Terminale A · Leçon 5
Probabilités sur un ensemble fini
Ce que dit le programme officiel (6 points)
- Vocabulaire ; définitions
- Calcul des probabilités par dénombrement
- Définir une probabilité
- Reconnaître le vocabulaire relatif
- Déterminer la probabilité d’un événement
- Retrouver quelques propriétés des probabilités et les utiliser
Source : Programme de mathématiques, classe de Terminale A, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Probabilités : univers, événements, équiprobabilité
On appelle expérience aléatoire toute expérience dont on ne peut pas prévoir à l'avance l'issue. L'ensemble de toutes les issues possibles est l'univers, noté \(\Omega\). Un événement est n'importe quel sous-ensemble de \(\Omega\) ; l'événement certain est \(\Omega\) lui-même, et l'événement impossible est l'ensemble vide \(\emptyset\).
Une probabilité est une fonction \(P\) qui associe à chaque événement \(A \subseteq \Omega\) un réel \(P(A) \in [0\,;1]\), vérifiant : \(P(\Omega)=1\), et pour deux événements incompatibles \(A\) et \(B\) : \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
Pour tous événements \(A\) et \(B\) d'un univers fini :
\[ P(\bar{A}) = 1 - P(A) \qquad\quad P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B). \]La première formule est dite de l'événement contraire : elle est souvent plus rapide que calculer \(P(A)\) directement quand \(A\) est compliqué.
Lorsque toutes les issues de \(\Omega\) sont également probables (situation dite d'équiprobabilité), la probabilité d'un événement se calcule par un simple comptage :
\[ P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables à }A}{\text{nombre total d'issues de }\Omega}. \]Avant toute chose, vérifier que le contexte garantit l'équiprobabilité : dé non pipé, tirage au sort, urne dont on mélange les boules… Si ce n'est pas précisé, les probabilités sont données explicitement dans l'énoncé et l'on travaille directement avec elles.
Une urne contient 5 boules numérotées de 1 à 5. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité d'obtenir un numéro pair.
L'univers est \(\Omega = \{1,2,3,4,5\}\), avec \(|\Omega|=5\) issues équiprobables. L'événement « obtenir un nombre pair » est \(A=\{2,4\}\), d'où \(|A|=2\). On obtient :
\[P(A) = \frac{2}{5}.\]On lance un dé équilibré. Soit \(A\) = « obtenir un multiple de 2 » et \(B\) = « obtenir un multiple de 3 ». Calculer \(P(A \cup B)\).
\(A = \{2,4,6\}\), \(P(A)=\tfrac{3}{6}=\tfrac{1}{2}\) ; \(B = \{3,6\}\), \(P(B)=\tfrac{2}{6}=\tfrac{1}{3}\) ; \(A \cap B = \{6\}\), \(P(A \cap B)=\tfrac{1}{6}\). Donc :
\[ P(A \cup B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{6} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} - \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}. \]Dans une classe de 30 élèves, 18 pratiquent un sport. On choisit un élève au hasard. Quelle est la probabilité qu'il ne pratique aucun sport ?
Soit \(A\) = « pratiquer un sport ». \(P(A) = \tfrac{18}{30} = \tfrac{3}{5}\). Alors :
\[P(\bar{A}) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}.\]Ce calcul par l'événement contraire est ici plus direct que compter les non-sportifs (même si \(30-18=12\) donne le même résultat).
Oublier de soustraire \(P(A \cap B)\) dans la formule de réunion est une erreur classique. On compte alors deux fois les issues qui appartiennent à la fois à \(A\) et à \(B\). Si \(A\) et \(B\) sont incompatibles (\(A \cap B = \emptyset\)), alors \(P(A \cap B) = 0\) et la formule se simplifie, mais ce cas particulier doit être justifié.
Diagramme de Venn interactif — Opérations sur les événements
\(B\)
\(A \cap B\)
Cardinal d'un ensemble fini, réunion et complémentaire
Cardinal et règles de base
\[\text{Card}(A\cup B)=\text{Card}(A)+\text{Card}(B)-\text{Card}(A\cap B)\]
Règle du produit : \(k\) étapes indépendantes avec \(p_1,\ldots,p_k\) issues chacune conduisent à \(p_1\times\cdots\times p_k\) issues au total.
Factorielle
\[n! = n(n-1)\cdots 2\cdot 1 \qquad 0!=1\]
Valeurs clés : \(3!=6\), \(4!=24\), \(5!=120\), \(6!=720\), \(7!=5040\).
Simplification : \(\dfrac{7!}{5!}=7\times 6=42\) — ne jamais développer inutilement.
Opérations sur les événements, événements incompatibles
Deux événements \(A\) et \(B\) sont dits incompatibles (ou mutuellement exclusifs) si leur réalisation simultanée est impossible, c'est-à-dire si \(A \cap B = \emptyset\). Dans ce cas, \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\).
