Terminale A · Leçon 1
Suites numériques
Ce que dit le programme officiel (9 points)
- Raisonnement par récurrence
- Utiliser le raisonnement par récurrence pour établir certaines propriétés
- Limite : les élèves sont initiés au raisonnement par récurrence à l’aide des suites récurrentes
- Généralités sur les suites : sens de variation, convergence et divergence
- Déterminer le sens de variation d’une suite
- Déterminer si une suite est convergente ou divergente
- Suites arithmétiques et géométriques : convergence, calcul sur les suites
- Utiliser les suites arithmétiques et géométriques dans la résolution des problèmes
- Déterminer si une suite arithmétique ou géométrique est convergente ou divergente
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale A, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Raisonnement par récurrence
Méthode pour démontrer qu'une propriété \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout entier \(n\geq n_0\)
- Initialisation : vérifier que \(\mathcal{P}(n_0)\) est vraie.
- Hérédité : supposer \(\mathcal{P}(n)\) vraie pour un certain \(n\geq n_0\) (hypothèse de récurrence), puis démontrer \(\mathcal{P}(n+1)\) en utilisant cette hypothèse.
- Conclusion : "D'après le principe de récurrence, \(\mathcal{P}(n)\) est vraie pour tout \(n\geq n_0\)."
- Oublier l'initialisation — démonstration incomplète, note = 0
- Ne pas utiliser l'hypothèse de récurrence — écrire explicitement "par hypothèse de récurrence, \(u_n=\ldots\)" avant de l'utiliser
- Omettre la conclusion globale — phrase finale indispensable pour le correcteur
Démontrons que pour tout \(n\geq 1\) : \(\displaystyle 1+2+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\)
Init. : Pour \(n=1\) : \(1=\frac{1\times 2}{2}=1\). Vrai.
Hér. : Supposons \(1+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}\). Alors :
\[1+\cdots+n+(n+1)=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}\]
Correspond à la formule au rang \(n+1\). Vrai.
Concl. : Par récurrence, \(1+\cdots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) pour tout \(n\geq 1\).
Suite : \(u_0=1\), \(u_{n+1}=3u_n+2\). Montrons que \(u_n=2\times 3^n-1\).
Init. : \(u_0=1\) et \(2\times 3^0-1=1\). Vrai.
Hér. : Supposons \(u_n=2\times 3^n-1\). Alors :
\[u_{n+1}=3(2\times 3^n-1)+2=6\times 3^n-1=2\times 3^{n+1}-1\]
Correspond à la formule au rang \(n+1\). Vrai.
Concl. : Par récurrence, \(u_n=2\times 3^n-1\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Sur la copie, écrire "par H.R." ou "par hypothèse de récurrence" au-dessus du signe "=" au moment où vous l'utilisez. Le correcteur doit voir clairement ce moment-clé.
Suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) et point fixe
Si la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\ell\) est un point fixe de \(f\) : \[ f(\ell) = \ell. \] La démarche est donc : montrer que la suite converge (théorème de la limite monotone), puis résoudre \(f(x) = x\) dans l'intervalle stable pour identifier la limite.
- Trouver un intervalle stable \(I\) : montrer que si \(u_n \in I\) alors \(f(u_n) \in I\).
- Montrer par récurrence que \(u_n \in I\) : initialisation, hérédité via la stabilité.
- Étudier la monotonie : souvent via le signe de \(f(x) - x\) sur \(I\).
- Conclure : croissante bornée supérieurement → convergence.
- Identifier \(\ell\) : résoudre \(f(x) = x\) dans \(I\).
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle stable \(I\) et si \(|f'(x)| \le k < 1\) pour tout \(x \in I\), alors : \[ |u_{n+1} - \ell| = |f(u_n) - f(\ell)| \le k\,|u_n - \ell|, \qquad |u_n - \ell| \le k^n \,|u_0 - \ell| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \] Cette méthode prouve simultanément la convergence et une vitesse de convergence.
On pose \(f(x) = \dfrac{x}{2} + 2\).
Point fixe : \(f(\ell) = \ell \iff \dfrac{\ell}{2} + 2 = \ell \iff \ell = 4\).
