Première A · Leçon 7
Statistique descriptive
Exercices corrigés
Entraînement illimité — Moyenne d'une série statistique
Un nouveau problème est généré à chaque clic sur "Nouveau problème" — aucune limite de tentatives.
QCM — Caractéristiques de dispersion
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Série : $3,5,7,9$. L'étendue vaut :
a) 4 b) 6 c) 9 d) 3
2) Série de moyenne 8 : $6,7,9,10$. L'écart-moyen vaut :
a) 1 b) 1,5 c) 2 d) 6
3) La formule simplifiée de la variance est :
a) $V=\dfrac1n\sum x_i-\bar x$ b) $V=\left(\dfrac1n\sum x_i^2\right)-\bar x^2$ c) $V=\sqrt{\dfrac1n\sum x_i^2}$ d) $V=\bar x^2-\dfrac1n\sum x_i$
4) Si $\sigma=3$, alors la variance $V$ vaut :
a) 9 b) 6 c) 3 d) 1,5
QCM — Vocabulaire, moyenne, médiane, histogramme
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Une série a pour effectifs $3,7,6,3,1$. L'effectif total est :
a) $20$ b) $15$ c) $18$ d) $25$
2) Pour une série de $20$ individus (effectif pair), la médiane se situe entre :
a) la $10^{\text e}$ et la $11^{\text e}$ valeur triées b) la $9^{\text e}$ et la $10^{\text e}$ c) uniquement la $10^{\text e}$ d) uniquement la $11^{\text e}$
3) Dans un histogramme, ce qui doit être proportionnel à l'effectif d'une classe est :
a) l'aire du rectangle b) la hauteur du rectangle c) la largeur du rectangle d) le périmètre
4) La classe modale d'une série regroupée en classes est :
a) la classe de plus grand effectif b) la classe la plus large c) la première classe d) la classe contenant la moyenne
Voir le corrigé
- Réponse : a. $3+7+6+3+1=20$.
- Réponse : a. Effectif pair $2n=20$ : médiane entre la $n^{\text e}=10^{\text e}$ et la $(n+1)^{\text e}=11^{\text e}$ valeur.
- Réponse : a. L'aire, pas seulement la hauteur — important quand les classes n'ont pas toutes la même largeur.
- Réponse : a. Par définition, la classe modale est celle de plus grand effectif.
Situation d’intégration — Rendements agricoles dans le Yatenga
Exercice 2 — Situation d'intégration
Deux champs de mil dans la province du Yatenga ont produit, sur 5 années successives, les rendements suivants (en sacs de 100 kg) :
Champ A : $18,\;20,\;19,\;21,\;22$
Champ B : $12,\;25,\;15,\;28,\;20$
Consigne : Calculer la moyenne de chaque champ, calculer l'écart-type de chaque champ à l'aide de la formule simplifiée, et conclure sur la régularité de chaque champ pour aider l'agriculteur à décider lequel privilégier en cas de mauvaise saison.
Situation d'intégration — Rendements de mil au Sahel
Exercice 2 — Situation d'intégration
Le président d'une association de producteurs de mil dans la région du Sahel a relevé les rendements (en kg par are) de $15$ parcelles pilotes : $40, 45, 45, 50, 50, 50, 55, 55, 55, 55, 60, 60, 65, 70, 75$.
Consigne : 1) Construire le tableau des effectifs et l'effectif cumulé croissant. 2) Calculer le rendement moyen des $15$ parcelles. 3) Déterminer la médiane de cette série. 4) Le président qualifie de "bon rendement" toute parcelle au-dessus de la moyenne. Combien de parcelles sont dans ce cas ?
Exercice supplémentaire — Vaccinations
Exercice supplémentaire. Un vétérinaire relève le nombre de vaccins administrés par jour sur $20$ jours : $3$ jours à $2$ vaccins, $5$ jours à $4$ vaccins, $8$ jours à $5$ vaccins, $4$ jours à $8$ vaccins.
1) Vérifier que l'effectif total est bien $20$.
2) Calculer la moyenne.
3) Déterminer la médiane de cette série.