L'événement contraire de \(A\), noté \(\bar{A}\), est l'événement « \(A\) ne se réalise pas ». On a toujours \(A\) et \(\bar{A}\) incompatibles, et \(A \cup \bar{A} = \Omega\), d'où \(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\).
| Opération | Notation | Interprétation | Formule probabiliste |
|---|---|---|---|
| Intersection | \(A \cap B\) | \(A\) et \(B\) | Dépend de la situation (cf. probabilités conditionnelles) |
| Réunion | \(A \cup B\) | \(A\) ou \(B\) (ou les deux) | \(P(A)+P(B)-P(A\cap B)\) |
| Contraire | \(\bar{A}\) | Ni \(A\) | \(1 - P(A)\) |
| Incompatibles | \(A \cap B = \emptyset\) | \(A\) et \(B\) ne peuvent pas arriver ensemble | \(P(A \cup B) = P(A)+P(B)\) |
On tire une carte dans un jeu de 52 cartes ordinaires. Soit \(C\) = « obtenir un cœur » et \(R\) = « obtenir un roi ». Calculer \(P(C \cup R)\).
\(P(C) = \tfrac{13}{52} = \tfrac{1}{4}\) ; \(P(R) = \tfrac{4}{52} = \tfrac{1}{13}\) ; l'intersection \(C \cap R\) = « le roi de cœur » : \(P(C \cap R) = \tfrac{1}{52}\).
\[ P(C \cup R) = \frac{1}{4} + \frac{1}{13} - \frac{1}{52} = \frac{13}{52} + \frac{4}{52} - \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13} \approx 0{,}308. \]Dès que l'énoncé contient les mots « au moins un », « au moins une fois » ou « aucun », penser immédiatement à l'événement contraire. Calculer \(P(\text{aucun}) = 1 - P(\text{au moins un})\) est presque toujours plus simple que la méthode directe.
Résumé
\(P(A) = \dfrac{\text{cas favorables}}{\text{cas possibles}}\) — valable uniquement quand toutes les issues sont équiprobables.
\(P(\bar{A}) = 1 - P(A)\). \(P(A \cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B)\).
Tableau \((x_i, p_i)\) avec \(\sum p_i = 1\). Toujours vérifier la somme des probabilités.
\(F(x) = P(X \le x)\) — fonction en escalier croissante de 0 à 1, paliers cumulés de gauche à droite.
\(E(X) = \sum x_i p_i\). \(V(X) = E(X^2) - [E(X)]^2\). \(\sigma(X) = \sqrt{V(X)}\).
Si \(X\) est le gain net : jeu équitable \(\Leftrightarrow\) \(E(X)=0\). Favorable au joueur \(\Leftrightarrow\) \(E(X)>0\).
Sujet type Bac
Énoncé. Une cible circulaire est divisée en trois zones concentriques. La probabilité d'atteindre la zone centrale (rouge) est \(\tfrac{1}{5}\), celle d'atteindre la zone intermédiaire (bleue) est \(\tfrac{2}{5}\), et celle d'atteindre la zone extérieure (blanche) est \(\tfrac{2}{5}\). Un joueur lance une fléchette et reçoit 150 F s'il touche le rouge, 50 F s'il touche le bleu, et 0 F s'il touche le blanc. Le coût de participation est de 40 F.
Soit \(G\) le gain brut (avant soustraction du coût) et \(X = G - 40\) le gain net du joueur.
Question 1 — Loi de probabilité de G.
Les valeurs de \(G\) sont directement données par les gains de chaque zone. La loi de \(G\) est donc :
| \(g_i\) | 0 | 50 | 150 |
|---|---|---|---|
| \(P(G=g_i)\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) |
Vérification : \(\tfrac{2}{5}+\tfrac{2}{5}+\tfrac{1}{5} = \tfrac{5}{5} = 1\).
Question 2 — Espérance de G.
En moyenne, le joueur gagne brut 50 F par partie.
Question 3 — Loi de X et espérance de X.
Le gain net est \(X = G - 40\). On en déduit les valeurs de \(X\) : \(X = 0 - 40 = -40\) si blanc ; \(X = 50 - 40 = 10\) si bleu ; \(X = 150 - 40 = 110\) si rouge.
| \(x_i\) | \(-40\) | 10 | 110 |
|---|---|---|---|
| \(P(X=x_i)\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{2}{5}\) | \(\dfrac{1}{5}\) |
On calcule alors :
\[ E(X) = (-40) \cdot \frac{2}{5} + 10 \cdot \frac{2}{5} + 110 \cdot \frac{1}{5} = \frac{-80+20+110}{5} = \frac{50}{5} = 10 \text{ F}. \]Remarque : on pouvait aussi utiliser la linéarité de l'espérance : \(E(X) = E(G) - 40 = 50 - 40 = 10\) F. Les deux méthodes s'accordent.
Question 4 — Le jeu est-il favorable au joueur ?
Un jeu est favorable au joueur si \(E(X) > 0\). Ici \(E(X) = 10 > 0\) : le jeu est favorable au joueur — en moyenne, il gagne 10 F par partie. Ce n'est pas un jeu équitable (\(E(X) \ne 0\)).
Question 5 — Variance et écart-type du gain net.
L'écart-type de 54,77 F est bien supérieur à l'espérance de 10 F : les résultats sont très dispersés, ce qui traduit une forte part d'aléatoire dans ce jeu.