne) permet de lire simultanément l'asymptote horizontale \(y = a/c\) et la forme de la dérivée.
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Division euclidienne : \(2x + 1 = 2(x-1) + 3\), donc \(f(x) = 2 + \dfrac{3}{x-1}\).
Asymptote verticale \(x = 1\) : quand \(x \to 1^+\), \(\frac{3}{x-1} \to +\infty\) ; quand \(x \to 1^-\), \(\frac{3}{x-1} \to -\infty\). Asymptote horizontale \(y = 2\) : quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{3}{x-1} \to 0\).
Dérivée : \(f'(x) = -\dfrac{3}{(x-1)^2} < 0\) sur tout le domaine. La fonction est donc strictement décroissante sur chacun des deux intervalles \(]-\infty\,;1[\) et \(]1\,;+\infty[\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\). Division : \(x + 3 = \tfrac{1}{2}(2x-4) + 5\), donc \(f(x) = \dfrac{1}{2} + \dfrac{5}{2x-4}\).
Asymptote verticale \(x = 2\) : quand \(x \to 2^+\), \(\frac{5}{2x-4} \to +\infty\) ; quand \(x \to 2^-\), \(\frac{5}{2x-4} \to -\infty\).
Asymptote horizontale \(y = \tfrac{1}{2}\) : quand \(x \to \pm\infty\).
Dérivée (règle du quotient, avec \(u = x+3\), \(v = 2x-4\)) :
\[ f'(x) = \frac{1 \cdot (2x-4) - (x+3) \cdot 2}{(2x-4)^2} = \frac{2x - 4 - 2x - 6}{(2x-4)^2} = \frac{-10}{(2x-4)^2} < 0. \]\(f'\) est partout strictement négative : \(f\) est décroissante sur chacun des deux intervalles de son domaine.
Soit \(h(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x + 2}\). Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Division euclidienne de \(x^2 - 1\) par \(x + 2\) : \(x^2 - 1 = (x+2)(x-2) + 3\), donc \(h(x) = x - 2 + \dfrac{3}{x+2}\).
Quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{3}{x+2} \to 0\) donc \(h(x) \approx x - 2\) : la droite \(y = x - 2\) est une asymptote oblique (voir section suivante). L'asymptote verticale est \(x = -2\).
Si \(Q(x_0) = 0\) et \(P(x_0) = 0\) simultanément, il n'y a pas nécessairement d'asymptote verticale en \(x_0\). Par exemple \(f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} = \dfrac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2\) pour \(x \neq 2\). La droite \(x = 2\) n'est pas une asymptote : la fonction se prolonge par continuité. Toujours simplifier avant de conclure.
Quand on obtient \(f'(x) = \dfrac{k}{(cx+d)^2}\), le dénominateur est toujours positif. Le signe de \(f'\) est donc entièrement déterminé par le signe de la constante \(k\) : si \(k < 0\), la fonction est décroissante partout sur son domaine sans exception. Pas besoin de tableau de signes complexe.
Figure III.2 — Fraction rationnelle : asymptotes et courbe
asymptote verticale
asymptote horizontale
Fonctions de référence : carré, cube, racine carrée, inverse
Rappel de SecondeSa courbe est une droite de coefficient directeur \(a\) et d'ordonnée à l'origine \(b\). Si \(a>0\) : croissante sur \(\mathbb R\). Si \(a<0\) : décroissante. Si \(a=0\) : constante.
Pour tracer la droite connaissant un point \(A(x_0;y_0)\) et le coefficient directeur \(a\) : partir de \(A\), avancer de \(1\) en abscisse et de \(a\) en ordonnée pour obtenir un second point.
Courbe en forme de parabole, minimum \(0\) atteint en \(x=0\). Décroissante sur \(]-\infty;0]\), croissante sur \([0;+\infty[\). Fonction paire.
