Terminale A · Leçon 3
Fonctions logarithmes
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Équations avec exponentielle
Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.
Entraînement illimité — Systèmes 2×2
Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.
Équation avec logarithme
Exercice 1 — Équation avec logarithme
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(x)=3$.
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- Passage à l'exponentielle
$\ln(x)=3 \iff x=e^{3}$ (réciprocité de $\ln$ et $\exp$). - Résultat
$\mathbb{S}=\{e^{3}\}$.
Équation avec exponentielle
Exercice 2 — Équation avec exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{x}=7$.
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- Passage au logarithme
$e^{x}=7 \iff x=\ln 7$. - Résultat
$\mathbb{S}=\{\ln 7\}$.
Équation exponentielle directe
Exercice 1 — Équation exponentielle directe
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{3x+1}=e^{7}$.
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- Injectivité de l'exponentielle
$e^{3x+1}=e^{7} \iff 3x+1=7$. - Résultat
$3x=6 \iff x=2$. $\mathbb{S}=\{2\}$.
Équation logarithmique directe
Exercice 2 — Équation logarithmique directe
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $\ln(5x-3)=\ln(x+9)$.
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- Domaine
$5x-3>0$ et $x+9>0$, soit $x>\dfrac35$. - Résolution
$5x-3=x+9 \iff 4x=12 \iff x=3$. Comme $3>\dfrac35$, la solution est valide. - Résultat
$\mathbb{S}=\{3\}$.
QCM — Résolution de systèmes
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Le système $\begin{cases}y=3x-2\\2x+y=8\end{cases}$ a pour solution :
a) $(2;4)$ b) $(4;2)$ c) $(2;-4)$ d) $(-2;4)$
2) Le système $\begin{cases}x+y=10\\x-y=2\end{cases}$ a pour solution :
a) $(6;4)$ b) $(4;6)$ c) $(8;2)$ d) $(5;5)$
3) Le système $\begin{cases}2x+4y=8\\x+2y=4\end{cases}$ admet :
a) une infinité de solutions b) aucune solution c) l'unique solution $(0;2)$ d) l'unique solution $(4;0)$
4) Le système $\begin{cases}x-y=3\\x-y=5\end{cases}$ admet :
a) aucune solution b) une infinité de solutions c) une solution unique d) la solution $(4;1)$
Propriétés algébriques du logarithme
Exercice 3 — Propriétés algébriques
Calculer, sans calculatrice, $\ln(8)-\ln(2)+\ln\!\left(\dfrac14\right)$.
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- Écriture en puissances de $2$
$\ln 8=\ln(2^3)=3\ln2$ ; $\ln\!\left(\dfrac14\right)=\ln(2^{-2})=-2\ln2$. - Somme
$$3\ln2-\ln2-2\ln2 = (3-1-2)\ln2 = 0.$$ - Résultat
$\ln(8)-\ln(2)+\ln\!\left(\dfrac14\right) = 0$.
Inéquation exponentielle
Exercice 3 — Inéquation exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x-1}\le e^{5}$.
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- Croissance de l'exponentielle
$e^{2x-1}\le e^{5} \iff 2x-1\le5$ (exp strictement croissante). - Résultat
$2x\le6 \iff x\le3$. $\mathbb{S}=\ ]-\infty\,;3]$.
Variations de $\ln(x)-x^2$
Exercice 4 — Étude de variations
Étudier les variations de $f(x)=\ln(x)-x^{2}$ sur $]0\,;+\infty[$ (dérivée, signe, valeur du maximum).
Équation quadratique en $e^x$
Exercice 5 — Équation quadratique en $e^x$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x}-e^{x}-6=0$.
Une inégalité classique : $\ln x < x$
Exercice 6 — Une inégalité classique
Étudier $g(x)=x-\ln(x)$ sur $]0\,;+\infty[$, montrer que $g(x)\ge1$ pour tout $x>0$, et en déduire que $\ln(x) < x$ pour tout $x>0$.
