Terminale A · Leçon 3
Fonctions logarithmes
Ce que dit le programme officiel (22 points)
- Fonction logarithme népérien : notation Log ou ln
- Propriétés des fonctions réciproques
- Reconnaître et utiliser les propriétés des fonctions réciproques
- Définition de la fonction logarithme népérien
- Définir la fonction logarithme népérien
- Limite : les fonctions logarithme décimal et logarithme népérien sont définies comme réciproques respectives des fonctions exponentielles de bases 10 et e
- Propriétés algébriques : pour tout (x, y) de (ℝ+*)², ln(xy) = ln(x) + ln(y)
- Propriétés algébriques : ln(1/x) = – ln x ; ln(x/y) = ln x – ln y
- Propriétés algébriques : ln x^r = r ln x, r ∈ ℚ
- Utiliser les propriétés algébriques de la fonction logarithme népérien
- Dérivée
- Utiliser la dérivée de la fonction x ↦ ln o u(x)
- Limites
- Retrouver et utiliser les limites suivantes : lim (ln x) / x = 0 en + ∞ ; lim x ln x = 0 en 0 ; lim ln x = – ∞ en 0 ; lim ln x = + ∞ en + ∞ ; lim ln(x + 1) / x = 1 en 0 ; lim (ln x) / (x – 1) = 1 en 1
- Représentation graphique
- Étudier et représenter la fonction x ↦ ln x
- Fonction logarithme décimal : propriétés algébriques
- Utiliser les propriétés algébriques de la fonction logarithme décimal
- Étudier et représenter la fonction x ↦ log x
- Résolution d’équations et d’inéquations comportant des logarithmes et des exponentielles
- Utiliser le changement de variable pour résoudre des équations, inéquations et systèmes comportant des logarithmes et des exponentielles
- Limite : on se limite aux équations et inéquations de degré inférieur ou égal à 3 ou à celles s’y ramenant, et aux systèmes de deux équations à deux inconnues
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale A, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Fonction logarithme népérien : définition, propriétés algébriques
Il existe une unique fonction dérivable sur \(]0\,;+\infty[\), notée \(\ln\) (logarithme népérien), vérifiant :
\[ \ln(1) = 0 \qquad\text{et}\qquad (\ln x)' = \frac{1}{x} \quad\text{pour tout } x > 0. \]Ce sont les deux caractéristiques qui définissent \(\ln\) de façon unique. Toutes les autres propriétés en découlent.
Pour tous réels \(a > 0\) et \(b > 0\) :
\[ \ln(ab) = \ln a + \ln b. \]On en déduit immédiatement, pour \(a, b > 0\) et \(n \in \mathbb{Z}\) :
\[ \ln\!\left(\frac{1}{a}\right) = -\ln a \qquad \ln\!\left(\frac{a}{b}\right) = \ln a - \ln b \qquad \ln(a^{n}) = n\ln a. \]Puisque \((\ln x)' = \dfrac{1}{x} > 0\) pour tout \(x > 0\), la fonction \(\ln\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\).
\[ \lim_{x \to 0^{+}} \ln x = -\infty \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} \ln x = +\infty. \]Valeurs remarquables : \(\ln 1 = 0\) et, par définition du nombre \(e\), \(\ln e = 1\) (avec \(e \approx 2{,}718\)).
| \(x\) | \(0^+\) | \(\frac{1}{e}\) | \(1\) | \(e\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(\ln x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
| variation | ↗ strictement croissante | ||||
Pour simplifier \(\ln A\) avec \(A > 0\), on factorise \(A\) en produit, quotient ou puissance, puis on applique les règles algébriques.
- Factoriser l'expression sous le \(\ln\).
- Développer avec \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\).
- Simplifier les termes restants.
Calculer \(\ln\!\left(\dfrac{e^{3}}{\sqrt{e}}\right)\).
\(\ln\!\left(\dfrac{e^{3}}{\sqrt{e}}\right) = \ln(e^3) - \ln(e^{1/2}) = 3\ln e - \tfrac{1}{2}\ln e = 3 - \tfrac{1}{2} = \dfrac{5}{2}\).
Résoudre \(\ln(2x - 1) = \ln 3\) (sur \(]1/2\,;+\infty[\)).
\(\ln\) étant strictement croissante, l'équation \(\ln A = \ln B\) est équivalente à \(A = B\). Donc \(2x - 1 = 3\), soit \(x = 2\). On vérifie : \(2 \cdot 2 - 1 = 3 > 0\). Solution : \(\{2\}\).
Résoudre \(\ln x \leq \ln(3x - 2)\) sur leur domaine commun.
Domaine : \(x > 0\) et \(3x - 2 > 0\), donc \(x > 2/3\). Comme \(\ln\) est croissante, l'inéquation équivaut à \(x \leq 3x - 2\), soit \(2 \leq 2x\), soit \(x \geq 1\). En intersectant avec le domaine : \(x \geq 1\). Solution : \([1\,;+\infty[\).
On ne peut écrire \(\ln A\) que si \(A\) est strictement positif. Avant tout calcul, il faut donc préciser le domaine en imposant \(A > 0\). Oublier cette condition entraîne une pénalité systématique au Bac.
