Première A · Leçon 5
Exemples d’étude de fonctions numériques
Ce que dit le programme officiel (11 points)
- Asymptotes et points particuliers
- Fonctions polynômes de degré inférieur à 3
- Fonctions homographiques
- Fonctions : x ↦ (ax² + bx + c) / (a’x² + b’x + c’)
- Fonctions : x ↦ √(ax + b)
- Retrouver le(s) comportement(s) asymptotique(s) d’une fonction
- Étudier et représenter ces fonctions
- Exploiter l’étude ou la représentation graphique de fonctions lors de la résolution de problèmes
- Limite : tout exposé général sur les branches infinies est à exclure
- Limite : pour la recherche de l’asymptote oblique, on met la fonction sous la forme f(x) = ax + b + φ(x), où φ(x) tend vers 0 à l’infini
- Mettre en évidence les éléments de symétrie de la courbe s’ils existent
Source : Programme de mathématiques, classe de Première A, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Asymptotes horizontales, verticales, obliques et branches infinies
Pour les fonctions de référence \(x\), \(x^2\), \(x^3\), \(\sqrt x\), \(\dfrac1x\), \(\dfrac1{x^2}\), on connaît leur comportement quand \(|x|\) devient grand. Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (fini), la droite \(y=\ell\) est asymptote horizontale à la courbe.
Comme pour \(x\mapsto\dfrac1x\) et \(x\mapsto\dfrac1{x^2}\) en \(0\), une fonction peut avoir une limite infinie en un réel \(a\) (borne de son ensemble de définition). La droite \(x=a\) est alors asymptote verticale à la courbe.
Les limites d'une somme, d'un produit par une constante, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient de fonctions s'obtiennent en combinant les limites de chaque fonction.
Soit \(k(x)=\dfrac{2x+2}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). En écrivant \(2x+2=2(x-1)+4\), on obtient :
\[ k(x)=2+\dfrac4{x-1}. \]Quand \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), \(\dfrac4{x-1}\to0\), donc \(k(x)\to2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale. Quand \(x\to1^+\), \(\dfrac4{x-1}\to+\infty\) donc \(k(x)\to+\infty\) ; quand \(x\to1^-\), \(k(x)\to-\infty\) : la droite \(x=1\) est asymptote verticale.
Figure — Courbe de \(k(x)=\dfrac{2x+2}{x-1}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote horizontale \(y=2\), toutes deux en pointillés.
Étude d'une fonction polynôme
Les fonctions polynômes de degré 2 ou 3 modélisent de nombreuses situations : trajectoire d'un objet lancé, bénéfice d'une entreprise selon la quantité produite, volume d'une boîte selon ses dimensions. Étudier une telle fonction, c'est connaître son ensemble de définition, ses limites, son sens de variation, ses extremums, les points remarquables de sa courbe, puis tracer cette courbe avec précision. La dérivée, étudiée dans la leçon précédente, est l'outil principal de cette étude.
Une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à 3 est une fonction de la forme \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), où \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) sont des nombres réels. Si \(a\neq0\), elle est de degré \(3\) ; si \(a=0\) et \(b\neq0\), elle est de degré \(2\).
- Elle est définie, continue et dérivable sur \(\mathbb{R}\).
- Sa dérivée est \(f'(x)=3ax^2+2bx+c\), qui est un polynôme de degré inférieur ou égal à \(2\) : son signe s'étudie avec le discriminant ou une factorisation.
- Une fonction polynôme de degré \(2\) peut s'écrire sous forme canonique \(f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta\) ; sa courbe est une parabole de sommet \(S(\alpha\,;\beta)\).
1) Limites en l'infini. En \(+\infty\) et en \(-\infty\), une fonction polynôme a la même limite que son terme de plus haut degré. Par exemple \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3-6x^2+9x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\). On le justifie en factorisant : \(x^3-6x^2+9x=x^3\left(1-\dfrac6x+\dfrac9{x^2}\right)\), et la parenthèse tend vers \(1\).