Intervalle stable : si \(x \in [0\,;\,4]\), alors \(f(x) \in [2\,;\,4] \subset [0\,;\,4]\).
Monotonie : \(u_{n+1} - u_n = 2 - \dfrac{u_n}{2} \ge 0\) car \(u_n \le 4\) → suite croissante.
Convergence : croissante et majorée par 4 → converge. Par continuité de \(f\), la limite vérifie \(f(\ell) = \ell\), d'où \(\ell = 4\).
Via l'IAF : \(f'(x) = \dfrac{1}{2}\) sur \(\mathbb{R}\), donc \(|u_n - 4| \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n |u_0 - 4| = \dfrac{4}{2^n} \to 0\).
Toile d'araignée — \(u_{n+1} = f(u_n)\), \(f(x) = ax + b\)
\(y = x\)
toile \(u_0, u_1, \ldots\)
point fixe \(\ell\)
Ajustez les paramètres pour visualiser la convergence ou la divergence
La toile d'araignée permet de prévoir graphiquement le comportement de la suite. Depuis \((u_0, 0)\), on monte jusqu'à la courbe de \(f\), puis horizontalement jusqu'à la droite \(y = x\), et ainsi de suite. Si \(|a| < 1\), la suite converge vers le point fixe \(\ell = b/(1-a)\).
Résoudre \(f(x) = x\) sans avoir préalablement prouvé la convergence est sans valeur. Si la suite diverge, un point fixe peut exister sans que la suite ne le rejoigne. On doit d'abord établir la convergence, puis identifier la limite.
Suites : définition, modes de génération
Une suite numérique est une application de \(\mathbb{N}\) (ou d'une partie de \(\mathbb{N}\)) dans \(\mathbb{R}\). On note ses valeurs \(u_0, u_1, u_2, \ldots\) ou encore \((u_n)_{n \ge 0}\). Deux modes de définition sont courants.
Forme explicite : on donne directement \(u_n\) en fonction de \(n\), par exemple \(u_n = 3n^2 - 1\). On peut alors calculer n'importe quel terme sans connaître les précédents.
Forme récurrente : on donne \(u_0\) (le premier terme) et une relation de la forme \(u_{n+1} = f(u_n)\). Pour obtenir \(u_5\), il faut d'abord calculer \(u_1, u_2, u_3, u_4\) dans l'ordre.
Une suite est croissante si \(u_{n+1} \ge u_n\) pour tout \(n\), et décroissante si \(u_{n+1} \le u_n\). En pratique, on étudie le signe de \(u_{n+1} - u_n\).
Lorsque tous les termes de la suite sont strictement positifs, on peut aussi comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\) : si le quotient est supérieur à \(1\), la suite croît ; s'il est inférieur à \(1\), elle décroît.
Pour montrer que \((u_n)\) est croissante à partir de la forme explicite \(u_n = f(n)\), on calcule \(u_{n+1} - u_n = f(n+1) - f(n)\) et on détermine le signe de cette expression en fonction de \(n\).
- Exprimer \(u_{n+1}\) en remplaçant \(n\) par \(n+1\) dans la formule.
- Former la différence \(u_{n+1} - u_n\) et la simplifier (factorisation si nécessaire).
- Conclure : signe constant positif → croissante ; négatif → décroissante.
Soit \(u_n = 2n + 5\). On a \(u_{n+1} - u_n = 2(n+1)+5 - (2n+5) = 2 > 0\). La suite est donc strictement croissante.
Soit \(u_0 = 10\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 1\). Calculons les premiers termes : \(u_1 = 6\), \(u_2 = 4\), \(u_3 = 3\), \(u_4 = 2{,}5\). La suite semble décroissante. On vérifie : si \(u_n > 2\), alors \(u_{n+1} - u_n = 1 - \dfrac{u_n}{2} < 0\), ce qui confirme la décroissance tant que les termes restent supérieurs à \(2\).
Vérifier que quelques termes croissent ne suffit pas à conclure : il faut que la propriété soit établie pour tout \(n \ge 0\). Une suite peut croître pour les premiers rangs puis décroître (par exemple \(u_n = n\,e^{-n}\)).