Pour comparer deux réels strictement positifs \(a\) et \(b\), on peut étudier le signe de \(\ln a - \ln b = \ln(a/b)\) : il est positif si et seulement si \(a/b > 1\), c'est-à-dire \(a > b\). La croissance de \(\ln\) transforme une comparaison de réels en une comparaison de logarithmes.
Figure 1 — Courbe de y = ln x (déplacer le curseur pour lire les valeurs)
tangente en \(a\)
Fonctions réciproques et symétrie des courbes
Deux fonctions réciproques l'une de l'autre ont leurs courbes représentatives symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Pour \(\ln\) et \(\exp\), cela signifie que le point \((a\,;\, b)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\exp}\) si et seulement si \((b\,;\, a)\) appartient à \(\mathcal{C}_{\ln}\).
On pose \(g(x) = e^{x} - x - 1\) et on cherche le minimum de \(g\).
- \(g'(x) = e^{x} - 1\) : \(g'(x) < 0\) pour \(x < 0\), \(g'(x) > 0\) pour \(x > 0\).
- \(g\) est donc décroissante puis croissante, avec un minimum en \(x = 0\).
- \(g(0) = 1 - 0 - 1 = 0\), donc \(g(x) \geq 0\) pour tout \(x\).
- On conclut : \(e^{x} \geq x + 1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\), avec égalité uniquement en \(x = 0\).
Cette inégalité est très souvent demandée en préliminaire d'exercice de Bac.
Montrer que \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\).
Pour \(x > 0\), on pose \(t = \ln x\) (qui parcourt \(\mathbb{R}\) quand \(x\) parcourt \(]0\,;+\infty[\)). L'inégalité \(e^{t} \geq t + 1\) s'écrit \(x \geq \ln x + 1\), soit \(\ln x \leq x - 1\). L'égalité a lieu en \(t = 0\), c'est-à-dire en \(x = 1\).
Sur la figure interactive ci-dessous, on peut vérifier que le passage d'un point de \(\mathcal{C}_{\exp}\) à sa symétrique par rapport à \(y = x\) donne bien un point de \(\mathcal{C}_{\ln}\). Le curseur permet de déplacer le point et d'observer la construction en temps réel.
Figure 3 — Symétrie de ln et exp par rapport à y = x (déplacer le point bleu)
\(y = \ln x\)
\(y = x\)
Fonction exponentielle : définition, propriétés algébriques
La fonction exponentielle, notée \(\exp\) ou \(x \mapsto e^{x}\), est la fonction réciproque de \(\ln\). Cela signifie que, pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[ \ln(e^{x}) = x \qquad\text{et}\qquad e^{\ln x} = x \;(x > 0). \]En particulier, \(e^{0} = 1\), \(e^{1} = e \approx 2{,}718\) et \(e^{-1} = 1/e\). La notation \(e^{x}\) est préférable à \(\exp(x)\) car elle respecte les règles de calcul sur les puissances.
Pour tous réels \(a\) et \(b\) :
\[ e^{a+b} = e^{a} \cdot e^{b} \qquad e^{-a} = \frac{1}{e^{a}} \qquad e^{a-b} = \frac{e^{a}}{e^{b}} \qquad (e^{a})^{n} = e^{na}. \]On admet que \((e^{x})' = e^{x}\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Comme \(e^{x} > 0\), la dérivée est toujours positive : \(\exp\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
\[ \lim_{x \to -\infty} e^{x} = 0 \qquad\qquad \lim_{x \to +\infty} e^{x} = +\infty. \]| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(0\) | \(1\) | \(+\infty\) |
|---|---|---|---|---|---|
| \(e^{x}\) | \(0^+\) | \(e^{-1}\) | \(1\) | \(e\) | \(+\infty\) |
| variation | ↗ strictement croissante | ||||
Pour passer d'une équation/inéquation en \(\ln\) à une en \(e\) (ou inversement), on utilise la bijectivité et les relations réciproques :
- \(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u, v > 0\)).
- \(\ln u = k \iff u = e^{k}\) (avec \(u > 0\)).
- \(e^{u} = e^{v} \iff u = v\).
- \(e^{u} = k \iff u = \ln k\) (avec \(k > 0\)).
- Les inégalités : \(\ln u < \ln v \iff u < v\) et \(e^u < e^v \iff u < v\).
Résoudre \(e^{2x-1} = e^{x+3}\).
Comme \(\exp\) est injective : \(2x - 1 = x + 3\), donc \(x = 4\). Solution : \(\{4\}\).
Résoudre \(e^{x} = 5\) sur \(\mathbb{R}\).
En appliquant \(\ln\) des deux membres (loisible car \(5 > 0\)) : \(\ln(e^{x}) = \ln 5\), soit \(x = \ln 5\). Solution : \(\{\ln 5\}\).
Résoudre \(e^{3x} > e^{x+4}\).
Comme \(\exp\) est croissante : \(3x > x + 4\), soit \(2x > 4\), donc \(x > 2\). Solution : \(]2\,;+\infty[\).