Puissances d'exposant réel et racines n-ièmes
Les puissances entières sont familières. La nouveauté est d'étendre la notion à un exposant réel quelconque — ce qui permet d'écrire \(2^{\sqrt{3}}\) ou \(x^{1/3}\) de façon cohérente.
Pour \(a > 0\) et \(\alpha \in \mathbb{R}\) :
\[a^\alpha = e^{\alpha \ln a}.\]Cette définition est cohérente avec les puissances entières et impose \(a > 0\).
Et : \(\ln(a^\alpha) = \alpha \ln a\) pour tout \(\alpha \in \mathbb{R}\), \(a > 0\).
La fonction \(x \mapsto x^\alpha = e^{\alpha \ln x}\) est définie et dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) :
\[(x^\alpha)' = \alpha\,x^{\alpha - 1}.\]Si \(\alpha > 0\) : strictement croissante, \(\lim_{+\infty} x^\alpha = +\infty\), \(\lim_{0^+} x^\alpha = 0\). Si \(\alpha < 0\) : décroissante, limites échangées.
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) et \(x > 0\) :
\[\sqrt[n]{x} = x^{1/n} = e^{\frac{\ln x}{n}}.\]C'est l'unique réel strictement positif dont la puissance \(n\)-ième vaut \(x\).
- \(8^{2/3} = (8^{1/3})^2 = 2^2 = 4\).
- \(4^{3/2} = (4^{1/2})^3 = 2^3 = 8\).
- \(\left(\dfrac{1}{9}\right)^{-1/2} = 9^{1/2} = 3\).
- Dérivée de \(f(x) = x^{5/3}\) : \(f'(x) = \dfrac{5}{3}x^{2/3}\).
- \(x^\alpha\) vs \(a^x\) : dans \(x^\alpha\), l'exposant est fixe, la base varie — dérivée \(\alpha x^{\alpha-1}\). Dans \(a^x = e^{x\ln a}\), la base est fixe, l'exposant varie — dérivée \(\ln(a) \cdot a^x\). Ce sont deux natures très différentes.
- Domaine : \(x^\alpha\) avec \(\alpha \notin \mathbb{Z}\) n'est définie (au sens réel) que pour \(x > 0\).
Figure interactive — Familles de fonctions puissances \(x^\alpha\)
tangente en \(x=1\)
Déplacer le curseur pour faire varier l'exposant \(\alpha\)
Toutes les courbes \(x^\alpha\) passent par \((1\,;\,1)\). La pente de la tangente en ce point vaut \(\alpha\). Quand \(\alpha > 0\) la fonction est croissante ; quand \(\alpha < 0\) elle est décroissante. Le cas \(\alpha = 1\) donne la droite \(y = x\).
Étude de la fonction ln : limites, dérivée, variations
Il existe une unique fonction dérivable sur \(]0\,;+\infty[\), notée \(\ln\) (logarithme népérien), vérifiant :
\[ \ln(1) = 0 \qquad\text{et}\qquad (\ln x)' = \frac{1}{x} \quad\text{pour tout } x > 0. \]Ce sont les deux caractéristiques qui définissent \(\ln\) de façon unique. Toutes les autres propriétés en découlent.
Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\) :
\[ \ln(ab) = \ln a + \ln b. \]On en déduit immédiatement, pour \(a, b > 0\) et \(n \in \mathbb{Z}\) :
\[ \ln\!\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a \qquad \ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^{n}) = n\ln a. \]Puisque \((\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0\) pour tout \(x > 0\), la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\).
\[ \lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty. \]Valeurs remarquables : \(\ln 1 = 0\) et, par définition du nombre \(e\), \(\ln e = 1\) (avec \(e \approx 2{,}718\)).
| \(x\) | \(0^+\) | \(\frac{1}{e}\) | \(1\) | \(e\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
| variation | ↗ strictement croissante | ||||
Pour simplifier \(\ln A\) avec \(A > 0\), on factorise \(A\) en produit, quotient ou puissance, puis on applique les règles algébriques.
- Factoriser l'expression sous le \(\ln\).
- Développer avec \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\).