2) Variations. Sur un intervalle, si \(f'(x)\gt 0\), sauf en des points isolés où \(f'\) s'annule, alors \(f\) est strictement croissante ; si \(f'(x)\lt 0\) alors \(f\) est strictement décroissante.
3) Extremums. Si \(f'\) s'annule en \(x_0\) en changeant de signe, alors \(f(x_0)\) est un extremum relatif : un maximum si \(f'\) passe de \(+\) à \(-\), un minimum si \(f'\) passe de \(-\) à \(+\).
4) Symétries. La parabole d'équation \(y=a(x-\alpha)^2+\beta\) admet la droite d'équation \(x=\alpha\) pour axe de symétrie. La courbe d'une fonction polynôme de degré \(3\), \(f(x)=ax^3+bx^2+cx+d\), admet pour centre de symétrie le point \(\Omega\) d'abscisse \(\alpha=-\dfrac{b}{3a}\) et d'ordonnée \(f(\alpha)\).
Justification. En développant, pour tout réel \(h\) : \(f(\alpha+h)=f(\alpha)+(3a\alpha^2+2b\alpha+c)h+(3a\alpha+b)h^2+ah^3\). Comme \(3a\alpha+b=0\), il reste \(f(\alpha+h)=f(\alpha)+f'(\alpha)h+ah^3\). En remplaçant \(h\) par \(-h\) : \(f(\alpha-h)=f(\alpha)-f'(\alpha)h-ah^3\). En additionnant, \(f(\alpha-h)+f(\alpha+h)=2f(\alpha)\) : les points de la courbe d'abscisses \(\alpha-h\) et \(\alpha+h\) sont symétriques par rapport à \(\Omega\).
- Ensemble de définition : \(\mathbb{R}\).
- Limites en \(-\infty\) et \(+\infty\) avec le terme de plus haut degré.
- Dérivée : calcule \(f'(x)\), factorise-la si possible et étudie son signe (tableau de signes).
- Tableau de variation : place les limites, les flèches et les valeurs de \(f\) aux points où \(f'\) s'annule.
- Points remarquables : intersection avec l'axe des ordonnées \((0\,;f(0))\), avec l'axe des abscisses (solutions de \(f(x)=0\) quand on sait les trouver), extremums, élément de symétrie.
- Tracé : place d'abord les points remarquables et les tangentes horizontales aux extremums, puis trace la courbe en respectant le tableau de variation.
Énoncé : Étudie la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^3-6x^2+9x\) et donne les éléments utiles à sa représentation graphique.
Solution : \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\). Limites : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\) et \(\lim\limits_{x\to-\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to-\infty}x^3=-\infty\).
Dérivée : \(f'(x)=3x^2-12x+9=3(x^2-4x+3)=3(x-1)(x-3)\). Ce trinôme est positif à l'extérieur de ses racines \(1\) et \(3\), négatif entre elles. Donc \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;1]\), décroissante sur \([1\,;3]\), croissante sur \([3\,;+\infty[\).
Valeurs : \(f(1)=1-6+9=4\), maximum relatif ; \(f(3)=27-54+27=0\), minimum relatif.
Points remarquables : \(f(x)=x(x^2-6x+9)=x(x-3)^2\), donc la courbe coupe l'axe des abscisses en \(x=0\) et touche cet axe en \(x=3\), où la tangente est horizontale. Centre de symétrie : \(-\dfrac{b}{3a}=-\dfrac{-6}{3}=2\) et \(f(2)=8-24+18=2\), donc \(\Omega(2\,;2)\). Contrôle : \(f(1)+f(3)=4+0=4=2\times2\).
Courbe de \(f(x)=x^3-6x^2+9x\)
Le maximum \((1\,;4)\), le minimum \((3\,;0)\) où la courbe touche l'axe des abscisses, et le centre de symétrie \(\Omega(2\,;2)\).
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Voir les offresBeaucoup d'élèves pensent qu'une fonction de degré \(3\) a toujours un maximum et un minimum, ou qu'il suffit que \(f'(x_0)=0\) pour avoir un extremum en \(x_0\). C'est faux.