\(e^{\ln x}\) n'est défini que pour \(x > 0\), mais \(\ln(e^{x})\) est défini pour tout \(x \in \mathbb{R}\). Ne jamais appliquer \(\ln\) à un nombre négatif ou nul : \(\ln(-2)\) n'existe pas.
Lorsqu'une expression de la forme \(A \cdot e^{kx} + B\) doit être étudiée, on met \(e^{kx}\) en facteur pour lire le signe. Exemple : \(e^{x} - 2 = e^{x}(1 - 2e^{-x})\) — mais on préfère souvent étudier \(f(x) = e^{x} - 2\) directement : \(f(x) > 0 \iff e^x > 2 \iff x > \ln 2\).
Figure 2 — Courbe de y = e^x et tangente en x = a
tangente en \(a\)
Équations et inéquations avec ln
Le logarithme népérien est strictement croissant sur \(]0\,;+\infty[\), donc bijectif sur cet intervalle : \[\ln u = \ln v \iff u = v \quad (\text{avec } u > 0 \text{ et } v > 0).\] Contrairement à l'exponentielle qui est définie sur tout \(\mathbb{R}\), le logarithme exige que ses arguments soient strictement positifs. Cette vérification du domaine est une étape obligatoire, jamais optionnelle.
Résoudre \(\ln(x+2) = \ln(3x-4)\).
Domaine : il faut \(x + 2 > 0\) et \(3x - 4 > 0\), soit \(x > -2\) et \(x > \tfrac{4}{3}\), donc \(x > \tfrac{4}{3}\).
Sur ce domaine, par injectivité de \(\ln\) : \[x + 2 = 3x - 4 \iff 6 = 2x \iff x = 3.\] Comme \(3 > \tfrac{4}{3}\), la solution est valide : \(\mathbb{S} = \{3\}\).
Résoudre \(\ln x + \ln(x+3) = \ln 10\).
Domaine : \(x > 0\) (la condition \(x+3>0\) est alors automatiquement satisfaite).
On applique \(\ln a + \ln b = \ln(ab)\) : \[\ln\!\big(x(x+3)\big) = \ln 10 \iff x(x+3) = 10.\] \[x^2 + 3x - 10 = 0.\] Discriminant : \(\Delta = 9 + 40 = 49\), \(\sqrt{\Delta} = 7\). \[x = \frac{-3 \pm 7}{2} \Rightarrow x = 2 \text{ ou } x = -5.\] Seul \(x = 2 > 0\) est dans le domaine. \(\mathbb{S} = \{2\}\).
Résoudre \(\ln(2x-1) = 2\).
Domaine : \(2x - 1 > 0\), soit \(x > \tfrac{1}{2}\).
On applique \(e^{\ln(\cdot)} = (\cdot)\) : \[\ln(2x-1) = 2 \iff 2x - 1 = e^2 \iff x = \frac{e^2 + 1}{2}.\] Comme \(\tfrac{e^2+1}{2} \approx 4{,}19 > \tfrac{1}{2}\), la solution est valide : \(\mathbb{S} = \!\left\{\dfrac{e^2+1}{2}\right\}\).
Une solution algébriquement correcte peut ne pas appartenir au domaine de définition (argument du logarithme négatif ou nul). Dans l'exemple 2, \(x = -5\) satisfait l'équation algébrique mais rend \(\ln x\) inexistant : elle doit être rejetée. Cette vérification finale est toujours exigée au Bac.
Figure 2 — Intersection de \(y = \ln x + \ln(x+3)\) et \(y = \ln 10\)
Parce que \(\exp\) et \(\ln\) sont toutes deux strictement croissantes, elles conservent le sens des inégalités :
\[u < v \iff e^u < e^v \qquad (u, v \in \mathbb{R})\] \[u < v \iff \ln u < \ln v \qquad (u, v > 0)\]Une fonction strictement décroissante aurait inversé le sens : c'est la raison pour laquelle il faut vérifier le sens de variation avant de passer une inégalité « sous l'exponentielle » ou « sous le logarithme ».
Résoudre \(e^x \leq 5\).
L'exponentielle est croissante, donc on peut prendre le logarithme des deux membres en conservant le sens : \[e^x \leq 5 \iff x \leq \ln 5.\] \(\mathbb{S} = ]-\infty\,;\,\ln 5]\).
Résoudre \(\ln(2x-1) > 0\).
Domaine : \(2x - 1 > 0\), soit \(x > \tfrac{1}{2}\).
On remarque que \(\ln 1 = 0\), et \(\ln\) est croissante, donc : \[\ln(2x-1) > 0 \iff 2x - 1 > 1 \iff x > 1.\] En croisant avec le domaine \(x > \tfrac{1}{2}\), on obtient : \(\mathbb{S} = ]1\,;+\infty[\).
Résoudre \(e^{2x} > 3e^x\).
On écrit \(e^{2x} - 3e^x > 0\), puis on factorise par \(e^x > 0\) : \[e^x(e^x - 3) > 0.\] Puisque \(e^x > 0\) toujours, l'inégalité est équivalente à \(e^x - 3 > 0\), soit \(e^x > 3\), soit \(x > \ln 3\). \(\mathbb{S} = ]\ln 3\,;+\infty[\).