- Simplifier les termes restants.
Calculer \(\ln\!\left(\dfrac{e^{3}}{\sqrt{e}}\right)\).
\(\ln\!\left(\dfrac{e^{3}}{\sqrt{e}}\right) = \ln(e^3) - \ln(e^{1/2}) = 3\ln e - \tfrac{1}{2}\ln e = 3 - \tfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\).
Résoudre \(\ln(2x - 1) = \ln 3\) (sur \(]1/2\,;+\infty[\)).
\(\ln\) étant strictement croissante, l'équation \(\ln A = \ln B\) est équivalente à \(A = B\). Donc \(2x - 1 = 3\), soit \(x = 2\). On vérifie : \(2 \cdot 2 - 1 = 3 > 0\). Solution : \(\{2\}\).
Résoudre \(\ln x \leq \ln(3x - 2)\) sur leur domaine commun.
Domaine : \(x > 0\) et \(3x - 2 > 0\), donc \(x > 2/3\). Comme \(\ln\) est croissante, l'inéquation équivaut à \(x \leq 3x - 2\), soit \(2 \leq 2x\), soit \(x \geq 1\). En intersectant avec le domaine : \(x \geq 1\). Solution : \([1\,;+\infty[\).
On ne peut écrire \(\ln A\) que si \(A\) est strictement positif. Avant tout calcul, il faut donc préciser le domaine en imposant \(A > 0\). Oublier cette condition entraîne une pénalité systématique au Bac.
Pour comparer deux réels strictement positifs \(a\) et \(b\), on peut étudier le signe de \(\ln a - \ln b = \ln(a/b)\) : il est positif si et seulement si \(a/b > 1\), c'est-à-dire \(a > b\). La croissance de \(\ln\) transforme une comparaison de réels en une comparaison de logarithmes.
Figure 1 — Courbe de y = ln x (déplacer le curseur pour lire les valeurs)
tangente en \(a\)
Étude de la fonction exponentielle : limites, dérivée, variations
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^{x}\), est la fonction réciproque de \(\ln\). Cela signifie que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[ \ln(e^{x}) = x \qquad\text{et}\qquad e^{\ln x} = x \;(x > 0). \]En particulier, \(e^{0} = 1\), \(e^{1} = e \approx 2{,}718\) et \(e^{-1} = 1/e\). La notation \(e^{x}\) est préférable à \(\exp(x)\) car elle respecte les règles de calcul sur les puissances.
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[ e^{a+b} = e^{a} \cdot e^{b} \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^{a}} \qquad e^{a-b} = \frac{e^{a}}{e^{b}} \qquad (e^{a})^{n} = e^{na}. \]On admet que \((e^{x})' = e^{x}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Comme \(e^{x} > 0\), la dérivée est toujours positive : \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[ \lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0 \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty. \]| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(e^{x}\) | \(0^+\) | \(e^{-1}\) | \(1\) | \(e\) | \(+\infty\) |
| variation | ↗ strictement croissante | ||||
Pour passer d'une équation/inéquation en \(\ln\) à une en \(e\) (ou inversement), on utilise la bijectivité et les relations réciproques :
- \(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u, v > 0\)).
- \(\ln u = k \iff u = e^{k}\) (avec \(u > 0\)).
- \(e^{u} = e^{v} \iff u = v\).
- \(e^{u} = k \iff u = \ln k\) (avec \(k > 0\)).
- Les inégalités : \(\ln u < \ln v \iff u < v\) et \(e^u < e^v \iff u < v\).
Résoudre \(e^{2x-1} = e^{x+3}\).
Comme \(\exp\) est injective : \(2x - 1 = x + 3\), donc \(x = 4\). Solution : \(\{4\}\).
Résoudre \(e^{x} = 5\) sur \(\mathbb{R}\).
En appliquant \(\ln\) des deux membres (loisible car \(5 > 0\)) : \(\ln(e^{x}) = \ln 5\), soit \(x = \ln 5\). Solution : \(\{\ln 5\}\).