Contre-exemple : \(h(x)=x^3\). On a \(h'(x)=3x^2\), qui s'annule en \(0\) mais reste positive de part et d'autre : \(h\) est croissante sur \(\mathbb{R}\) et n'a aucun extremum. La courbe a seulement une tangente horizontale en \(O\). Il faut donc toujours vérifier que \(f'\) change de signe.
Autre piège : écrire \(\lim\limits_{x\to+\infty}(x^3-6x^2)=+\infty-\infty=0\). La forme « \(+\infty-\infty\) » est indéterminée ; on factorise par le terme de plus haut degré.
Avant de tracer, vérifie la cohérence de ton tableau : une flèche montante doit aller d'une valeur plus petite vers une plus grande, et les valeurs de \(f\) aux extremums doivent être calculées dans l'expression de départ, pas dans \(f'\). Pour un polynôme de degré \(3\), le centre de symétrie est aussi le milieu des deux extremums quand il y en a : ici le milieu de \((1\,;4)\) et \((3\,;0)\) est bien \((2\,;2)\).
Étude d'une fonction rationnelle
Une fonction rationnelle est un quotient de deux polynômes. Sa courbe présente souvent des branches qui s'éloignent vers l'infini au voisinage d'une valeur interdite, et qui se rapprochent d'une droite quand \(x\) devient très grand. Ces droites, les asymptotes, structurent tout le tracé. En Première, on étudie surtout les fonctions homographiques et les fonctions de la forme \(x\mapsto ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\).
- Une fonction homographique est une fonction de la forme \(f(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\) avec \(c\neq0\) et \(ad-bc\neq0\). Elle est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac dc\right\}\). Par division, elle s'écrit sous la forme réduite \(f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}\) avec \(\beta\neq0\).
- Une fonction de la forme \(g(x)=ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\), avec \(c\neq0\) et \(d\neq0\), est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac ed\right\}\).
La condition \(ad-bc\neq0\) exclut le cas où le numérateur est proportionnel au dénominateur : par exemple \(\dfrac{2x+2}{x+1}=2\) pour \(x\neq-1\), ce qui n'est pas une vraie fonction homographique.
1) Fonction homographique \(f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}\) :
- quand \(x\) tend vers \(x_0\), \(\dfrac{\beta}{x-x_0}\) tend vers \(+\infty\) ou \(-\infty\) selon le côté : la droite d'équation \(x=x_0\) est asymptote verticale ;
- quand \(x\) tend vers \(\pm\infty\), \(\dfrac{\beta}{x-x_0}\) tend vers \(0\), donc \(f(x)\) tend vers \(\alpha\) : la droite d'équation \(y=\alpha\) est asymptote horizontale ;
- le point \(\Omega(x_0\,;\alpha)\), intersection des asymptotes, est centre de symétrie de la courbe, car \(f(2x_0-x)+f(x)=\alpha+\dfrac{\beta}{x_0-x}+\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}=2\alpha\).
2) Fonction \(g(x)=ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\) avec \(a\neq0\) : la droite \(x=-\dfrac ed\) est asymptote verticale ; comme \(g(x)-(ax+b)=\dfrac{c}{dx+e}\) tend vers \(0\) en \(\pm\infty\), la droite d'équation \(y=ax+b\) est asymptote oblique. Le point d'intersection des deux asymptotes, \(\Omega\left(x_0\,;ax_0+b\right)\) avec \(x_0=-\dfrac ed\), est centre de symétrie de la courbe. En effet \(d(2x_0-x)+e=-2e-dx+e=-(dx+e)\), donc \(g(2x_0-x)+g(x)=a(2x_0-x)+b-\dfrac{c}{dx+e}+ax+b+\dfrac{c}{dx+e}=2(ax_0+b)\). Le signe de \(\dfrac{c}{dx+e}\) donne la position de la courbe par rapport à l'asymptote oblique.
- Détermine l'ensemble de définition en cherchant les valeurs qui annulent le dénominateur.
- Si nécessaire, effectue une division pour obtenir la forme réduite \(\alpha+\dfrac{\beta}{x-x_0}\) ou \(ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\).