Quand une inéquation contient \(e^{2x}\) et \(e^x\), il est souvent plus rapide de factoriser par \(e^x\) (toujours positif) que de poser \(t = e^x\) : on économise le changement de variable tout en traitant le signe correctement.
Figure 3 — Résolution graphique d'inéquations exponentielles
Logarithme décimal
Les nombres que l'on rencontre en sciences vont du milliardième au milliard : pour les comparer, on compte leurs puissances de dix. C'est le rôle du logarithme décimal, noté \(\log\). Il sert à mesurer l'acidité d'une solution, l'intensité d'un son ou la force d'un séisme, et il possède les mêmes règles de calcul que le logarithme népérien.
La fonction exponentielle de base 10, \(x\mapsto 10^x\), est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\) et prend une fois et une seule chaque valeur strictement positive. Pour tout réel \(x\gt 0\), il existe donc un unique réel \(y\) tel que \(10^y=x\).
Ce réel \(y\) est le logarithme décimal de \(x\), noté \(\log x\) :
\[y=\log x \iff 10^y=x \qquad (x\gt 0).\]La fonction \(\log\) est la réciproque de la fonction \(x\mapsto 10^x\) : pour tout réel \(y\), \(\log(10^y)=y\), et pour tout \(x\gt 0\), \(10^{\log x}=x\).
Valeurs à connaître. \(\log 1=0\), \(\log 10=1\), \(\log 100=2\), \(\log 1000=3\), \(\log 0{,}1=-1\), \(\log 0{,}01=-2\). Plus généralement, pour tout entier relatif \(n\), \(\log(10^n)=n\) : le logarithme décimal d'une puissance de dix est son exposant.
Lien avec le logarithme népérien. Comme \(10^y=e^{y\ln 10}\), l'égalité \(10^y=x\) s'écrit \(y\ln 10=\ln x\). Donc, pour tout \(x\gt 0\),
\[\log x=\frac{\ln x}{\ln 10}, \qquad \ln 10\approx 2{,}303.\]Pour tous réels \(a\gt 0\) et \(b\gt 0\), et pour tout entier relatif \(n\) :
- \(\log(ab)=\log a+\log b\) ;
- \(\log\left(\dfrac1b\right)=-\log b\) et \(\log\left(\dfrac ab\right)=\log a-\log b\) ;
- \(\log(a^n)=n\log a\) ;
- \(\log\sqrt a=\dfrac12\log a\).
Justification. Ces égalités sont celles du logarithme népérien, divisées par le nombre \(\ln 10\). Par exemple, \(\log(ab)=\dfrac{\ln(ab)}{\ln 10}=\dfrac{\ln a+\ln b}{\ln 10}=\log a+\log b\).
Conséquence utile. Multiplier un nombre par 10 ajoute 1 à son logarithme décimal : \(\log(10a)=1+\log a\). Le diviser par 10 lui retire 1.
Énoncé. a) Calculer \(\log 2+\log 5\), \(\log 200-\log 2\) et \(\log 0{,}001\). b) On donne \(\log 2\approx 0{,}301\). En déduire des valeurs approchées de \(\log 8\), \(\log 5\), \(\log 0{,}5\) et \(\log 200\).
Solution : a) \(\log 2+\log 5=\log(2\times 5)=\log 10=1\). Puis \(\log 200-\log 2=\log\dfrac{200}{2}=\log 100=2\). Enfin \(0{,}001=10^{-3}\), donc \(\log 0{,}001=-3\).
b) \(\log 8=\log(2^3)=3\log 2\approx 0{,}903\). Comme \(5=\dfrac{10}{2}\), \(\log 5=\log 10-\log 2=1-\log 2\approx 0{,}699\). Ensuite \(\log 0{,}5=\log\dfrac12=-\log 2\approx -0{,}301\). Enfin \(\log 200=\log(100\times 2)=2+\log 2\approx 2{,}301\).
On remarque que 200 est compris entre \(10^2\) et \(10^3\), et que son logarithme décimal est bien compris entre 2 et 3.
La fonction \(\log\) est définie sur \(]0\,;+\infty[\) et \(\log x=\dfrac{1}{\ln 10}\times\ln x\), avec \(\dfrac{1}{\ln 10}\approx 0{,}434\). Elle a donc les mêmes propriétés que \(\ln\), à ce facteur positif près.
- Dérivée. \(\log\) est dérivable sur \(]0\,;+\infty[\) et \(\log'(x)=\dfrac{1}{x\ln 10}\).
- Variations. Cette dérivée est strictement positive : \(\log\) est strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\). Donc, pour \(a\gt 0\) et \(b\gt 0\) : \(\log a=\log b\iff a=b\), et \(\log a\lt\log b\iff a\lt b\).
- Signe. \(\log x\lt 0\) si \(0\lt x\lt 1\), \(\log 1=0\), et \(\log x\gt 0\) si \(x\gt 1\).
- Limites. \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}\log x=-\infty\) et \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}\log x=+\infty\). L'axe des ordonnées est asymptote à la courbe.