Résoudre \(e^{3x} > e^{x+4}\).
Comme \(\exp\) est croissante : \(3x > x + 4\), soit \(2x > 4\), donc \(x > 2\). Solution : \(]2\,;+\infty[\).
\(e^{\ln x}\) n'est défini que pour \(x > 0\), mais \(\ln(e^{x})\) est défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Ne jamais appliquer \(\ln\) à un nombre négatif ou nul : \(\ln(-2)\) n'existe pas.
Lorsqu'une expression de la forme \(A \cdot e^{kx} + B\) doit être étudiée, on met \(e^{kx}\) en facteur pour lire le signe. Exemple : \(e^{x} - 2 = e^{x}(1 - 2e^{-x})\) — mais on préfère souvent étudier \(f(x) = e^{x} - 2\) directement : \(f(x) > 0 \iff e^x > 2 \iff x > \ln 2\).
Figure 2 — Courbe de y = e^x et tangente en x = a
tangente en \(a\)
Plan d'étude complet d'une fonction et représentation graphique
- Ensemble de définition \(D_f\)
- Parité / Périodicité
- Limites aux bornes de \(D_f\)
- Asymptotes — AV, AH, AO
- Dérivée \(f'(x)\) et son domaine
- Tableau de signes de \(f'\) → tableau de variations
- Points remarquables — axes, extremums, inflexion
- Tangentes particulières
- Tracé cohérent avec toutes les informations
Asymptotes horizontales, verticales, obliques et branches infinies
On dit que la droite \(y = mx + p\) est une asymptote oblique de \(f\) en \(+\infty\) (resp. \(-\infty\)) si \(\lim_{x \to +\infty} \bigl[f(x) - (mx+p)\bigr] = 0\). Cela se produit quand le degré du numérateur est exactement égal au degré du dénominateur plus un : \(\deg P = \deg Q + 1\).
- Effectuer la division euclidienne de \(P\) par \(Q\) : on obtient \(P(x) = Q(x) \cdot (mx + p) + r(x)\) où \(\deg r < \deg Q\).
- Donc \(f(x) = mx + p + \dfrac{r(x)}{Q(x)}\), et \(\dfrac{r(x)}{Q(x)} \to 0\) quand \(x \to \pm\infty\).
- La droite \(y = mx + p\) est l'asymptote oblique.
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Division : \(2x^2 + x - 3 = (x-1)(2x+3) + 0\), donc \(f(x) = 2x + 3\) pour \(x \neq 1\).
Ici le reste est nul : \(x = 1\) est une racine commune que l'on simplifie, et la fonction se prolonge en une droite. Il n'y a ni asymptote verticale, ni asymptote oblique — seulement un trou en \(x = 1\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{-1\}\). Division : \(x^2 + 2x - 1 = (x+1)(x+1) - 2\), donc \(g(x) = x + 1 - \dfrac{2}{x+1}\).
Asymptote oblique : \(y = x + 1\) (quand \(x \to \pm\infty\), \(\frac{2}{x+1} \to 0\)). Asymptote verticale : \(x = -1\).
Dérivée : \(g'(x) = 1 + \dfrac{2}{(x+1)^2} > 0\) : la fonction est strictement croissante sur chacun des deux intervalles de son domaine, ce qui est cohérent avec le comportement d'une hyperbole tournée par rapport aux axes.
Une asymptote est une droite dont la courbe s'approche, mais la courbe peut la croiser avant de s'y rapprocher à l'infini. Par exemple, si \(g(x) - (x+1) = -\frac{2}{x+1}\), alors \(g(-1+\varepsilon) - ((-1+\varepsilon)+1)\) change de signe selon le côté de \(-1\). La courbe est alternativement au-dessus et en-dessous de son asymptote.
Figure III.3 — Asymptote oblique : décomposition interactive
asymptote verticale \(x=-1\)
asymptote oblique \(y=x+1\)
Résumé
Primitive de \(1/x\) sur \(]0;+\infty[\), nulle en 1. Dérivée \(1/x\), strictement croissante. \(\ln(ab)=\ln a+\ln b\), \(\ln(a^n)=n\ln a\).