Situation d'intégration — Résultats d'un contrôle de mathématiques
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un enseignant de mathématiques regroupe les notes sur $20$ de ses $25$ élèves à un contrôle en classes : $[0;5[$ : $2$ élèves ; $[5;10[$ : $6$ élèves ; $[10;15[$ : $11$ élèves ; $[15;20]$ : $6$ élèves. Le proviseur souhaite savoir si une séance de soutien s'impose : il fixe le seuil de déclenchement à $30\,\%$ d'élèves en situation d'échec (note strictement inférieure à $10$).
Consigne : Vérifier l'effectif total, déterminer la classe modale, calculer le nombre d'élèves ayant une note inférieure à $10$ ainsi que le pourcentage correspondant, et conclure si le proviseur doit déclencher la séance de soutien.
Exercice supplémentaire — Âges des clients
Exercice supplémentaire. Un pharmacien classe les âges de $40$ clients reçus en une matinée : $[0;20[$ : $6$ clients ; $[20;40[$ : $14$ clients ; $[40;60[$ : $12$ clients ; $[60;80[$ : $8$ clients.
1) Donner le centre de chaque classe.
2) Calculer l'âge moyen de ces clients.
3) Quelle est la classe modale ?
Problème — Dispersion et transformation des données
Problème. On relève les notes sur 20 obtenues par 5 élèves à un devoir : $8,\;10,\;10,\;12,\;15$.
Partie A.
1) Calculer la moyenne de cette série.
2) Calculer l'étendue de cette série.
Partie B.
3) Calculer la variance à l'aide de la formule simplifiée.
4) En déduire l'écart-type, arrondi au centième.
Partie C.
5) Le professeur décide d'ajouter 2 points de bonus à chaque note. Sans refaire tous les calculs, donner la nouvelle moyenne et le nouvel écart-type, en justifiant.
Voir le corrigé
- $\bar x=\dfrac{8+10+10+12+15}5=\dfrac{55}5=11$.
- Étendue $=15-8=7$.
- $\sum x_i^2=64+100+100+144+225=633$. $V=\dfrac{633}5-11^2=126{,}6-121=5{,}6$.
- $\sigma=\sqrt{5{,}6}\approx2{,}37$.
- Nouvelle moyenne : $11+2=13$ (ajouter une constante à toutes les valeurs ajoute la même constante à la moyenne). Nouvel écart-type : inchangé, $\sigma\approx2{,}37$ — ajouter la même constante à toutes les valeurs ne modifie pas les écarts entre elles, donc ni la dispersion ni l'écart-type.
Problème — Notes d'une interrogation
Problème. Un enseignant de mathématiques d'un lycée a noté sur $20$ les résultats de $22$ élèves à une interrogation : $6, 8, 8, 9, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15, 16, 17, 18, 19$.
Partie A.
1) Quel est le mode de cette série ?
2) Calculer la moyenne de la classe (arrondir au dixième).
Partie B.
3) Déterminer la médiane de cette série ($22$ valeurs : moyenne des $11^e$ et $12^e$ valeurs triées).
4) L'enseignant attribue une mention "Très bien" aux notes strictement supérieures à $15$. Combien d'élèves l'obtiennent, et quel pourcentage de la classe cela représente-t-il (arrondi à l'entier) ?
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- Mode $=12$ (effectif $4$, le plus grand).
- Somme $=6+16+9+30+11+48+26+28+30+16+17+18+19=274$. Moyenne $=274/22\approx12{,}5$.
- Effectifs cumulés : $\ldots$, jusqu'à $11$ : $8$ ; jusqu'à $12$ : $12$. Les $11^e$ et $12^e$ valeurs sont toutes deux dans le groupe $12$ : médiane $=(12+12)/2=12$.
- Notes $>15$ : $16, 17, 18, 19$ soit $4$ élèves. Pourcentage $=4/22\times100\approx18\%$.
Problème — Ventes d'un vendeur de recharges
Problème. Un vendeur de recharges téléphoniques relève le nombre de recharges vendues chaque jour sur $10$ jours :
| Ventes (valeur) | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 2 | 4 | 2 | 1 | 1 |
Partie A. 1) Vérifier que l'effectif total est bien $10$, puis déterminer le mode.
Partie B. 2) Calculer la moyenne des ventes journalières.
