Terminale A · Leçon 2
Fonctions exponentielles
Ce que dit le programme officiel (23 points)
- Fonction exponentielle de base a (a ∈ ℝ+* – {1}) : fonction de ℝ vers ℝ+* qui à x associe a^x
- Définir la fonction exponentielle de base a (a ∈ ℝ+* – {1})
- Propriétés algébriques ; définition : pour tout (x, y) de ℝ², f(x + y) = f(x).f(y) ; f(0) = 1 ; f(1) = a (f désignant la fonction exponentielle de base a)
- Règles de calcul sur les puissances a^x
- Utiliser les propriétés algébriques de la fonction exponentielle
- Limite : on admet l’existence de la fonction qui vérifie ces propriétés
- Calcul de f’(x) en fonction de f’(0) (f désignant la fonction exponentielle de base a)
- Utiliser les dérivées des fonctions x ↦ a^x dans la résolution des problèmes
- Sens de variation
- Représentation graphique
- Étudier et représenter la fonction exponentielle de base a (a ∈ ℝ+* – {1})
- Fonction exponentielle de base e : nombre e
- Définir le nombre e et donner une valeur approchée
- Définition, notation et propriétés de la fonction exponentielle de base e
- Utiliser les propriétés des fonctions exponentielles de base e
- Reconnaître et utiliser les limites : lim e^x / x = + ∞ en + ∞ ; lim e^x = + ∞ en + ∞ ; lim e^x = 0 en – ∞ ; lim (e^x – 1) / x = 1 en 0
- Étude et représentation graphique de la fonction x ↦ e^x
- Étudier et représenter la fonction exponentielle de base e
- Dérivée de la fonction x ↦ e^u(x)
- Déterminer la dérivée de la fonction x ↦ e^u(x)
- Fonction exponentielle de base 10
- Étudier et représenter la fonction exponentielle de base 10
- Limite : la fonction exponentielle est définie avant la fonction logarithme
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale A, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^{x}\), est la fonction réciproque de \(\ln\). Cela signifie que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[ \ln(e^{x}) = x \qquad\text{et}\qquad e^{\ln x} = x \;(x > 0). \]En particulier, \(e^{0} = 1\), \(e^{1} = e \approx 2{,}718\) et \(e^{-1} = 1/e\). La notation \(e^{x}\) est préférable à \(\exp(x)\) car elle respecte les règles de calcul sur les puissances.
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[ e^{a+b} = e^{a} \cdot e^{b} \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^{a}} \qquad e^{a-b} = \frac{e^{a}}{e^{b}} \qquad (e^{a})^{n} = e^{na}. \]On admet que \((e^{x})' = e^{x}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Comme \(e^{x} > 0\), la dérivée est toujours positive : \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[ \lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0 \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty. \]| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(e^{x}\) | \(0^+\) | \(e^{-1}\) | \(1\) | \(e\) | \(+\infty\) |
| variation | ↗ strictement croissante | ||||
Pour passer d'une équation/inéquation en \(\ln\) à une en \(e\) (ou inversement), on utilise la bijectivité et les relations réciproques :
- \(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u, v > 0\)).
- \(\ln u = k \iff u = e^{k}\) (avec \(u > 0\)).
- \(e^{u} = e^{v} \iff u = v\).
- \(e^{u} = k \iff u = \ln k\) (avec \(k > 0\)).
- Les inégalités : \(\ln u < \ln v \iff u < v\) et \(e^u < e^v \iff u < v\).
Résoudre \(e^{2x-1} = e^{x+3}\).
Comme \(\exp\) est injective : \(2x - 1 = x + 3\), donc \(x = 4\). Solution : \(\{4\}\).
Résoudre \(e^{x} = 5\) sur \(\mathbb{R}\).
En appliquant \(\ln\) des deux membres (loisible car \(5 > 0\)) : \(\ln(e^{x}) = \ln 5\), soit \(x = \ln 5\). Solution : \(\{\ln 5\}\).
Résoudre \(e^{3x} > e^{x+4}\).
Comme \(\exp\) est croissante : \(3x > x + 4\), soit \(2x > 4\), donc \(x > 2\). Solution : \(]2\,;+\infty[\).
\(e^{\ln x}\) n'est défini que pour \(x > 0\), mais \(\ln(e^{x})\) est défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Ne jamais appliquer \(\ln\) à un nombre négatif ou nul : \(\ln(-2)\) n'existe pas.