Courbe. Elle passe par les points \((0{,}1\,;-1)\), \((1\,;0)\) et \((10\,;1)\). Sa tangente au point d'abscisse 1 a pour coefficient directeur \(\dfrac{1}{\ln 10}\approx 0{,}434\). Dans un repère orthonormé, elle est la symétrique de la courbe de \(x\mapsto 10^x\) par rapport à la droite d'équation \(y=x\).
Figure — Les courbes de log et de ln
En marine, la courbe de \(\log\) ; en gris, celle de \(\ln\). Les deux passent par le point \((1\,;0)\) et montent lentement, mais \(\log x\) vaut toujours \(0{,}434\) fois \(\ln x\) : la courbe de \(\log\) est plus proche de l'axe des abscisses. Le point doré \((10\,;1)\) rappelle que \(\log 10=1\).
1. Écrire la condition d'existence. Tout ce qui se trouve sous un logarithme doit être strictement positif.
2. Se ramener à l'une des deux formes simples.
- \(\log x=k\) équivaut à \(x=10^k\) ;
- \(10^x=k\) (avec \(k\gt 0\)) équivaut à \(x=\log k\) ;
- \(\log A=\log B\) équivaut à \(A=B\), et \(\log A\lt\log B\) équivaut à \(A\lt B\), car \(\log\) est strictement croissante.
3. Utiliser les propriétés algébriques pour regrouper plusieurs logarithmes en un seul : une somme devient le logarithme d'un produit.
4. Conclure en ne gardant que les solutions qui vérifient la condition du point 1.
Énoncé. Résoudre : a) \(\log x=2{,}5\) ; b) \(10^x=50\) (on donne \(\log 5\approx 0{,}699\)) ; c) \(\log x+\log(x-3)=1\) ; d) \(\log x\lt 2\).
Solution : a) \(x=10^{2{,}5}\approx 316{,}2\).
b) \(x=\log 50=\log(10\times 5)=1+\log 5\approx 1{,}699\).
c) Il faut \(x\gt 0\) et \(x-3\gt 0\), donc \(x\gt 3\). L'équation s'écrit alors \(\log\big(x(x-3)\big)=\log 10\), soit \(x^2-3x-10=0\). Le discriminant vaut \(9+40=49\) ; les racines sont \(5\) et \(-2\). Seule \(5\) est supérieure à 3 : la solution est \(x=5\). Vérification : \(\log 5+\log 2=\log 10=1\).
d) Il faut \(x\gt 0\). Comme \(2=\log 100\) et que \(\log\) est strictement croissante, \(\log x\lt\log 100\) équivaut à \(x\lt 100\). L'ensemble des solutions est \(]0\,;100[\).
Énoncé. a) Combien de chiffres l'écriture décimale de \(2^{50}\) comporte-t-elle ? (On donne \(\log 2\approx 0{,}30103\).) b) Un capital est placé à intérêts composés au taux annuel de 5 %. Au bout de combien d'années aura-t-il doublé ?
Solution : a) \(\log(2^{50})=50\log 2\approx 15{,}05\). Donc \(2^{50}=10^{15{,}05}\) est compris entre \(10^{15}\) et \(10^{16}\). Or \(10^{15}\) est le plus petit entier de 16 chiffres : \(2^{50}\) s'écrit avec 16 chiffres.
b) Après \(n\) années, le capital est multiplié par \(1{,}05^n\). On cherche le plus petit entier \(n\) tel que \(1{,}05^n\geq 2\). En prenant le logarithme décimal des deux membres (fonction croissante) : \(n\log 1{,}05\geq\log 2\). Comme \(\log 1{,}05\approx 0{,}0212\) est positif, \(n\geq\dfrac{\log 2}{\log 1{,}05}\approx 14{,}2\). Le capital a doublé au bout de 15 ans.
Le logarithme d'une somme. Il n'existe aucune formule pour \(\log(a+b)\). Par exemple \(\log(2+8)=\log 10=1\), alors que \(\log 2+\log 8\approx 1{,}204\). C'est le produit qui devient une somme.
La touche de la calculatrice. La touche « log » donne le logarithme décimal, la touche « ln » le logarithme népérien : \(\log 100=2\) mais \(\ln 100\approx 4{,}605\). Les confondre fausse tout un calcul.
La condition d'existence. \(\log x\) n'existe que pour \(x\gt 0\). Dans l'équation \(\log x+\log(x-3)=1\), la racine \(-2\) du trinôme doit être rejetée.
Équations et inéquations avec l'exponentielle
La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\), donc bijective : elle ne prend jamais deux fois la même valeur. On dispose ainsi de l'équivalence \[e^u = e^v \iff u = v.\] Cette simple observation permet de « dés-exponentier » une équation en égalant directement les exposants.
Résoudre \(e^{2x-1} = e^3\).
Les deux membres ont la même base \(e\), donc on égale les exposants : \[2x - 1 = 3 \iff 2x = 4 \iff x = 2.\] L'ensemble solution est \(\mathbb{S} = \{2\}\).
Résoudre \(e^{3x} = e^{x+4}\).
\[3x = x + 4 \iff 2x = 4 \iff x = 2.\] \(\mathbb{S} = \{2\}\).
