Terminale A · Leçon 2
Fonctions exponentielles
Exercices corrigés
Résolution d'une équation exponentielle
Exercice 2 — Résolution d'une équation exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x-1} = e^3$.
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- Injectivité de l'exponentielle
$e^{2x-1}=e^3 \iff 2x-1=3$. - Résolution
$2x=4 \iff x=2$. - Résultat
$\mathbb{S} = \{2\}$.
Dérivée d'une fonction composée affine
Exercice 1 — Dérivée composée
Calculer la dérivée de $f(x)=(3x-2)^4$.
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- Application de la formule
Avec $u(x)=3x-2$ (donc $a=3$) : $$f'(x) = 4\times3\times(3x-2)^3.$$ - Résultat
$f'(x) = 12(3x-2)^3$.
Variations d'un polynôme du second degré
Exercice 1 — Variations d'un polynôme
Étudier le signe de $f'(x)$ pour $f(x)=x^2-4x+3$ et en déduire ses variations sur $\mathbb{R}$.
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- Dérivée
$f'(x) = 2x-4 = 2(x-2)$. - Signe et variations
$f'(x)>0 \iff x>2$. $f$ décroît sur $]-\infty\,;2]$, croît sur $[2\,;+\infty[$. - Minimum
$f(2) = 4-8+3 = -1$.
Équation avec exponentielle
Exercice 2 — Équation avec exponentielle
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{x}=7$.
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- Passage au logarithme
$e^{x}=7 \iff x=\ln 7$. - Résultat
$\mathbb{S}=\{\ln 7\}$.
Signe de la dérivée et variations
Exercice 3 — Signe de la dérivée
Étudier le signe de $g'(x)$ et les variations de $g(x)=(1-3x)^2$ sur $\mathbb{R}$.
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- Dérivée
Avec $u=1-3x$, $u'=-3$ : $$g'(x) = 2u\,u' = 2(1-3x)(-3) = 6(3x-1).$$ - Signe
$g'(x)>0 \iff x>\dfrac13$ ; $g'(x)<0 \iff x<\dfrac13$. - Variations
$g$ est décroissante sur $\left]-\infty\,;\dfrac13\right]$, croissante sur $\left[\dfrac13\,;+\infty\right[$, minimum $g\!\left(\dfrac13\right)=0$.
Inéquation exponentielle par changement de variable
Exercice 5 — Inéquation exponentielle par changement de variable
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'inéquation $e^{2x} - 3e^x + 2 \le 0$.
Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Exercice 6 — Étude complète : $f(x)=xe^{-x}$
Étudier les variations de $f(x) = xe^{-x}$ sur $[0\,;+\infty[$ et déterminer sa limite en $+\infty$. En déduire un encadrement de $f(x)$ sur cet intervalle.
Dérivée et domaine d'une racine composée
Exercice 4 — Dérivée et domaine
Calculer la dérivée de $f(x)=\sqrt{4-2x}$, puis déterminer le domaine de définition de $f$ et de $f'$.
Dérivée d'une exponentielle composée
Exercice 5 — Exponentielle composée
Soit $f(x)=e^{-2x+3}$. Calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire le sens de variation de $f$ sur $\mathbb{R}$.
Synthèse : logarithme composé et signe
Exercice 6 — Synthèse logarithme
Soit $f(x)=\ln(2x+6)-x$. Déterminer le domaine de définition, calculer $f'(x)$, étudier son signe et en déduire les variations de $f$.
Équation quadratique en $e^x$
Exercice 5 — Équation quadratique en $e^x$
Résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $e^{2x}-e^{x}-6=0$.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.