Lorsqu'une expression de la forme \(A \cdot e^{kx} + B\) doit être étudiée, on met \(e^{kx}\) en facteur pour lire le signe. Exemple : \(e^{x} - 2 = e^{x}(1 - 2e^{-x})\) — mais on préfère souvent étudier \(f(x) = e^{x} - 2\) directement : \(f(x) > 0 \iff e^x > 2 \iff x > \ln 2\).
Figure 2 — Courbe de y = e^x et tangente en x = a
tangente en \(a\)
Dérivées usuelles et règles de calcul
Plutôt que de revenir chaque fois à la définition, on dispose d'un catalogue de dérivées connues et de règles qui permettent de dériver toute combinaison de fonctions sans calcul de limite.
Si \(u\) et \(v\) sont dérivables, et \(k \in \mathbb{R}\) :
\[\begin{array}{ll} (u+v)' = u'+v' & \qquad (ku)' = ku' \\[4pt] (uv)' = u'v + uv' & \qquad \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2} \quad (v \neq 0) \end{array}\]Pour \(\left(\dfrac{u}{v}\right)'\), on identifie d'abord \(u\) et \(v\), on calcule séparément \(u'\) et \(v'\), puis on applique la formule. Ne jamais « dériver numérateur et dénominateur séparément » sans la formule !
Soit \(f(x) = x^3 e^x\). Posons \(u = x^3\) et \(v = e^x\), alors \(u' = 3x^2\) et \(v' = e^x\).
\(f'(x) = 3x^2 \cdot e^x + x^3 \cdot e^x = e^x(3x^2 + x^3) = x^2 e^x(3+x).\)
Soit \(g(x) = \dfrac{2x-1}{x^2+1}\). Posons \(u = 2x-1\), \(v = x^2+1\), donc \(u' = 2\), \(v' = 2x\).
\(g'(x) = \dfrac{2(x^2+1)-(2x-1)\cdot 2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{2x^2+2-4x^2+2x}{(x^2+1)^2} = \dfrac{-2x^2+2x+2}{(x^2+1)^2}.\)
Soit \(h(x) = 3\ln x - \dfrac{2}{x} + 5\) définie sur \(\,]0;+\infty[\).
\(h'(x) = \dfrac{3}{x} - \left(-\dfrac{2}{x^2}\right) + 0 = \dfrac{3}{x} + \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{3x+2}{x^2}.\)
\(\left(\dfrac{1}{x^2}\right)'\) peut se traiter comme un quotient (\(u=1,\ v=x^2\)) ou comme une puissance \((x^{-2})' = -2x^{-3}\). Les deux donnent le même résultat \(-\dfrac{2}{x^3}\), mais la méthode des puissances est souvent plus rapide.
Signe de la dérivée, variations et extremums
Connaître la dérivée d'une fonction, c'est bien ; savoir en extraire l'information sur le comportement de la fonction, c'est encore mieux. Le lien entre le signe de \(f'\) et les variations de \(f\) est au cœur de l'étude de fonction.
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\).
- Si \(f'(x) > 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) < 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
- Si \(f'(x) = 0\) pour tout \(x \in I\), alors \(f\) est constante sur \(I\).
Si \(f'\) s'annule en un point \(x_0\) en changeant de signe, \(f\) admet un extremum local en \(x_0\) : minimum si \(f'\) passe de \(-\) à \(+\), maximum si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\).
Étape 1 : calculer \(f'(x)\). Étape 2 : résoudre \(f'(x) = 0\) et repérer les points où \(f'\) n'est pas définie. Étape 3 : signer \(f'\) sur chaque intervalle (tableau de signes). Étape 4 : en déduire le tableau de variations de \(f\), en calculant les valeurs remarquables (\(f\) aux extrémités et aux points critiques).
Étudier les variations de \(f(x) = (2x-1)^2\) sur \(\mathbb{R}\).
\(f'(x) = 2 \times 2 \times (2x-1) = 4(2x-1).\)
\(f'(x) = 0 \iff 2x-1 = 0 \iff x = \tfrac{1}{2}.\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{1}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | − | 0 | + | ||
| \(f(x)\) | \(+\infty\) | ↘ | 0 | ↗ | \(+\infty\) |
\(f\) est décroissante sur \(\left]-\infty\,;\frac{1}{2}\right]\), croissante sur \(\left[\frac{1}{2}\,;+\infty\right[\), avec un minimum global \(f\!\left(\frac{1}{2}\right) = 0\).