- Calcule les limites aux bornes de l'ensemble de définition. Près de la valeur interdite, étudie le signe du dénominateur à gauche et à droite.
- Déduis-en les asymptotes : verticale, horizontale ou oblique.
- Calcule la dérivée (forme \(\dfrac uv\) ou forme réduite), étudie son signe sur chaque intervalle de l'ensemble de définition, puis dresse le tableau de variation avec une double barre sous la valeur interdite.
- Précise la position de la courbe par rapport à l'asymptote, les points remarquables, le centre de symétrie, puis trace : asymptotes d'abord, courbe ensuite.
Énoncé : Étudie \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\).
Solution : \(f\) est définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\). Comme \(2x+1=2(x-1)+3\), on a \(f(x)=2+\dfrac3{x-1}\).
Limites : quand \(x\) tend vers \(1\) par valeurs supérieures, \(x-1\) tend vers \(0\) en restant positif, donc \(\dfrac3{x-1}\) tend vers \(+\infty\) et \(f(x)\to+\infty\) ; par valeurs inférieures, \(f(x)\to-\infty\). En \(\pm\infty\), \(f(x)\to2\). Donc \(x=1\) est asymptote verticale et \(y=2\) asymptote horizontale.
Dérivée : \(f'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)\times1}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\lt 0\). La fonction \(f\) est donc strictement décroissante sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\).
Le point \(\Omega(1\,;2)\) est centre de symétrie. Position : \(f(x)-2=\dfrac3{x-1}\) est positif pour \(x\gt 1\), donc la courbe est au-dessus de l'asymptote \(y=2\) à droite de \(1\) et en dessous à gauche.
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Voir les offresCourbe de \(g(x)=x+2+\dfrac4{x-1}\) et ses asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote oblique \(y=x+2\) (en pointillés), maximum relatif \((-1\,;-1)\), minimum relatif \((3\,;7)\) et centre de symétrie \(\Omega(1\,;3)\).
Dans l'exemple 1, \(f'(x)\lt 0\) pour tout \(x\neq1\). On ne peut pourtant pas écrire « \(f\) est décroissante sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) ».
Contre-exemple : \(0\lt 2\), et pourtant \(f(0)=\dfrac1{-1}=-1\) est plus petit que \(f(2)=\dfrac51=5\). La fonction « remonte » en passant d'une branche à l'autre, à cause de la valeur interdite. Le sens de variation se donne toujours intervalle par intervalle : \(f\) est décroissante sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\).
Autre erreur : oublier d'étudier séparément les limites à gauche et à droite de la valeur interdite ; le signe du dénominateur change de part et d'autre.
Pour tracer la courbe, dessine d'abord les asymptotes en pointillés et place le centre de symétrie. Chaque branche de la courbe « longe » ses asymptotes : il suffit alors de placer les extremums et quelques points calculés pour obtenir un tracé juste. Une branche tracée d'un côté se déduit de l'autre par la symétrie de centre \(\Omega\).
Étude d'une fonction x ↦ √(ax + b)
La fonction racine carrée n'est définie que pour les nombres positifs, et sa courbe démarre à l'origine avec une tangente verticale. Lorsqu'on place une expression affine sous le radical, ces deux particularités subsistent, mais elles se déplacent : la courbe démarre ailleurs, et elle peut monter ou descendre. Toute l'étude consiste à repérer ce point de départ et ce sens.
Soit \(a\) et \(b\) deux réels, avec \(a\neq 0\), et \(f\) la fonction définie par \(f(x)=\sqrt{ax+b}\). On note \(x_0=-\dfrac ba\) le réel qui annule \(ax+b\).
Ensemble de définition. \(f(x)\) existe si et seulement si \(ax+b\geq 0\). Si \(a\gt 0\), \(f\) est définie sur \([x_0\,;+\infty[\) ; si \(a\lt 0\), elle est définie sur \(]-\infty\,;x_0]\). Dans les deux cas \(f(x_0)=0\) et \(f(x)\geq 0\).