Réciproque de \(\ln\). \((e^x)' = e^x > 0\), strictement croissante. \(e^{a+b}=e^ae^b\). Jamais nulle.
\(a^\alpha = e^{\alpha\ln a}\) pour \(a>0\). \((x^\alpha)' = \alpha x^{\alpha-1}\). \(\sqrt[n]{x} = x^{1/n}\).
\(\ln x \ll x^\alpha \ll e^x\) à \(+\infty\). \(x^\alpha\ln x \to 0\) en \(0^+\) (\(\alpha>0\)). \((e^x-1)/x \to 1\) en 0.
Vérifier l'ensemble de validité avant tout. \(\ln a = \ln b \Leftrightarrow a=b\). \(e^a = e^b \Leftrightarrow a=b\).
Limites aux bornes → branches infinies. Signe de \(f'\) → variations, min/max. TVI + monotonie → solutions et balayage.
Domaine toujours \(\mathbb{R}\). Dériver terme à terme, factoriser \(f'\), dresser le tableau de signes. Le coefficient dominant détermine le comportement en \(\pm\infty\).
Dénominateur nul, numérateur non nul. Analyser les signes à gauche et à droite pour savoir si \(f \to +\infty\) ou \(-\infty\).
Diviser par la plus haute puissance. Si \(\deg P = \deg Q\) : limite = rapport des coefficients dominants. Si \(\deg P < \deg Q\) : limite = 0.
Division euclidienne de \(P\) par \(Q\) quand \(\deg P = \deg Q + 1\). Écrire \(f(x) = mx + p + \frac{r(x)}{Q(x)}\).
\(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\). Si le résultat est \(\dfrac{k}{v^2}\) avec \(k\) constant, le signe de \(f'\) est celui de \(k\).
Si \(f'(x_0) = 0\) mais \(f'\) ne change pas de signe, c'est un point d'inflexion. Toujours vérifier le changement de signe avant de conclure.
Sujet type Bac
Énoncé : Soit la fonction \(f\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(f(x) = x - \ln x\).
1. Étudier les limites aux bornes. 2. Calculer \(f'\) et dresser le tableau de variations. 3. Montrer que \(\ln x < x\) pour tout \(x > 0\). 4. L'équation \(f(x) = 2\) admet-elle des solutions ? Combien ? Les encadrer à \(0{,}1\) près.
Partie 1 — Limites aux bornes.
En \(0^+\) : \(x \to 0\) et \(-\ln x \to +\infty\), donc \(f(x) \to +\infty\).
En \(+\infty\) : \(f(x) = x\!\left(1 - \dfrac{\ln x}{x}\right) \to +\infty\), car \(\dfrac{\ln x}{x} \to 0\) (croissance comparée, \(\alpha=1\)).
Partie 2 — Variations.
\(f'(x) = 1 - \dfrac{1}{x} = \dfrac{x-1}{x}\). Signe de \(f'\) = signe de \(x-1\) :
| \(x\) | \(0^+\) | \(1\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | 1 | ↗ | \(+\infty\) |
\(f(1) = 1 - 0 = 1\) : minimum global.
Partie 3 — Inégalité \(\ln x < x\).
D'après le tableau, \(f(x) \ge f(1) = 1 > 0\) pour tout \(x > 0\). Donc \(x - \ln x > 0\), soit \(\ln x < x\).
Partie 4 — Solutions de \(f(x) = 2\).
