Probabilités sur un ensemble fini

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Exercice 1 — Équiprobabilité simple

Une urne contient $7$ boules numérotées de $1$ à $7$. On tire une boule au hasard. Calculer la probabilité d'obtenir un multiple de $3$.

Exercice 2 — Somme de deux dés

On lance deux dés équilibrés à $6$ faces. Calculer la probabilité que la somme des résultats soit égale à $7$.

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Dans un village, sur 60 habitants, 35 pratiquent l'agriculture (A), 20 pratiquent l'élevage (E), 10 pratiquent les deux. $\text{card}(A\cup E)$ vaut :
a) 55   b) 45   c) 65   d) 25

2) Soit $E$ un ensemble de cardinal 8 et $A$ une partie de $E$ avec $\text{card}(A)=5$. $\text{card}(\overline A)$ vaut :
a) 3   b) 5   c) 8   d) 13

3) Un menu comporte 3 entrées et 5 desserts. Le nombre de combinaisons possibles (une entrée, un dessert) est :
a) 8   b) 15   c) 35   d) 53

4) Un ensemble $E$ a 6 éléments. Le nombre de parties de $E$ est :
a) 6   b) 12   c) 36   d) 64

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole regroupe 80 membres. Une enquête montre que 52 membres cultivent le maïs (\(M\)), 41 cultivent le coton (\(C\)), et 18 cultivent les deux. Le président de la coopérative souhaite savoir combien de membres cultivent au moins l'une des deux cultures, et surtout combien n'en cultivent aucune des deux — car un programme de sensibilisation à la diversification doit être lancé si plus de 15% des membres sont dans ce cas.

Consigne : Calculer $\text{card}(M\cup C)$, en déduire le nombre de membres qui ne cultivent ni maïs ni coton, calculer le pourcentage correspondant, et conclure si le président doit lancer le programme de sensibilisation.

Problème.

Partie A. Un lycée compte 150 élèves de Terminale. Parmi eux, 90 pratiquent le football ($F$), 60 pratiquent le basketball ($B$), et 25 pratiquent les deux sports.

1) Déterminer $\text{card}(F\cup B)$.
2) En déduire combien d'élèves ne pratiquent ni le football ni le basketball.

Partie B. Le comité d'organisation du tournoi est formé de 4 élèves $E=\{A;B;C;D\}$.
3) Combien de parties (sous-comités, y compris l'ensemble vide et $E$ tout entier) l'ensemble $E$ possède-t-il au total ?
4) Combien de ces parties comptent strictement plus de 2 membres (c'est-à-dire 3 ou 4 membres) ?

Partie C. Pour un match d'exhibition, le comité souhaite former un binôme composé d'un élève pratiquant uniquement le football et d'un élève pratiquant uniquement le basketball.
5) Combien de binômes (football-seul, basketball-seul) sont possibles ?