Sens de variation. La fonction \(f\) s'obtient en appliquant la fonction affine \(x\mapsto ax+b\), puis la fonction racine carrée, qui est croissante. Si \(a\gt 0\), la fonction affine est croissante : \(f\) est croissante. Si \(a\lt 0\), la fonction affine est décroissante : \(f\) est décroissante.
Limite. Quand \(x\) s'éloigne à l'infini du côté où \(f\) est définie, \(ax+b\) tend vers \(+\infty\), donc \(f(x)\) tend vers \(+\infty\).
Dérivée. Pour tout \(x\) tel que \(ax+b\gt 0\), \(f\) est dérivable et
\[f'(x)=\frac{a}{2\sqrt{ax+b}}.\]Le signe de \(f'(x)\) est celui de \(a\) : on retrouve le sens de variation. En \(x_0\), \(f\) n'est pas dérivable : le taux d'accroissement tend vers l'infini et la courbe admet au point \((x_0\,;0)\) une demi-tangente verticale.
Allure de la courbe. Si \(y=\sqrt{ax+b}\), alors \(y^2=ax+b\) et \(y\geq 0\) : la courbe est une demi-parabole « couchée », dont le sommet est le point \((x_0\,;0)\), situé sur l'axe des abscisses.
1. L'ensemble de définition. On résout l'inéquation \(ax+b\geq 0\), en changeant le sens de l'inégalité si l'on divise par un nombre négatif.
2. Le point de départ et la limite. On calcule \(x_0\) : la courbe part du point \((x_0\,;0)\). À l'autre extrémité de l'ensemble de définition, la limite est \(+\infty\).
3. Le sens de variation. Il est donné par le signe de \(a\), soit par composition, soit par le signe de la dérivée \(f'(x)=\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}\). On dresse le tableau de variation.
4. Le tracé. On place le point de départ avec sa demi-tangente verticale, puis quelques points choisis pour que \(ax+b\) soit un carré (0, 1, 4, 9, 16…) : les images sont alors des entiers. On trace une courbe qui monte ou descend de moins en moins vite.
5. Une équation \(\sqrt{ax+b}=k\) ou \(\sqrt{ax+b}=cx+d\). Une racine carrée est positive : le second membre doit être positif. Sous cette condition seulement, on élève au carré.
Énoncé. Étudier la fonction \(f(x)=\sqrt{2x+4}\), donner une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 0, puis tracer la courbe.
Solution : \(2x+4\geq 0\) équivaut à \(x\geq -2\) : \(f\) est définie sur \([-2\,;+\infty[\), avec \(f(-2)=0\). Le coefficient 2 est positif : \(f\) est croissante sur \([-2\,;+\infty[\), et \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\).
Pour \(x\gt -2\), \(f'(x)=\dfrac{2}{2\sqrt{2x+4}}=\dfrac{1}{\sqrt{2x+4}}\), qui est bien positif. En \(-2\), pour \(h\gt 0\), le taux d'accroissement vaut \(\dfrac{\sqrt{2h}}{h}=\dfrac{\sqrt2}{\sqrt h}\) et tend vers \(+\infty\) : \(f\) n'est pas dérivable en \(-2\), la courbe y admet une demi-tangente verticale.
Tangente au point d'abscisse 0 : \(f(0)=\sqrt4=2\) et \(f'(0)=\dfrac12\), d'où l'équation \(y=\dfrac12x+2\).
Points pour le tracé : \(f(-2)=0\), \(f(0)=2\), \(f(2{,}5)=3\), \(f(6)=4\).
Figure — La courbe de l'exemple 1, sa tangente et la droite de l'exemple 3
En bleu marine, la courbe de la fonction f de l'exemple 1 : elle part du point (−2 ; 0) à la verticale, puis monte de moins en moins vite. En or, sa tangente au point d'abscisse 0, d'équation y = x/2 + 2 : la courbe reste au-dessous. En bleu, la droite d'équation y = x − 2 de l'exemple 3 : elle coupe la courbe en un seul point, de coordonnées (6 ; 4).
Énoncé. a) Étudier la fonction \(g(x)=\sqrt{6-3x}\). b) Résoudre l'équation \(g(x)=3\), puis l'inéquation \(g(x)\geq 3\).