Étudier les variations de \(g(x) = x\,e^{-x}\) sur \(\mathbb{R}\).
\(g'(x) = 1 \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1-x).\)
Comme \(e^{-x} > 0\) pour tout \(x\), le signe de \(g'\) est celui de \((1-x)\) : \(g'(x) > 0 \iff x < 1\) et \(g'(x) < 0 \iff x > 1\).
\(g\) est croissante sur \(]-\infty\,; 1]\), décroissante sur \([1\,;+\infty[\), avec un maximum \(g(1) = e^{-1} = \dfrac{1}{e}\).
Étudier les variations de \(h(x) = \dfrac{x^2}{x-1}\) sur \(]-\infty\,;1[\).
\(h'(x) = \dfrac{2x(x-1)-x^2 \cdot 1}{(x-1)^2} = \dfrac{2x^2-2x-x^2}{(x-1)^2} = \dfrac{x^2-2x}{(x-1)^2} = \dfrac{x(x-2)}{(x-1)^2}.\)
Sur \(]-\infty\,;1[\), \((x-1)^2 > 0\). On signe \(x(x-2)\) : il s'annule en \(x=0\) et \(x=2\) (mais \(x=2\notin\,]-\infty\,;1[\)). Pour \(x < 0\) : \(x(x-2) = (\text{nég.})(\text{nég.}) > 0\) ; pour \(0 < x < 1\) : \(x(x-2) = (\text{pos.})(\text{nég.}) < 0\).
\(h\) est croissante sur \(]-\infty\,;0]\), décroissante sur \([0\,;1[\), avec un maximum local \(h(0) = 0\).
Dans les exercices de Bac, \(f'\) est souvent déjà factorisée ou se factorise facilement. Si l'énoncé demande de montrer que \(f'(x) = \ldots\), vérifier que la forme donnée se factorise bien et signer chaque facteur séparément.
Figure 3 — Variations de \(f(x) = x^2 + ax + b\) : déplacez les paramètres
\(f'(x) = 2x + a\)
Minimum de \(f\)
Lecture graphique et représentations d'une fonction
Rappel de SecondeRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresTracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou simples touches d'une calculatrice : ce sont quatre façons différentes de décrire la même fonction. Savoir passer de l'une à l'autre est la compétence centrale de ce chapitre.
Réservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresUne fonction est croissante sur un intervalle si, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi (l'ordre est conservé) ; décroissante si \(f(x)\) diminue quand \(x\) augmente (l'ordre est inversé) ; constante si \(f(x)\) ne change pas. L'étude du sens de variation se fait toujours de façon directe, en comparant deux images — jamais via une notion de limite, hors programme à ce niveau.
Une fonction est paire si sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (\(f(-x)=f(x)\)), impaire si elle est symétrique par rapport à l'origine (\(f(-x)=-f(x)\)).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Dérivée d'une fonction composée
Le programme de Terminale A limite la dérivation des fonctions composées au cas où la fonction « intérieure » est affine, c'est-à-dire de la forme \(x \mapsto ax+b\). Cette situation est extrêmement fréquente au Bac et mérite qu'on la maîtrise parfaitement.
Si \(f\) est dérivable et \(a, b \in \mathbb{R}\), alors la fonction \(x \mapsto f(ax+b)\) est dérivable et :
\[\big[f(ax+b)\big]' = a \cdot f'(ax+b).\]En d'autres termes, on dérive normalement \(f\), on évalue en \(ax+b\), et on multiplie par la dérivée de la fonction intérieure, c'est-à-dire par \(a\).
Avant de dériver, identifier \(f\) et la fonction affine intérieure \(u = ax+b\). Repérer le coefficient \(a\) qui « sort » devant lors de la dérivation. En cas de doute, noter la dérivée de \(f\) en \(u\) puis remplacer \(u\) par \(ax+b\) et multiplier par \(a\).
\(f(x) = (3x-2)^4\) : ici \(f : t \mapsto t^4\) et \(u = 3x-2\), donc \(a = 3\).
\(f'(x) = 4 \times 3 \times (3x-2)^3 = 12(3x-2)^3.\)
\(g(x) = \sqrt{5-2x}\) définie sur \(\left]-\infty\,;\frac{5}{2}\right[\). Ici \(a = -2\).