Lorsqu'une équation contient à la fois \(e^{2x}\) et \(e^x\), on remarque que \(e^{2x} = (e^x)^2\). On pose alors \(t = e^x\), avec la contrainte impérative \(t > 0\) (l'exponentielle est toujours strictement positive). L'équation se ramène à un polynôme du second degré en \(t\) ; une fois \(t\) trouvé, on revient à \(x\) par \(x = \ln t\) (uniquement si \(t > 0\)).
Résoudre \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\).
On pose \(t = e^x > 0\). Comme \(e^{2x} = t^2\), l'équation devient : \[t^2 - 5t + 6 = 0.\] On factorise : \((t - 2)(t - 3) = 0\), donc \(t = 2\) ou \(t = 3\). Ces deux valeurs sont bien strictement positives, on peut revenir à \(x\) : \[e^x = 2 \Rightarrow x = \ln 2, \qquad e^x = 3 \Rightarrow x = \ln 3.\] \(\mathbb{S} = \{\ln 2\,;\,\ln 3\}\).
Résoudre \(e^{2x} + 3e^x - 4 = 0\).
Avec \(t = e^x > 0\) : \(t^2 + 3t - 4 = 0\), soit \((t+4)(t-1) = 0\). On obtient \(t = -4\) ou \(t = 1\). La valeur \(t = -4\) est rejetée car \(e^x > 0\). Pour \(t = 1\) : \(e^x = 1 \Rightarrow x = 0\). \(\mathbb{S} = \{0\}\).
Après avoir résolu le trinôme en \(t\), il faut absolument vérifier que \(t > 0\) avant de calculer \(\ln t\). Une valeur négative ou nulle de \(t\) doit être rejetée sans hésitation.
Figure 1 — Résolution graphique de \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\)
Systèmes d'équations avec ln et exp
Un système mêlant logarithmes et opérations arithmétiques se résout souvent en deux temps. On exploite d'abord les propriétés de \(\ln\) pour transformer la somme ou la différence de logarithmes en une relation sur le produit ou le quotient des inconnues. On dispose alors d'un système {somme ; produit} classique, que l'on résout via un trinôme du second degré dont les inconnues sont les deux racines.
Résoudre \(\displaystyle\begin{cases} x + y = 7 \\ \ln x + \ln y = \ln 12 \end{cases}\) avec \(x > 0\) et \(y > 0\).
La seconde équation s'écrit \(\ln(xy) = \ln 12\), soit \(xy = 12\) (par injectivité de \(\ln\)).
On sait donc que \(x + y = 7\) et \(xy = 12\) : \(x\) et \(y\) sont les racines du trinôme \[t^2 - 7t + 12 = 0.\] Discriminant : \(\Delta = 49 - 48 = 1\), \(\sqrt{\Delta} = 1\). \[t = \frac{7 \pm 1}{2} \Rightarrow t = 4 \text{ ou } t = 3.\] Ces deux valeurs sont positives, donc valides. \(\mathbb{S} = \{(4\,;\,3)\,;\,(3\,;\,4)\}\).
Résoudre \(\displaystyle\begin{cases} e^a \cdot e^b = e^5 \\ e^a + e^b = e^2 + e^3 \end{cases}\).
La première équation donne \(e^{a+b} = e^5\), soit \(a + b = 5\). La seconde montre que \(e^a\) et \(e^b\) ont pour somme \(e^2 + e^3\) et pour produit \(e^5\) (d'après la première équation).
\(e^a\) et \(e^b\) sont racines de \(t^2 - (e^2 + e^3)t + e^5 = 0\). On vérifie : \((t - e^2)(t - e^3) = t^2 - (e^2+e^3)t + e^5\). Oui. Donc \((e^a, e^b) = (e^2, e^3)\) ou \((e^3, e^2)\), ce qui donne \((a, b) = (2, 3)\) ou \((3, 2)\).
Un système à deux inconnues positives avec \(x + y = S\) et \(xy = P\) est toujours équivalent à : « \(x\) et \(y\) sont les racines de \(t^2 - St + P = 0\) ». Cette observation est l'outil central pour ce type de systèmes.
Systèmes linéaires de deux équations à deux inconnues
Rappel de SecondeL'objectif est double : connaître les différentes méthodes de résolution, et surtout savoir choisir la mieux adaptée à une situation — en particulier mettre en équations un problème concret. Tout se fait sur des exemples numériques.
Résoudre le système, c'est trouver le(s) couple(s) \((x,y)\) qui vérifient les deux équations à la fois.
Résoudre \(\begin{cases}y=2x-1\\3x+y=9\end{cases}\).
La première équation donne directement \(y\) en fonction de \(x\) : on substitue dans la seconde. \(3x+(2x-1)=9\), soit \(5x=10\), donc \(x=2\), puis \(y=3\).
Solution : \((x,y)=(2,3)\).
Résoudre \(\begin{cases}2x+3y=12\\5x-3y=9\end{cases}\).