Partie C. 3) Déterminer la médiane de cette série.
Regrouper vingt masses en classes
Un vendeur a pesé vingt mangues. Voici leurs masses, en grammes, rangées dans l'ordre croissant : 205, 212, 228, 236, 240, 250, 255, 262, 268, 270, 274, 281, 288, 295, 300, 305, 318, 326, 340, 349.
On les regroupe dans les classes \([200\,;250[\), \([250\,;300[\) et \([300\,;350[\).
1) Dans quelle classe range-t-on la mangue de 250 g ? celle de 300 g ? Donne l'effectif de chaque classe.
2) Donne l'amplitude et le centre de chaque classe, puis la fréquence de chaque classe en pourcentage.
3) Calcule la masse moyenne des mangues à partir du tableau regroupé, en utilisant les centres des classes.
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1) Dans une classe \([a\,;b[\), la borne \(a\) est comptée et la borne \(b\) ne l'est pas. La mangue de 250 g est donc dans \([250\,;300[\) et celle de 300 g dans \([300\,;350[\). On compte : cinq masses dans \([200\,;250[\) (205, 212, 228, 236, 240), neuf dans \([250\,;300[\) (de 250 à 295) et six dans \([300\,;350[\) (de 300 à 349). Contrôle : \(5+9+6=20\).
2) Les trois classes ont la même amplitude : \(250-200=50\) g. Leurs centres sont \(\dfrac{200+250}{2}=225\), \(\dfrac{250+300}{2}=275\) et \(\dfrac{300+350}{2}=325\). Les fréquences sont \(\dfrac{5}{20}=25\ \%\), \(\dfrac{9}{20}=45\ \%\) et \(\dfrac{6}{20}=30\ \%\) ; leur somme est bien 100 %.
3) On fait comme si toutes les mangues d'une classe avaient la masse du centre : \(\dfrac{225\times 5+275\times 9+325\times 6}{20}=\dfrac{1125+2475+1950}{20}=\dfrac{5550}{20}=277{,}5\). La masse moyenne est environ 277,5 g. C'est une valeur approchée : avec les vingt masses de départ, on trouverait 275,1 g. Le regroupement fait perdre un peu de précision.
Réponse : 250 g est dans \([250\,;300[\) et 300 g dans \([300\,;350[\) ; effectifs 5, 9 et 6 ; amplitude 50 g ; centres 225, 275 et 325 ; fréquences 25 %, 45 % et 30 % ; moyenne approchée 277,5 g.
Histogramme avec des classes d'amplitudes inégales
On a relevé la superficie, en hectares, des champs de 50 cultivateurs d'un village.
| Superficie | \([0\,;2[\) | \([2\,;4[\) | \([4\,;6[\) | \([6\,;10[\) | \([10\,;20[\) |
|---|---|---|---|---|---|
| Effectif | 8 | 14 | 10 | 12 | 6 |
1) Donne l'amplitude et le centre de chaque classe.
2) On veut tracer l'histogramme en prenant 2 hectares pour amplitude unité. Calcule la hauteur de chaque rectangle.
3) La classe \([6\,;10[\) a un effectif plus grand que la classe \([4\,;6[\). Son rectangle est-il plus haut ? Explique.
4) Quel pourcentage des cultivateurs possède un champ de moins de 4 hectares ?
Lire un histogramme et estimer une moyenne
Un commerçant a noté le montant des achats de ses clients pendant une matinée, en milliers de francs. Il a tracé un histogramme en prenant pour amplitude unité 5 milliers de francs. Voici la hauteur de chaque rectangle.
| Montant | \([10\,;15[\) | \([15\,;20[\) | \([20\,;30[\) | \([30\,;50[\) |
|---|---|---|---|---|
| Hauteur | 4 | 8 | 3 | 1,5 |
1) Donne l'amplitude et le centre de chaque classe.
2) Retrouve l'effectif de chaque classe, puis le nombre total de clients.
3) Quelle est la fréquence des clients dont l'achat est inférieur à 20 milliers de francs ?
4) Estime le montant moyen d'un achat, à la centaine de francs près.
Entraînement illimité
Un nouvel exercice à chaque essai, avec de nouvelles valeurs et son corrigé.