Première A · Leçon 3
Limites – continuité
Ce que dit le programme officiel (15 points)
- Notion de limite d’une fonction
- Limites et opérations
- Limite à gauche, à droite
- Extension de la notion de limite
- Établir le comportement des fonctions de référence x ↦ x² ; x ↦ 1/x ; x ↦ √x ; x ↦ x³ ; x ↦ 1/x² ; x ↦ 1/x³ ; x ↦ 1/√x quand |x| devient « grand » ou « petit »
- Définir la limite d’une fonction en + ∞, en – ∞ ou en un réel
- Reconnaître et utiliser la propriété « Si f est définie en x₀ et admet une limite l en x₀ alors l = f(x₀) »
- Calculer la limite d’une fonction à l’aide des opérations algébriques
- Déterminer la limite d’une fonction par comparaison avec une fonction dont on a déterminé la limite
- Limite : on admet l’unicité de la limite
- Limite : la définition de la limite par un couple de lettres grecques est hors programme
- Continuité d’une fonction en un point
- Continuité sur un intervalle
- Étudier la continuité d’une fonction en un point, sur un intervalle
- Limite : pour la continuité sur un intervalle, on étudie les cas d’intervalles ouverts, fermés, semi-ouverts
Source : Programme de mathématiques, classe de Première A, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Limite d'une fonction composée
Très souvent, la fonction que tu étudies n’est pas donnée sous une forme simple, mais comme une fonction appliquée à une autre fonction : par exemple \(\sqrt{x^2+1}\), \((3x-1)^2\) ou \(\dfrac{1}{(x-1)^2}\). Calculer la limite d’une telle expression revient à comprendre comment se comportent successivement la fonction intérieure puis la fonction extérieure. La limite d’une fonction composée est donc un outil essentiel pour passer d’une limite connue à une nouvelle limite, sans refaire toute l’étude depuis le début.
Soient deux fonctions \(g\) et \(f\). Quand l’image de \(x\) par \(g\) peut servir d’entrée pour \(f\), on définit la fonction composée de \(f\) par \(g\), notée \(f\circ g\), par :
\[ (f\circ g)(x)=f(g(x)). \]
Dans l’écriture \(f(g(x))\), la fonction \(g\) agit d’abord, puis la fonction \(f\) agit sur le résultat obtenu. On appelle donc \(g\) la fonction intérieure, et \(f\) la fonction extérieure.
Pour étudier une limite de la forme \(\lim_{x\to a} f(g(x))\), on commence par regarder la limite de \(g(x)\) quand \(x\) tend vers \(a\). Si \(g(x)\) tend vers un nombre \(b\), la question devient alors : que vaut \(f(t)\) quand \(t\) tend vers \(b\) ?
On dira aussi qu’une fonction \(f\) est continue en \(b\) lorsque \(\lim_{t\to b} f(t)=f(b)\). Dans ce cas, la limite de la composée se calcule souvent en remplaçant simplement l’intérieur par sa limite, à condition que cela ait un sens.
Théorème fondamental. Si \(\lim_{x\to a} g(x)=b\) et si \(\lim_{t\to b} f(t)=L\), alors :
\[ \lim_{x\to a} f(g(x))=L. \]
L’idée est intuitive : quand \(x\) est très proche de \(a\), la valeur \(g(x)\) est très proche de \(b\) ; or, quand l’entrée d’une fonction \(f\) est proche de \(b\), la sortie \(f(t)\) est proche de \(L\). Donc \(f(g(x))\) est proche de \(L\).
Cas important avec continuité. Si \(\lim_{x\to a} g(x)=b\) et si \(f\) est continue en \(b\), alors :
\[ \lim_{x\to a} f(g(x))=f(b). \]
En effet, la continuité en \(b\) signifie précisément que \(\lim_{t\to b} f(t)=f(b)\).
Attention au côté d’approche. Si \(g(x)\to b\) mais que, près de \(a\), on a toujours \(g(x)>b\), alors c’est la limite à droite de \(f\) en \(b\) qu’il faut utiliser : si \(\lim_{t\to b^+} f(t)=L\), alors \(\lim_{x\to a} f(g(x))=L\). De même, si \(g(x)<b\) près de \(a\), on utilise la limite à gauche. Cette précision est essentielle pour des fonctions comme \(t\mapsto \dfrac{1}{t}\) ou \(t\mapsto \sqrt{t}\).
Remarque. Quand une limite existe, elle est unique. Ainsi, si les comportements obtenus à gauche et à droite ne coïncident pas, la limite de la composée n’existe pas.