Représentation de deux suites — visualisation interactive
\(v_n = -n^2/4+6\)
Limite d'une suite, convergence, limites usuelles
On dit que \((u_n)\) converge vers \(\ell \in \mathbb{R}\) si les termes \(u_n\) se rapprochent indéfiniment de \(\ell\) quand \(n\) grandit. On note alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\).
Si les termes grandissent sans limite, on écrit \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = +\infty\) (divergence vers \(+\infty\)). Si la suite n'admet pas de limite (oscillation persistante), on dit qu'elle diverge.
C'est le résultat pivot du chapitre : toute limite de suite géométrique ou de suite du type \(u_n = a \cdot q^n + b\) se ramène à ce tableau.
Si \(\lim u_n = \ell\) et \(\lim v_n = m\), alors : \(\lim (u_n + v_n) = \ell + m\), \(\lim (u_n \cdot v_n) = \ell m\), et \(\lim (u_n / v_n) = \ell/m\) si \(m \ne 0\). Ces règles permettent de calculer les limites terme à terme.
Lorsque \(u_n\) s'exprime comme une fraction rationnelle en \(n\), on factorise numérateur et dénominateur par la plus haute puissance de \(n\) présente, puis on passe à la limite terme à terme.
- Repérer la puissance dominante au dénominateur.
- Diviser tous les termes (numérateur et dénominateur) par cette puissance.
- Exploiter \(\dfrac{1}{n^k} \to 0\) pour simplifier.
\(u_n = 5 \times (0{,}5)^n + 3\). Comme \(|0{,}5| < 1\), \((0{,}5)^n \to 0\), donc \(u_n \to 3\). La suite converge vers \(3\).
\(u_n = \dfrac{2n+1}{n+3}\). On divise par \(n\) : \[\frac{2n+1}{n+3} = \frac{2+\tfrac{1}{n}}{1+\tfrac{3}{n}} \xrightarrow[n\to+\infty]{} \frac{2}{1} = 2.\]
\(v_n = \sqrt{3n+1}\). Comme \(3n+1 \to +\infty\), on a \(\sqrt{3n+1} \to +\infty\). La suite diverge vers \(+\infty\).
\(w_n = (-2)^n\). Comme \(q = -2 \le -1\), la suite oscille entre des valeurs positives et négatives de plus en plus grandes : elle n'admet pas de limite.
Le théorème sur \(q^n\) concerne la base fixe et l'exposant variable. Pour \(u_n = n^2\) ou \(u_n = n^3\), ce sont des puissances polynomiales de \(n\) qui tendent vers \(+\infty\), pas des suites géométriques.
Comportement de \(u_n = a \cdot q^n + L\) — choisissez les paramètres
Limite \(L\)
Suites arithmétiques : terme général et somme
Une suite \((u_n)\) est arithmétique de raison \(r \in \mathbb{R}\) si chaque terme s'obtient en ajoutant \(r\) au précédent : \[u_{n+1} = u_n + r \quad \text{pour tout } n \ge 0.\] Si \(r > 0\), la suite est croissante ; si \(r < 0\), décroissante ; si \(r = 0\), tous les termes sont égaux (suite constante).
Cette formule permet d'accéder directement à n'importe quel terme sans calculer les intermédiaires. Elle montre que \(u_n\) est une fonction affine de \(n\).
\[ S_n = u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \frac{(n+1)\,(u_0 + u_n)}{2} \]La somme vaut « nombre de termes » multiplié par « demi-somme du premier et du dernier terme ». Remarquons qu'il y a \(n+1\) termes de \(u_0\) à \(u_n\).
- Calculer \(u_1 - u_0\), \(u_2 - u_1\), \(u_3 - u_2\).
- Si toutes ces différences sont égales, la suite est arithmétique de raison \(r = u_1 - u_0\).
- Écrire la formule du terme général \(u_n = u_0 + nr\).
\((u_n)\) est arithmétique de raison \(r = 3\) et \(u_0 = 5\).
Terme général : \(u_n = 5 + 3n\).
Terme d'indice 10 : \(u_{10} = 5 + 3 \times 10 = 35\).
Somme \(S_{10}\) :
\(S_{10} = \dfrac{11 \times (5 + 35)}{2} = \dfrac{11 \times 40}{2} = 220\).