Les coefficients de \(y\) sont opposés : on additionne directement les deux équations, ce qui élimine \(y\). \(2x+3y+5x-3y=12+9\), soit \(7x=21\), donc \(x=3\). En reportant dans la première équation : \(2(3)+3y=12\), donc \(3y=6\), soit \(y=2\).
Solution : \((x,y)=(3,2)\).
Résumé
Pour \(x\gt 0\) : \(y=\log x\) équivaut à \(10^y=x\). Ainsi \(\log(10^n)=n\).
\(\log x=\dfrac{\ln x}{\ln 10}\), avec \(\ln 10\approx 2{,}303\).
\(\log(ab)=\log a+\log b\), \(\log\dfrac ab=\log a-\log b\), \(\log(a^n)=n\log a\).
Strictement croissante sur \(]0\,;+\infty[\), dérivée \(\dfrac{1}{x\ln 10}\), limites \(-\infty\) en 0 et \(+\infty\) en \(+\infty\).
\(\log x=k\) donne \(x=10^k\) ; \(10^x=k\) donne \(x=\log k\). Toujours écrire la condition d'existence.
Définie sur \(]0\,;+\infty[\), \(\ln 1 = 0\), \((\ln x)' = 1/x\). Croissante, \(\ln x \to -\infty\) en \(0^+\), \(\ln x \to +\infty\) en \(+\infty\). Règles : \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\), \(\ln(a/b) = \ln a - \ln b\), \(\ln(a^n) = n\ln a\).
Réciproque de \(\ln\) : \(e^{\ln x} = x\) (\(x > 0\)), \(\ln(e^x) = x\). Croissante sur \(\mathbb{R}\) ; \(e^x \to 0\) en \(-\infty\), \(\to +\infty\) en \(+\infty\). \((e^x)' = e^x\), \(e^{a+b} = e^a e^b\), \(e^{-a} = 1/e^a\).
\(\ln u = k \iff u = e^k\) (avec \(u > 0\)). \(e^u = k \iff u = \ln k\) (avec \(k > 0\)). \(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u,v > 0\)). \(e^u = e^v \iff u = v\).
\(e^x \geq x + 1\) pour tout \(x\) (égalité en \(x = 0\)). Corollaire : \(\ln x \leq x - 1\) pour tout \(x > 0\) (égalité en \(x = 1\)). Ces inégalités se démontrent par étude du minimum d'une fonction auxiliaire.
Les courbes de \(\ln\) et de \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Cela signifie que \((a\,;b) \in \mathcal{C}_{\exp}\) ssi \((b\,;a) \in \mathcal{C}_{\ln}\).
\(\ln A\) n'est défini que si \(A > 0\). Toujours préciser le domaine avant de résoudre une équation ou inéquation. Oublier cette condition entraîne une pénalité directe au Bac.
\(e^u = e^v \iff u = v\). Pour une équation en \(e^{2x}\) et \(e^x\), poser \(t = e^x > 0\) et résoudre le trinôme en \(t\), puis revenir par \(x = \ln t\) en vérifiant \(t > 0\).
\(\ln u = \ln v \iff u = v\) (avec \(u > 0\) et \(v > 0\)). Toujours déterminer le domaine avant de résoudre, et vérifier que les solutions trouvées appartiennent bien à ce domaine.
\(\exp\) et \(\ln\) sont croissantes : elles conservent le sens des inégalités. Prendre le logarithme ou l'exponentielle ne retourne pas le signe. Ne pas oublier le domaine pour \(\ln\).
Transformer \(\ln x + \ln y\) en \(\ln(xy)\) pour obtenir un système {somme ; produit}. Les inconnues sont alors les racines d'un trinôme \(t^2 - St + P = 0\). Vérifier la positivité.
Sujet type Bac
Question 1 — Domaine et limites aux bornes.
\(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\) car \(e^{x}\) et les fonctions polynômes sont définies sur \(\mathbb{R}\).
En \(-\infty\) : Quand \(x \to -\infty\), \(e^{x} \to 0\) avec une vitesse beaucoup plus grande que \(|x|\) croît (\(e^x\) est une infiniment petite rapide). Donc \((x-1)e^{x} \to 0\), soit \(\lim_{x\to -\infty} f(x) = 1\). La droite \(y = 1\) est une asymptote horizontale en \(-\infty\).
En \(+\infty\) : \((x-1) \to +\infty\) et \(e^{x} \to +\infty\), donc \((x-1)e^x \to +\infty\) et \(f(x) \to +\infty\).
Question 2 — Dérivée et tableau de variations.
On dérive \(f(x) = (x-1)e^{x} + 1\) par la règle du produit :
\(f'(x) = 1 \cdot e^{x} + (x-1) \cdot e^{x} = e^{x}(1 + x - 1) = x\,e^{x}.\)
Comme \(e^{x} > 0\) pour tout \(x\), le signe de \(f'(x)\) est celui de \(x\) : \(f'(x) < 0\) pour \(x < 0\) et \(f'(x) > 0\) pour \(x > 0\). Donc \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;0]\) et croissante sur \([0\,;+\infty[\), avec un minimum en \(x = 0\) : \(f(0) = (0-1)e^0 + 1 = -1 + 1 = 0\).