\(g'(x) = \dfrac{-2}{2\sqrt{5-2x}} = -\dfrac{1}{\sqrt{5-2x}}.\)
\(h(x) = e^{-2x+1}\) : \(h'(x) = -2\,e^{-2x+1}\).
\(k(x) = \ln(4x+3)\) définie sur \(\left]-\frac{3}{4}\,;+\infty\right[\) : \(k'(x) = \dfrac{4}{4x+3}\).
\(\big[e^{3x}\big]'\) n'est pas \(e^{3x}\), mais bien \(3e^{3x}\). De même, \(\big[\ln(5x)\big]' = \dfrac{5}{5x} = \dfrac{1}{x}\) (et non \(\dfrac{1}{5x}\)). Le facteur \(a\) est systématiquement obligatoire.
Figure 2 — Courbe de \(f(ax+b)\) et sa dérivée : choisissez \(f\), \(a\) et \(b\)
\(y = [f(ax+b)]'\)
Résumé
\(f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\). Tangente : \(y = f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)\).
\((x^n)' = nx^{n-1}\), \((\sqrt x)' = \frac{1}{2\sqrt x}\), \((\ln x)' = \frac{1}{x}\), \((e^x)' = e^x\).
\((uv)' = u'v+uv'\). \(\left(\frac{u}{v}\right)' = \frac{u'v-uv'}{v^2}\).
\([f(ax+b)]' = a \cdot f'(ax+b)\). Le coefficient \(a\) sort systématiquement.
\(f' > 0 \Rightarrow f\) croissante. \(f' < 0 \Rightarrow f\) décroissante. Changement de signe de \(f'\) : extremum local.
Calculer \(f'\), factoriser, dresser le tableau de signes, puis le tableau de variations avec les valeurs remarquables.
Sujet type Bac
Question 1 — Calculer \(f'(x)\) et la simplifier.
\(f\) est le produit de \(u(x) = 2x-1\) et de \(v(x) = e^{-x}\).
On a \(u'(x) = 2\) et \(v'(x) = -e^{-x}\) (composée affine avec \(a=-1\)).
\(f'(x) = u'v + uv' = 2e^{-x} + (2x-1)(-e^{-x}) = e^{-x}\big[2 - (2x-1)\big] = e^{-x}(3-2x).\)
Question 2 — Signe de \(f'(x)\) et tableau de variations.
Comme \(e^{-x} > 0\) pour tout réel \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \((3-2x)\).
\(3 - 2x > 0 \iff x < \dfrac{3}{2}.\)
| \(x\) | \(-\infty\) | \(\frac{3}{2}\) | \(+\infty\) | ||
|---|---|---|---|---|---|
| \(f'(x)\) | + | 0 | − | ||
| \(f(x)\) | \(-\infty\) | ↗ | \(2e^{-3/2}\) | ↘ | \(0\) |
\(f\) est croissante sur \(\left]-\infty\,;\frac{3}{2}\right]\) et décroissante sur \(\left[\frac{3}{2}\,;+\infty\right[\), avec un maximum \(f\!\left(\frac{3}{2}\right) = (2\times\frac{3}{2}-1)e^{-3/2} = 2e^{-3/2}\).
Question 3 — Équation de la tangente en \(x_0 = 0\).
\(f(0) = (0-1)e^{0} = -1\).
\(f'(0) = e^{0}(3-0) = 3\).
L'équation de la tangente en \(x_0 = 0\) est : \(y = 3(x - 0) + (-1) = 3x - 1.\)
Question 4 — Limites aux bornes.
En \(+\infty\) : \(e^{-x} \to 0\) et \((2x-1)\) croît, mais les exponentielles l'emportent sur les polynômes : \(\lim_{x\to+\infty} f(x) = 0\). La courbe admet la droite \(y=0\) comme asymptote horizontale en \(+\infty\).
En \(-\infty\) : \(2x-1 \to -\infty\) et \(e^{-x} \to +\infty\), donc \(f(x) \to -\infty\). La courbe n'a pas d'asymptote en \(-\infty\).
Question 5 — Point d'intersection avec l'axe des abscisses.
\(f(x) = 0 \iff (2x-1)e^{-x} = 0 \iff 2x-1 = 0\) (car \(e^{-x} \neq 0\)) \(\iff x = \dfrac{1}{2}\).
La courbe coupe l'axe des abscisses en \(\left(\dfrac{1}{2}\,; 0\right)\) uniquement.