Solution : a) \(6-3x\geq 0\) équivaut à \(-3x\geq -6\), soit \(x\leq 2\) (on divise par \(-3\), le sens change) : \(g\) est définie sur \(]-\infty\,;2]\), avec \(g(2)=0\). Le coefficient \(-3\) est négatif : \(g\) est décroissante sur \(]-\infty\,;2]\). Quand \(x\) tend vers \(-\infty\), \(6-3x\) tend vers \(+\infty\), donc \(\displaystyle\lim_{x\to -\infty}g(x)=+\infty\).
Pour \(x\lt 2\), \(g'(x)=\dfrac{-3}{2\sqrt{6-3x}}\), qui est bien négatif. La courbe arrive au point \((2\,;0)\) avec une demi-tangente verticale. Points pour le tracé : \(g(2)=0\), \(g(-1)=3\), \(g(-10)=6\).
b) Le nombre 3 est positif : \(g(x)=3\) équivaut à \(6-3x=9\), soit \(x=-1\), qui est bien dans l'ensemble de définition. Comme \(g\) est décroissante et \(g(-1)=3\), on a \(g(x)\geq 3\) exactement lorsque \(x\leq -1\) : l'ensemble des solutions de l'inéquation est \(]-\infty\,;-1]\).
Figure — La courbe de l'exemple 2
La courbe de la fonction g de l'exemple 2 descend de la gauche vers la droite et s'arrête au point (2 ; 0), où elle arrive à la verticale. La droite horizontale en pointillés, d'équation y = 3, la coupe au point d'abscisse −1 : à gauche de ce point, la courbe est au-dessus de la droite.
Énoncé. Déterminer les points d'intersection de la courbe de \(f(x)=\sqrt{2x+4}\) et de la droite d'équation \(y=x-2\), puis préciser leur position relative.
Solution : On résout \(\sqrt{2x+4}=x-2\) sur \([-2\,;+\infty[\). Le premier membre est positif : il faut \(x-2\geq 0\), c'est-à-dire \(x\geq 2\). Sous cette condition, on élève au carré : \(2x+4=(x-2)^2=x^2-4x+4\), soit \(x^2-6x=0\), donc \(x(x-6)=0\). On trouve \(x=0\) ou \(x=6\).
Seul \(x=6\) vérifie \(x\geq 2\). Vérification : \(\sqrt{2\times 6+4}=\sqrt{16}=4\) et \(6-2=4\). Au contraire, pour \(x=0\), \(\sqrt4=2\) alors que \(0-2=-2\) : ce n'est pas une solution. La courbe et la droite se coupent au seul point \((6\,;4)\).
Position relative. Sur \([-2\,;2[\), la droite est sous l'axe des abscisses et la courbe au-dessus : la courbe est au-dessus de la droite. Les deux ne se coupant qu'en 6, la courbe reste au-dessus de la droite sur \([-2\,;6[\) ; au-delà de 6, c'est la droite qui est au-dessus (par exemple en \(x=16\) : \(f(16)=6\) et \(16-2=14\)).
Oublier l'ensemble de définition. \(\sqrt{6-3x}\) n'existe pas pour \(x=5\). Toute étude commence par l'inéquation \(ax+b\geq 0\).
Se tromper de sens quand \(a\) est négatif. De \(-3x\geq -6\) on tire \(x\leq 2\), et non \(x\geq 2\).
Oublier le coefficient \(a\) dans la dérivée. La dérivée de \(\sqrt{2x+4}\) n'est pas \(\dfrac{1}{2\sqrt{2x+4}}\) mais \(\dfrac{2}{2\sqrt{2x+4}}\).
Élever au carré sans condition. L'équation \(\sqrt{2x+4}=x-2\) et l'équation \(2x+4=(x-2)^2\) n'ont pas les mêmes solutions : la seconde admet aussi \(x=0\), qui ne convient pas (exemple 3). On impose d'abord que le second membre soit positif, ou l'on vérifie chaque valeur trouvée.
Fractions rationnelles : décomposition, simplification
Si \(ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)) admet deux racines \(x_1\), \(x_2\), alors \(S=x_1+x_2=-\dfrac ba\) et \(P=x_1x_2=\dfrac ca\).