Pour calculer une limite de la forme \(\lim_{x\to a} f(g(x))\), tu peux suivre les étapes suivantes :
- Repérer la fonction intérieure. Écris clairement \(u(x)=g(x)\). Cela te permet de voir la composée comme \(f(u(x))\).
- Calculer la limite de l’intérieur. Détermine \(\lim_{x\to a} u(x)\). Appelle cette limite \(b\).
- Identifier la bonne limite de la fonction extérieure. Cherche alors \(\lim_{t\to b} f(t)\). Si les valeurs de \(u(x)\) arrivent vers \(b\) seulement par valeurs supérieures ou seulement par valeurs inférieures, pense à utiliser une limite à droite ou à gauche.
- Vérifier le domaine. Assure-toi que l’expression a bien un sens près du point étudié : par exemple, pour une racine carrée, il faut un intérieur positif ou nul ; pour un inverse, il faut éviter le zéro.
- Conclure proprement. Écris une phrase de conclusion du type : « Comme \(u(x)\to b\) et comme \(f(t)\to L\) quand \(t\to b\), on en déduit que \(f(u(x))\to L\). »
Cette méthode évite les remplacements automatiques sans justification. Elle te force à voir clairement quelle fonction agit en premier et de quel côté la variable intermédiaire s’approche de sa limite.
Énoncé : Calculer \(\lim_{x\to 2} (3x-1)^2\).
Solution : On reconnaît une composée. La fonction intérieure est \(u(x)=3x-1\), et la fonction extérieure est la fonction carré \(f(t)=t^2\).
Calculons d’abord la limite de l’intérieur :
\[ \lim_{x\to 2} (3x-1)=3\times 2-1=6-1=5. \]
La fonction carré est continue en \(5\). Donc :
\[ \lim_{t\to 5} t^2=5^2=25. \]
Par composition, on obtient alors :
\[ \lim_{x\to 2} (3x-1)^2=25. \]
On peut rédiger la conclusion ainsi : comme \(3x-1\to 5\) quand \(x\to 2\), et comme la fonction carré est continue en \(5\), on a \((3x-1)^2\to 5^2\), donc la limite vaut \(25\).
Cet exemple montre le cas le plus simple : quand la fonction extérieure est continue au point atteint par la fonction intérieure, on remplace l’intérieur par sa limite puis on calcule.
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Voir les offresErreur fréquente 1 : croire qu’il suffit toujours de « remplacer \(x\) par sa valeur ». Cette idée n’est juste que lorsque la fonction extérieure est continue au point atteint par la fonction intérieure. Par exemple, dans \(\dfrac{1}{(x-1)^2}\), si tu remplaces trop vite, tu obtiens \(\dfrac{1}{0}\), ce qui n’a pas de sens. Il faut d’abord repérer que \((x-1)^2\to 0^+\), puis utiliser la limite à droite de \(t\mapsto \dfrac{1}{t}\).
Erreur fréquente 2 : oublier le côté d’approche. Prenons \(f(t)=\dfrac{1}{t}\) et \(g(x)=x^2\). On pourrait dire : « la limite de \(\dfrac{1}{t}\) en \(0\) n’existe pas, donc la limite de \(\dfrac{1}{x^2}\) en \(0\) n’existe pas ». C’est faux. En réalité, \(x^2\to 0^+\), donc
\[ \lim_{x\to 0} \frac{1}{x^2}=+\infty. \]
Erreur fréquente 3 : confondre \(f(g(x))\) et \(g(f(x))\). Par exemple, si \(f(t)=t^2\) et \(g(x)=x+1\), alors \(f(g(x))=(x+1)^2\), tandis que \(g(f(x))=x^2+1\). Ce ne sont pas les mêmes expressions, donc elles n’ont pas en général le même comportement. Dans une limite de composée, l’ordre des fonctions compte absolument.
Un bon réflexe consiste à nommer l’intérieur : écris \(u=g(x)\). La limite à calculer devient alors une phrase simple : « \(u\) tend vers tel nombre, donc je regarde ce que fait la fonction extérieure quand son entrée tend vers ce nombre. » Cette écriture clarifie immédiatement le raisonnement.
Autre réflexe très utile : demande-toi toujours si \(u\) arrive vers sa limite par la droite ou par la gauche. Ce détail est décisif pour les fonctions comme \(\dfrac{1}{u}\) et \(\sqrt{u}\). Par exemple, si \(u=(x-a)^2\), alors \(u\ge 0\), donc \(u\) tend vers \(0\) par valeurs positives. Enfin, quand la fonction extérieure est un polynôme, une fonction rationnelle dont le dénominateur ne s’annule pas, ou une racine carrée utilisée sur des valeurs autorisées, pense immédiatement à la continuité : c’est souvent la voie la plus rapide et la plus sûre.