Comme \(f(1) = 1 < 2\) et \(f \to +\infty\) aux deux extrémités, la droite \(y=2\) coupe la courbe en deux points — un sur chaque branche monotone. L'équation a exactement deux solutions.
| \(x\) | \(f(x) = x - \ln x\) | Comparaison à 2 |
|---|---|---|
| 0,1 | \(\approx 2{,}403\) | \(> 2\) |
| 0,2 | \(\approx 1{,}809\) | \(< 2\) |
| 0,15 | \(\approx 2{,}047\) | \(> 2\) |
Donc \(\alpha_1 \in\, ]0{,}15\,;\,0{,}20[\).
| \(x\) | \(f(x)\) | Comparaison à 2 |
|---|---|---|
| 3,1 | \(\approx 1{,}969\) | \(< 2\) |
| 3,2 | \(\approx 2{,}037\) | \(> 2\) |
Donc \(\alpha_2 \in\, ]3{,}1\,;\,3{,}2[\).
On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\) par \[f(x) = \frac{x^2 - x - 2}{x - 2}.\]
Question 1 — Domaine et simplification éventuelle.
Le seul réel interdit est \(x = 2\) (racine du dénominateur). Factorisons le numérateur : \(x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)\). On obtient donc \[f(x) = \frac{(x-2)(x+1)}{x-2} = x + 1 \quad \text{pour } x \neq 2.\] La valeur \(x = 2\) est exclue du domaine, mais la courbe est en réalité la droite \(y = x + 1\) avec un trou en \((2\,;\,3)\). Il n'y a ni asymptote verticale, ni asymptote oblique proprement dite.
Question 2 — Dérivée et variations.
Sur \(\mathbb{R} \setminus \{2\}\), \(f(x) = x + 1\) donc \(f'(x) = 1 > 0\) partout sur le domaine. La fonction est strictement croissante sur \(]-\infty\,;2[\) et sur \(]2\,;+\infty[\).
Question 3 — Étude de \(g(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x - 1}\).
Domaine : \(\mathbb{R} \setminus \{1\}\). Le numérateur \(x^2 + 1 \geq 1 > 0\) ne s'annule jamais, donc il n'y a pas de simplification.
Division euclidienne : \(x^2 + 1 = (x-1)(x+1) + 2\), donc \(g(x) = x + 1 + \dfrac{2}{x-1}\).
Asymptote verticale \(x = 1\) et asymptote oblique \(y = x + 1\).
Dérivée :
\[ g'(x) = 1 - \frac{2}{(x-1)^2} = \frac{(x-1)^2 - 2}{(x-1)^2}. \]\(g'(x) = 0 \Leftrightarrow (x-1)^2 = 2 \Leftrightarrow x = 1 \pm \sqrt{2}\). Soit \(x_1 = 1 - \sqrt{2} \approx -0{,}41\) et \(x_2 = 1 + \sqrt{2} \approx 2{,}41\).
Question 4 — Tableau de variations de \(g\).
Le dénominateur \((x-1)^2 > 0\) toujours, le signe de \(g'\) est celui de \((x-1)^2 - 2\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(x_1\) | \(1\) | \(x_2\) | \(+\infty\) | ||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(g'(x)\) | \(+\) | \(0\) | \(-\) | || | \(-\) | \(0\) | \(+\) | ||
| \(g\) | \(-\infty\) | \(\nearrow\) | \(x_1+1+\frac{2}{x_1-1}\) | \(\searrow\) | || | \(\searrow\) | \(x_2+1+\frac{2}{x_2-1}\) | \(\nearrow\) | \(+\infty\) |
Valeur au maximum local : \(g(x_1) = (1-\sqrt{2})+1+\dfrac{2}{-\sqrt{2}} = 2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} = 2 - 2\sqrt{2} \approx -0{,}83\). Valeur au minimum local : \(g(x_2) = 2 + \sqrt{2} + \sqrt{2} = 2 + 2\sqrt{2} \approx 4{,}83\).
Question 5 — Position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique.
On a \(g(x) - (x+1) = \dfrac{2}{x-1}\). Ce reste est positif quand \(x > 1\) (la courbe est au-dessus de l'asymptote) et négatif quand \(x < 1\) (la courbe est en-dessous). La courbe ne coupe donc jamais son asymptote oblique, mais est de part et d'autre selon la branche considérée.