Exemple. \(x^2-7x+12=0\) : \(S=7\), \(P=12\), donc les racines sont \(3\) et \(4\) (\(3+4=7\), \(3\times4=12\)).
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Voir les offresPlan d'étude complet d'une fonction et représentation graphique
Étudier complètement une fonction, c'est enchaîner dans un ordre logique tous les outils vus jusqu'ici : ensemble de définition, parité, limites et asymptotes, dérivée, tableau de variation, points remarquables, éléments de symétrie. Suivre toujours le même plan évite les oublis et donne une représentation graphique fidèle. C'est le type de problème le plus fréquent en fin de Première et au Bac.
Soit \(f\) une fonction d'ensemble de définition \(D\) et \(\mathcal{C}\) sa courbe dans un repère orthonormé.
- Si \(f\) est paire (\(D\) symétrique par rapport à \(0\) et \(f(-x)=f(x)\)), \(\mathcal{C}\) est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées : on étudie \(f\) sur \(D\cap[0\,;+\infty[\) et on complète par symétrie.
- Si \(f\) est impaire (\(D\) symétrique par rapport à \(0\) et \(f(-x)=-f(x)\)), \(\mathcal{C}\) est symétrique par rapport à l'origine : même réduction, et les variations sont les mêmes sur les deux intervalles symétriques.
- La droite d'équation \(x=a\) est axe de symétrie de \(\mathcal{C}\) si, pour tout \(x\) de \(D\), \(2a-x\) appartient à \(D\) et \(f(2a-x)=f(x)\).
- Le point \(\Omega(a\,;b)\) est centre de symétrie de \(\mathcal{C}\) si, pour tout \(x\) de \(D\), \(2a-x\) appartient à \(D\) et \(f(2a-x)+f(x)=2b\).
- Si \(f\) est périodique de période \(T\), on l'étudie sur un intervalle de longueur \(T\), puis on reproduit la courbe par translations.
- Ensemble de définition \(D\).
- Parité, périodicité : si elles existent, réduis l'intervalle d'étude.
- Limites aux bornes de l'intervalle d'étude et asymptotes : verticale, horizontale, oblique.
- Dérivée : calcul, factorisation, signe.
- Tableau de variation complet, avec les limites et les valeurs des extremums.
- Points remarquables : intersections avec les axes, extremums, tangentes utiles (en particulier en \(0\) et aux points où la courbe coupe les axes).
- Éléments de symétrie à démontrer si l'énoncé les suggère.
- Tracé : asymptotes, points et tangentes, puis la courbe, en respectant le tableau ; complète par symétrie si l'étude a été réduite.
Pour tracer une tangente sans son équation, place le point de contact, puis un second point obtenu en avançant de \(1\) en abscisse et de \(f'(x_0)\) en ordonnée.
Énoncé : Fais l'étude complète de \(f(x)=x^3-3x\) et trace sa courbe.
Solution : \(D=\mathbb{R}\), symétrique par rapport à \(0\), et \(f(-x)=-x^3+3x=-f(x)\) : \(f\) est impaire, sa courbe est symétrique par rapport à l'origine. On l'étudie sur \([0\,;+\infty[\).
Limite : \(\lim\limits_{x\to+\infty}f(x)=\lim\limits_{x\to+\infty}x^3=+\infty\).
Dérivée : \(f'(x)=3x^2-3=3(x-1)(x+1)\). Sur \([0\,;+\infty[\), \(x+1\gt 0\), donc \(f'(x)\) a le signe de \(x-1\) : \(f\) est décroissante sur \([0\,;1]\) et croissante sur \([1\,;+\infty[\), avec \(f(0)=0\) et \(f(1)=1-3=-2\), minimum relatif.
Par imparité, \(f\) est croissante sur \(]-\infty\,;-1]\), décroissante sur \([-1\,;0]\), et \(f(-1)=-f(1)=2\) est un maximum relatif.