Question 3 — Sens de la variation de \(f'\).
On calcule \(f''(x) = (xe^x)' = e^x + xe^x = (1+x)e^x\). \(f''(x) > 0 \iff x > -1\), donc \(f'\) est croissante sur \([-1\,;+\infty[\) et décroissante sur \(]-\infty\,;-1]\). La courbe de \(f\) présente un point d'inflexion en \(x = -1\) : \(f(-1) = (-2)e^{-1} + 1 = 1 - 2/e\).
Question 4 — Position par rapport à l'axe des abscisses.
Le minimum de \(f\) est \(f(0) = 0\). Comme \(f(0) = 0\) et c'est le minimum global, on a \(f(x) \geq 0\) pour tout \(x\), avec égalité uniquement en \(x = 0\).
Cela implique en particulier que \((x-1)e^{x} \geq -1\) pour tout réel \(x\), inégalité que l'on peut retrouver en posant \(t = x\) dans l'inégalité \(e^t \geq t + 1\) vue en cours.
Question 5 — Équation de la tangente au minimum.
Au point \((0\,;\, f(0)) = (0\,;\,0)\), la pente de la tangente est \(f'(0) = 0 \cdot e^0 = 0\). La tangente est donc l'axe des abscisses \(y = 0\). C'est cohérent avec le fait que \(x = 0\) est un minimum : la tangente y est toujours horizontale.
Partie A — Équations exponentielles. Question 1 : résoudre dans \(\mathbb{R}\) l'équation \(e^{2x} - 4e^x + 3 = 0\).
On pose \(t = e^x > 0\) ; l'équation devient : \[t^2 - 4t + 3 = 0 = (t-1)(t-3).\] Donc \(t = 1\) ou \(t = 3\), deux valeurs positives. \(e^x = 1 \Rightarrow x = 0\) ; \(e^x = 3 \Rightarrow x = \ln 3\).
\(\mathbb{S} = \{0\,;\,\ln 3\}\)
Partie B — Équations logarithmiques. Question 2 : résoudre \(\ln(x^2 - 1) = \ln(2x + 2)\).
Domaine : \(x^2 - 1 > 0\) et \(2x + 2 > 0\), soit \((x < -1 \text{ ou } x > 1)\) et \(x > -1\). En intersectant : domaine \(= ]1\,;+\infty[\).
Sur le domaine, par injectivité de \(\ln\) : \[x^2 - 1 = 2x + 2 \iff x^2 - 2x - 3 = 0 \iff (x-3)(x+1) = 0.\] Soit \(x = 3\) ou \(x = -1\). Seul \(x = 3\) est dans \(]1\,;+\infty[\).
\(\mathbb{S} = \{3\}\)
Partie C — Inéquation. Question 3 : résoudre \(\ln(3x+1) \geq \ln(x+5)\).
Domaine : \(3x + 1 > 0\) et \(x + 5 > 0\), soit \(x > -\tfrac{1}{3}\) et \(x > -5\), donc \(x > -\tfrac{1}{3}\).
Sur ce domaine, \(\ln\) croissante : \[\ln(3x+1) \geq \ln(x+5) \iff 3x + 1 \geq x + 5 \iff 2x \geq 4 \iff x \geq 2.\]
\(\mathbb{S} = [2\,;+\infty[\)
Partie D — Système. Question 4 : résoudre \(\displaystyle\begin{cases} \ln x + \ln y = \ln 6 \\ \ln x - \ln y = \ln \tfrac{2}{3} \end{cases}\), \(x > 0\), \(y > 0\).
En additionnant les deux équations : \[2\ln x = \ln 6 + \ln\tfrac{2}{3} = \ln\!\left(6 \times \tfrac{2}{3}\right) = \ln 4.\] Donc \(\ln x = \tfrac{\ln 4}{2} = \ln 2\), soit \(x = 2\).
En soustrayant la deuxième de la première : \[2\ln y = \ln 6 - \ln\tfrac{2}{3} = \ln\!\left(6 \div \tfrac{2}{3}\right) = \ln 9.\] Donc \(\ln y = \tfrac{\ln 9}{2} = \ln 3\), soit \(y = 3\).
\(\mathbb{S} = \{(2\,;\,3)\}\)
Partie E — Question de synthèse. Question 5 : montrer que pour tout \(x > 0\), on a \(\ln x \leq x - 1\), puis en déduire que \(\ln x \leq x\) pour tout \(x > 0\).
On pose \(h(x) = x - 1 - \ln x\) pour \(x > 0\). \[h'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x-1}{x}.\] \(h'(x) < 0\) si \(x \in ]0\,;1[\), \(h'(1) = 0\), \(h'(x) > 0\) si \(x > 1\). Donc \(h\) admet un minimum en \(x = 1\), avec \(h(1) = 1 - 1 - 0 = 0\). Ainsi \(h(x) \geq 0\) pour tout \(x > 0\), c'est-à-dire \(\ln x \leq x - 1\).
Puisque \(x - 1 \leq x\) pour tout \(x\), on conclut par transitivité : \[\ln x \leq x - 1 \leq x \quad \text{pour tout } x > 0.\]