On sait que \(u_3 = 11\) et \(u_7 = 19\). Trouver \(r\), \(u_0\) et \(u_{20}\).
De \(u_7 = u_3 + 4r\) on tire \(19 = 11 + 4r\), donc \(r = 2\).
Ensuite \(u_0 = u_3 - 3r = 11 - 6 = 5\).
Enfin \(u_{20} = 5 + 2 \times 20 = 45\).
On veut calculer la somme des entiers de \(1\) à \(100\). La suite \(u_n = n\) est arithmétique, \(u_1 = 1\), \(u_{100} = 100\), donc \(S = \dfrac{100 \times (1 + 100)}{2} = 5050\).
De \(u_0\) à \(u_n\) il y a \(n+1\) termes, pas \(n\). De \(u_p\) à \(u_q\) il y en a \(q - p + 1\). Oublier le « \(+1\) » est l'erreur classique dans le calcul de somme.
Suite arithmétique — ajustez \(u_0\) et la raison \(r\)
Suites géométriques : terme général et somme
Une suite \((u_n)\) est géométrique de raison \(q \ne 0\) si chaque terme s'obtient en multipliant le précédent par \(q\) : \[u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{pour tout } n \ge 0.\] La raison \(q\) est le rapport constant \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) (valable tant que \(u_n \ne 0\)).
Cas particulier : si \(q = 1\), tous les termes valent \(u_0\) et \(S_n = (n+1)\,u_0\).
- Si tous les termes sont non nuls, calculer \(\dfrac{u_1}{u_0}\), \(\dfrac{u_2}{u_1}\), etc.
- Si ces rapports sont tous égaux, la suite est géométrique de raison \(q\).
- Écrire \(u_n = u_0 \cdot q^n\).
\((u_n)\) géométrique de raison \(q = 3\), \(u_0 = 2\).
\(u_5 = 2 \times 3^5 = 2 \times 243 = 486\).
\(S_5 = 2 \times \dfrac{1 - 3^6}{1 - 3}
= 2 \times \dfrac{1 - 729}{-2}
= 2 \times 364 = 728\).
Un capital de \(1000\) € est placé à intérêts composés de taux \(5\,\%\) par an. Le capital après \(n\) années vaut \(u_n = 1000 \times 1{,}05^n\). Il s'agit d'une suite géométrique de raison \(1{,}05\).
Après \(10\) ans : \(u_{10} = 1000 \times 1{,}05^{10} \approx 1629\) €.
Soit \(u_0 = 8\) et \(q = -\dfrac{1}{2}\). \(u_n = 8 \times \left(-\tfrac{1}{2}\right)^n\). Les termes alternent en signe et tendent vers \(0\).
La formule \(u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) n'est pas définie pour \(q = 1\) (division par zéro). Dans ce cas, utiliser directement \(S_n = (n+1)u_0\).
Suite géométrique — faites varier \(u_0\) et \(q\)
Résumé
\(u_{n+1}=u_n+r\) · \(u_n=u_0+nr\) · \(S_n=(n+1)\frac{u_0+u_n}{2}\)
\(u_{n+1}=qu_n\) · \(u_n=u_0q^n\) · \(S_n=u_0\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\)
Point fixe \(\ell=\frac{c}{1-b}\) · \(v_n=u_n-\ell\) géométrique · \(u_n=(u_0-\ell)b^n+\ell\)
Croissante + majorée → converge · Décroissante + minorée → converge · Limite = point fixe
\(|q|<1\Rightarrow q^n\to 0\) · \(q>1\Rightarrow q^n\to+\infty\) · \(q\leq-1\) → pas de limite
1. Initialisation · 2. Hérédité (avec H.R. explicite) · 3. Conclusion globale
Initialisation + hérédité dans cet ordre. On suppose \(P(n)\) et on déduit \(P(n+1)\), jamais l'inverse.
Signe de \(u_{n+1} - u_n\), quotient si \(u_n > 0\), variations de \(f\) si explicite, récurrence si récurrente.
Croissante majorée ou décroissante minorée → convergence (admis). Gendarmes : deux suites encadrantes de même limite.
Transférer les limites de fonctions. Croissances comparées : \(\ln n \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!\).
Si \((u_n)\) converge et \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(\ell) = \ell\). Méthode en 5 étapes.
