Terminale A · Leçon 1
Suites numériques
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Convergence d'une suite géométrique
Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.
Démonstration par récurrence
Exercice 1 — Démonstration par récurrence
Démontrer par récurrence que pour tout $n\in\mathbb{N}$, $3^n \ge 2n+1$.
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- Initialisation
Pour $n=0$ : $3^0=1 \ge 2\times0+1=1$. ✓ - Hérédité
On suppose $3^n \ge 2n+1$. Alors $$3^{n+1} = 3\times3^n \ge 3(2n+1) = 6n+3 = (2n+3)+4n \ge 2n+3 = 2(n+1)+1$$ (car $4n\ge0$). - Conclusion
La propriété est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$.
Suite arithmétique
Exercice 2 — Suite arithmétique
Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r=-3$ et $u_0=10$. Calculer $u_{15}$ et $S=u_0+u_1+\cdots+u_{15}$.
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- Calcul de $u_{15}$
$u_{15} = u_0+15r = 10-45 = -35$. - Calcul de la somme
$$S = \frac{16(u_0+u_{15})}{2} = 8\times(10-35) = 8\times(-25) = -200.$$
Suite arithmétique
Exercice 1 — Suite arithmétique
Soit $(u_n)$ arithmétique de raison $r=-4$ et $u_0=30$. Calculer $u_{12}$ et déterminer le signe de $u_{20}$.
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- Calcul de $u_{12}$
$u_{12} = 30+12\times(-4) = 30-48 = -18$. - Calcul de $u_{20}$
$u_{20} = 30+20\times(-4) = 30-80 = -50$ : négatif.
Suite géométrique
Exercice 2 — Suite géométrique
Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=2$ et $u_0=3$. Calculer $u_6$.
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- Formule
$u_6 = u_0\,q^6 = 3\times2^6$. - Résultat
$u_6 = 3\times64 = 192$.
Suite par récurrence — monotonie et convergence
Exercice 3 — Récurrence et monotonie
$u_0=2$, $u_{n+1}=\dfrac{u_n+6}{2}$.
1. $u_1,u_2,u_3$ 2. Montrer $u_n<6$ 3. Montrer croissance. Conclure.
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- $u_1=4$, $u_2=5$, $u_3=5{,}5$
- $u_0=2<6$. Si $u_n<6$ alors $u_{n+1}=\frac{u_n+6}{2}<6$. ✓
- $u_{n+1}-u_n=\frac{6-u_n}{2}>0$ → croissante majorée → $\lim u_n=6$.
Convergence, limite et comparaison de suites
Exercice 4 — Convergence
$u_n=\dfrac{3n^2+2n-1}{n^2+5}$. Trouver $\lim u_n$.
Détermination d'une suite arithmétique
Exercice 3 — Détermination d'une suite arithmétique
Soit $(u_n)$ arithmétique telle que $u_3=17$ et $u_7=33$. Déterminer $u_0$ et la raison $r$, puis calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_{10}$.
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- Calcul de la raison
$u_7-u_3=4r=33-17=16$, donc $r=4$. - Calcul de $u_0$
$u_3=u_0+3r=17 \Rightarrow u_0=17-12=5$. - Calcul de $S$
$u_{10}=u_0+10r=5+40=45$. $$S = \frac{11\times(5+45)}{2} = \frac{11\times50}{2} = 275.$$
Point fixe : suite récurrente en $\sqrt{\ }$
Exercice 4 — Point fixe
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=\sqrt{u_n+2}$. Montrer que $(u_n)$ est croissante, majorée par $2$, puis déterminer sa limite.
Suite auxiliaire géométrique
Exercice 6 — Suite auxiliaire géométrique
Soit $(u_n)$ définie par $u_0=3$ et $u_{n+1} = \dfrac{2u_n+3}{4}$. Montrer que $(v_n)$ définie par $v_n=u_n-\dfrac32$ est géométrique, exprimer $u_n$ en fonction de $n$, et calculer $\lim_{n\to+\infty} u_n$.
Somme géométrique et limite
Exercice 4 — Somme géométrique et limite
Soit $(u_n)$ géométrique de raison $q=\dfrac12$ et $u_0=64$. Calculer $S=u_0+u_1+\cdots+u_7$, puis déterminer $\displaystyle\lim_{n\to+\infty} u_n$.
Application : intérêts composés
Exercice 5 — Intérêts composés
On place $100\,000$ F à intérêts composés au taux annuel de $5\%$. Soit $u_n$ le capital après $n$ années. Exprimer $u_n$ en fonction de $n$, calculer $u_5$ (arrondi au franc), et déterminer au bout de combien d'années le capital dépasse $150\,000$ F.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.