Points remarquables : \(f(x)=x(x^2-3)=0\iff x=0\) ou \(x=\sqrt3\) ou \(x=-\sqrt3\). Tangente en \(O\) : \(f'(0)=-3\), donc la tangente a pour équation \(y=-3x\).
Courbe de \(f(x)=x^3-3x\) et sa tangente en \(O\)
La courbe est symétrique par rapport à l'origine. Maximum relatif \((-1\,;2)\), minimum relatif \((1\,;-2)\), tangente \(y=-3x\) en \(O\) (en pointillés).
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Voir les offresQuand on étudie une fonction impaire seulement sur \([0\,;+\infty[\), il faut ensuite déduire les variations et les valeurs sur \(]-\infty\,;0]\). Erreur fréquente avec \(f(x)=x^3-3x\) : écrire que \(f(-1)=-2\) parce que \(f(1)=-2\), comme si la fonction était paire. Pour une fonction impaire, \(f(-1)=-f(1)=2\).
Autre erreur : affirmer qu'un point est centre de symétrie sans le démontrer. Il faut vérifier \(f(2a-x)+f(x)=2b\) pour tout \(x\) de \(D\) (après avoir vérifié que \(2a-x\) est aussi dans \(D\)), et pas seulement sur un ou deux exemples : un contrôle numérique ne remplace pas la démonstration.
Rédige ton tableau de variation avec soin : sur la ligne des variations figurent toutes les limites et les valeurs des extremums, et une double barre sous chaque valeur interdite. Ajoute ensuite deux ou trois valeurs calculées, par exemple les intersections avec les axes. Le tracé ne doit plus rien inventer : il traduit fidèlement le tableau.
Quand tu dois aller vite sans perdre de rigueur, adopte ce réflexe : asymptotes d’abord, variations ensuite, points remarquables enfin. En effet, les asymptotes fixent le cadre général de la figure, les variations donnent le sens des branches, et les points remarquables servent à ancrer précisément la courbe.
Un autre bon réflexe consiste à rechercher une écriture plus lisible avant de dériver. Par exemple, pour une fonction rationnelle, une décomposition du type \(f(x)=ax+b+\dfrac{c}{dx+e}\) fait apparaître immédiatement la partie affine, l’asymptote oblique éventuelle, l’asymptote verticale et souvent un centre de symétrie. Tu gagnes du temps et tu comprends mieux la courbe.
Avant de terminer, fais un contrôle final en te posant trois questions : la courbe respecte-t-elle les symétries trouvées ? suit-elle bien les sens de variation ? se rapproche-t-elle correctement des asymptotes ? Si la réponse est oui, ton tracé a de grandes chances d’être juste.
Lecture graphique et représentations d'une fonction
Rappel de SecondeRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresTracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou simples touches d'une calculatrice : ce sont quatre façons différentes de décrire la même fonction. Savoir passer de l'une à l'autre est la compétence centrale de ce chapitre.
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Voir les offresUne fonction est croissante sur un intervalle si, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi (l'ordre est conservé) ; décroissante si \(f(x)\) diminue quand \(x\) augmente (l'ordre est inversé) ; constante si \(f(x)\) ne change pas. L'étude du sens de variation se fait toujours de façon directe, en comparant deux images — jamais via une notion de limite, hors programme à ce niveau.
Une fonction est paire si sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (\(f(-x)=f(x)\)), impaire si elle est symétrique par rapport à l'origine (\(f(-x)=-f(x)\)).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Résumé
\(ax+b\geq 0\) : \([x_0\,;+\infty[\) si \(a\gt 0\), \(]-\infty\,;x_0]\) si \(a\lt 0\), avec \(x_0=-\dfrac ba\).
Croissante si \(a\gt 0\), décroissante si \(a\lt 0\) ; \(f(x_0)=0\) et la limite à l'infini est \(+\infty\).
\(f'(x)=\dfrac{a}{2\sqrt{ax+b}}\) pour \(ax+b\gt 0\) ; pas de dérivée en \(x_0\).
Demi-parabole couchée partant de \((x_0\,;0)\) avec une demi-tangente verticale.
Avant d'élever au carré, on exige que le second membre soit positif.