Si \(|f'| \le k < 1\) sur l'intervalle stable : \(|u_n - \ell| \le k^n |u_0 - \ell| \to 0\).
Raison \(r\) constante : \(u_{n+1} = u_n + r\). Terme général : \(u_n = u_0 + nr\). Somme : \(S_n = \dfrac{(n+1)(u_0+u_n)}{2}\).
Raison \(q \ne 0\) : \(u_{n+1} = qu_n\). Terme général : \(u_n = u_0 q^n\). Somme : \(S_n = u_0 \dfrac{1-q^{n+1}}{1-q}\) (\(q \ne 1\)).
\(|q|<1\) : \(q^n \to 0\). \(q>1\) : \(q^n \to +\infty\). \(q \le -1\) : pas de limite.
Fractions rationnelles : diviser par la plus haute puissance de \(n\). Croissance exponentielle > polynomiale à l'infini.
Sujet type Bac
Énoncé : Soit \((u_n)\) définie par \(\begin{cases}u_0=4\\u_{n+1}=\dfrac{1}{3}u_n+2\end{cases}\).
A. Premiers termes : \(u_1=\frac{10}{3}\approx 3{,}33\) · \(u_2=\frac{28}{9}\approx 3{,}11\) — La suite semble décroissante et converger vers 3.
B. Bornage par récurrence — \(\mathcal{P}(n):u_n>3\)
Init. : \(u_0=4>3\). Vrai.
Hér. : Si \(u_n>3\), alors \(u_{n+1}=\frac{1}{3}u_n+2>\frac{1}{3}(3)+2=3\). Vrai.
Concl. : \(u_n>3\) pour tout \(n\in\mathbb{N}\).
Variations : \(u_{n+1}-u_n=-\frac{2}{3}u_n+2=2\!\left(1-\frac{u_n}{3}\right)<0\) car \(u_n>3\). Donc \((u_n)\) est décroissante et minorée par 3 → converge.
C. Suite auxiliaire : \(v_n=u_n-3\) → \(v_{n+1}=\frac{1}{3}v_n\) → \(v_n=\left(\frac{1}{3}\right)^n\).
\[u_n=3+\left(\frac{1}{3}\right)^n\]
D. Limite : \(\displaystyle\lim_{n\to+\infty}u_n=3+0=\mathbf{3}\)
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ u_{n+1} = \frac{u_n^{\,2} + 2}{2\,u_n}. \]
Question 1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). En déduire une conjecture sur le comportement de la suite.
Les termes semblent décroître et se rapprocher de \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Conjecture : la suite converge vers \(\sqrt{2}\).
Question 2. Déterminer les points fixes de \(f(x) = \dfrac{x^2+2}{2x}\).
On résout \(f(x) = x\) pour \(x > 0\) :
\[ \frac{x^2 + 2}{2x} = x \iff x^2 + 2 = 2x^2 \iff x^2 = 2 \iff x = \sqrt{2}. \]Question 3. Montrer par récurrence que \(u_n \ge \sqrt{2}\) pour tout \(n \ge 1\).
Initialisation (\(n=1\)) : \(u_1 = 3/2 > \sqrt{2}\). Vrai.
Hérédité : supposons \(u_n \ge \sqrt{2}\). On calcule :
\[ u_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{u_n^2 + 2 - 2\sqrt{2}\,u_n}{2u_n} = \frac{(u_n - \sqrt{2})^2}{2u_n} \ge 0. \]Le numérateur est positif ou nul, le dénominateur est positif : \(u_{n+1} \ge \sqrt{2}\).
Question 4. Montrer que la suite est décroissante à partir du rang 1.
Pour \(n \ge 1\), on a \(u_n \ge \sqrt{2} > 0\) :
\[ u_{n+1} - u_n = \frac{u_n^2 + 2 - 2u_n^2}{2u_n} = \frac{2 - u_n^2}{2u_n}. \]Comme \(u_n^2 \ge 2\), on a \(2 - u_n^2 \le 0\) et \(2u_n > 0\) : la suite est décroissante.
Question 5. Conclure sur la convergence et calculer la limite.