Équation avec changement de variable
Exercice 4 — Équation avec changement de variable
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x}-4e^{x}+3=0$.
Inéquation logarithmique
Exercice 5 — Inéquation logarithmique
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $\ln(3x+1) > 2$.
Système avec exponentielle
Exercice 6 — Système avec exponentielle
Résoudre le système $\begin{cases} x+y=7 \\ e^{x}=e^{3}\,e^{y} \end{cases}$.
Calculer avec le logarithme décimal
Dans cet exercice, \(\log\) désigne le logarithme décimal. On n'utilise pas la calculatrice.
1) Calcule \(\log 1000\), \(\log 0{,}01\) et \(\log\sqrt{10}\).
2) Calcule \(\log 4+\log 25\), puis \(\log 600-\log 6\).
3) On donne \(\log 3\approx 0{,}477\). Déduis-en une valeur approchée de \(\log 9\), de \(\log 30\), de \(\log\dfrac13\) et de \(\log 0{,}3\).
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1) Le logarithme décimal d'un nombre est l'exposant qu'il faut donner à 10 pour l'obtenir. Comme \(1000=10^3\), on a \(\log 1000=3\). Comme \(0{,}01=10^{-2}\), on a \(\log 0{,}01=-2\). Enfin \(\log\sqrt{10}=\dfrac12\log 10=\dfrac12\), puisque \(\log 10=1\).
2) Une somme de logarithmes est le logarithme du produit : \(\log 4+\log 25=\log(4\times 25)=\log 100=2\). Une différence de logarithmes est le logarithme du quotient : \(\log 600-\log 6=\log\dfrac{600}{6}=\log 100=2\).
3) \(\log 9=\log(3^2)=2\log 3\approx 0{,}954\). Puis \(\log 30=\log(3\times 10)=\log 3+\log 10\approx 0{,}477+1=1{,}477\). Ensuite \(\log\dfrac13=-\log 3\approx -0{,}477\). Enfin \(0{,}3=\dfrac{3}{10}\), donc \(\log 0{,}3=\log 3-\log 10\approx 0{,}477-1=-0{,}523\).
Réponse : \(\log 1000=3\), \(\log 0{,}01=-2\), \(\log\sqrt{10}=\dfrac12\) ; les deux calculs de la question 2 donnent 2 ; \(\log 9\approx 0{,}954\), \(\log 30\approx 1{,}477\), \(\log\dfrac13\approx -0{,}477\), \(\log 0{,}3\approx -0{,}523\).
Équations et inéquations avec log
Résous dans \(\mathbb{R}\) les équations et inéquations suivantes, où \(\log\) désigne le logarithme décimal.
1) \(\log x=-2\).
2) \(10^x=200\) (on donne \(\log 2\approx 0{,}301\)).
3) \(\log x+\log(x+3)=1\).
4) \(\log x\ge 3\).
5) \(\log(2x-1)\lt 1\).
Le niveau sonore en décibels
Le niveau sonore \(N\) d'un bruit, en décibels (dB), se calcule à partir de son intensité \(I\), en watts par mètre carré, par la formule \(N=10\log\dfrac{I}{I_0}\), où \(I_0=10^{-12}\) est l'intensité du son le plus faible que l'oreille perçoit et \(\log\) le logarithme décimal.
1) Une conversation a pour intensité \(I=10^{-6}\). Calcule son niveau sonore.
2) Lors d'un concert, on mesure un niveau de 110 dB. Calcule l'intensité correspondante.
3) Montre que, lorsque l'intensité d'un bruit est multipliée par 2, son niveau sonore augmente d'environ 3 dB (on donne \(\log 2\approx 0{,}301\)).
4) Une moto produit un bruit de 90 dB. Les intensités de plusieurs bruits s'ajoutent. Quel est le niveau sonore produit par dix motos identiques ? Combien faut-il de motos pour atteindre 110 dB ?
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.