À partir du rang 1, la suite est décroissante et minorée par \(\sqrt{2}\). Par le théorème de la limite monotone, elle converge. Sa limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\), d'où :
\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{2}. \]C'est l'algorithme de Héron, méthode de calcul numérique de \(\sqrt{2}\) connue depuis l'Antiquité. Le nombre de décimales exactes double à chaque itération.
Deux amis, Awa et Kofi, placent chacun de l'argent dans deux banques différentes.
- Awa place \(500\) € à intérêts composés de taux \(4\,\%\) par an. Son capital après \(n\) années est \(A_n = 500 \times 1{,}04^n\).
- Kofi alimente un compte par versements constants : il commence avec \(200\) € et ajoute \(60\) € chaque année. Son capital est \(K_n = 200 + 60n\).
Question 1 — Quelle est la nature de chacune des suites \((A_n)\) et \((K_n)\) ? Préciser les paramètres.
\((A_n)\) est géométrique de premier terme \(A_0 = 500\) et de raison \(q = 1{,}04\), car \(A_{n+1} = 1{,}04 \times A_n\). \((K_n)\) est arithmétique de premier terme \(K_0 = 200\) et de raison \(r = 60\), car \(K_{n+1} = K_n + 60\).
Question 2 — Calculer \(A_{10}\) et \(K_{10}\). Arrondir à l'euro.
\(A_{10} = 500 \times 1{,}04^{10}\). On calcule \(1{,}04^{10} \approx 1{,}4802\), donc \(A_{10} \approx 500 \times 1{,}4802 \approx 740\) €. \(K_{10} = 200 + 60 \times 10 = 200 + 600 = 800\) €. Après \(10\) ans, Kofi dispose de plus de capital.
Question 3 — Calculer la somme totale versée par Awa sur les \(10\) premières années (de \(A_0\) à \(A_9\)).
La somme \(S = A_0 + A_1 + \cdots + A_9\) est la somme des \(10\) premiers termes d'une suite géométrique : \[S = 500 \times \frac{1 - 1{,}04^{10}}{1 - 1{,}04} = 500 \times \frac{1 - 1{,}4802}{-0{,}04} = 500 \times \frac{0{,}4802}{0{,}04} = 500 \times 12{,}005 = 6\,002{,}5.\] Avec la valeur arrondie \(1{,}04^{10} \approx 1{,}4802\), on trouve donc \(S \approx 6\,003\) € (la calculatrice donne \(6\,003{,}05\)).
Question 4 — Étudier les limites de \((A_n)\) et \((K_n)\) quand \(n \to +\infty\). Interpréter.
Pour \((A_n)\) : la raison \(q = 1{,}04 > 1\), donc \(1{,}04^n \to +\infty\), et \(A_n = 500 \times 1{,}04^n \to +\infty\). Le capital d'Awa croît sans limite, et de plus en plus vite. Pour \((K_n)\) : \(K_n = 200 + 60n \to +\infty\) également, mais de façon linéaire (un terme de plus en plus petit relativement). À long terme, c'est \((A_n)\) qui « écrase » \((K_n)\) : la croissance exponentielle l'emporte toujours sur la croissance linéaire.
Question 5 (bonus) — À partir de quelle année \(n\) le capital d'Awa dépasse-t-il celui de Kofi ?
On cherche le plus petit \(n\) tel que \(A_n > K_n\), soit \(500 \times 1{,}04^n > 200 + 60n\). Il n'existe pas de solution algébrique simple ; on procède par tâtonnement ou tableau de valeurs. Pour \(n = 10\) : \(A_{10} \approx 740\) et \(K_{10} = 800\), donc Awa est encore derrière. Pour \(n = 20\) : \(A_{20} = 500 \times 1{,}04^{20} \approx 500 \times 2{,}191 \approx 1096\) et \(K_{20} = 200 + 1200 = 1400\), toujours derrière. Pour \(n = 40\) : \(A_{40} \approx 500 \times 4{,}801 \approx 2400\) et \(K_{40} = 2600\), encore derrière. Pour \(n = 50\) : \(A_{50} \approx 500 \times 7{,}107 \approx 3554\) et \(K_{50} = 3200\) — Awa dépasse Kofi ! Le croisement a lieu entre \(n = 40\) et \(n = 50\), vers \(n \approx 47\).