Opérations sur les limites et formes indéterminées
Pour les fonctions de référence \(x\), \(x^2\), \(x^3\), \(\sqrt x\), \(\dfrac1x\), \(\dfrac1{x^2}\), on connaît leur comportement quand \(|x|\) devient grand. Si \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell\) (fini), la droite \(y=\ell\) est asymptote horizontale à la courbe.
Comme pour \(x\mapsto\dfrac1x\) et \(x\mapsto\dfrac1{x^2}\) en \(0\), une fonction peut avoir une limite infinie en un réel \(a\) (borne de son ensemble de définition). La droite \(x=a\) est alors asymptote verticale à la courbe.
Les limites d'une somme, d'un produit par une constante, d'un produit, d'un inverse et d'un quotient de fonctions s'obtiennent en combinant les limites de chaque fonction.
Soit \(k(x)=\dfrac{2x+2}{x-1}\), définie sur \(\mathbb R\setminus\{1\}\). En écrivant \(2x+2=2(x-1)+4\), on obtient :
\[ k(x)=2+\dfrac4{x-1}. \]Quand \(x\to+\infty\) ou \(x\to-\infty\), \(\dfrac4{x-1}\to0\), donc \(k(x)\to2\) : la droite \(y=2\) est asymptote horizontale. Quand \(x\to1^+\), \(\dfrac4{x-1}\to+\infty\) donc \(k(x)\to+\infty\) ; quand \(x\to1^-\), \(k(x)\to-\infty\) : la droite \(x=1\) est asymptote verticale.
Figure — Courbe de \(k(x)=\dfrac{2x+2}{x-1}\) et ses deux asymptotes
Asymptote verticale \(x=1\) et asymptote horizontale \(y=2\), toutes deux en pointillés.
Continuité en un point et sur un intervalle, types de discontinuité
Intuitivement, une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe sur cet intervalle sans lever le crayon. Cette image est utile, mais elle ne suffit pas pour démontrer : on définit la continuité à l'aide des limites. La continuité sert ensuite à justifier l'existence de solutions d'équations et à étudier des fonctions définies « par morceaux », c'est-à-dire par des formules différentes selon les valeurs de \(x\).
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(x_0\) un réel de \(I\).
- \(f\) est continue en \(x_0\) lorsque \(f\) admet une limite en \(x_0\) et que cette limite est égale à \(f(x_0)\) : \(\lim\limits_{x\to x_0}f(x)=f(x_0)\).
- Lorsque \(x_0\) n'est pas une borne de \(I\), cela revient à dire que la limite à gauche et la limite à droite en \(x_0\) existent et sont toutes deux égales à \(f(x_0)\) : \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=f(x_0)\).
- \(f\) est continue sur l'intervalle \(I\) lorsqu'elle est continue en chaque point de \(I\).
Sinon, on dit que \(f\) est discontinue en \(x_0\). On ne parle de continuité qu'en un point où la fonction est définie.
- Les fonctions polynômes sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- Les fonctions rationnelles sont continues sur chaque intervalle de leur ensemble de définition. Par exemple, \(x\mapsto\dfrac1x\) est continue sur \(]-\infty\,;0[\) et sur \(]0\,;+\infty[\) ; elle n'est pas définie en \(0\), donc la question de la continuité en \(0\) ne se pose pas.
- La fonction \(x\mapsto\sqrt x\) est continue sur \([0\,;+\infty[\), et les fonctions \(x\mapsto\cos x\) et \(x\mapsto\sin x\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).
- La somme, le produit et le quotient (quand le dénominateur ne s'annule pas) de fonctions continues sont continus.
Conséquence pratique : pour une fonction définie par une seule formule polynôme ou rationnelle, la continuité est acquise sur chaque intervalle où elle est définie. Le travail porte sur les points de « raccord » d'une fonction définie par morceaux.
Types de discontinuité. En un point \(x_0\) où \(f\) est définie, une discontinuité peut se produire de deux façons principales :
- discontinuité par saut : les limites à gauche et à droite existent mais sont différentes (exemple 2 ci-dessous) ;
- valeur isolée : les limites à gauche et à droite sont égales, mais différentes de \(f(x_0)\) (voir le piège).
Il arrive aussi qu'une limite à gauche ou à droite soit infinie : la fonction n'a alors pas de limite finie en \(x_0\) et ne peut pas y être continue.
Soit \(f\) définie par \(f(x)=u(x)\) si \(x\lt x_0\) et \(f(x)=v(x)\) si \(x\ge x_0\), avec \(u\) et \(v\) continues.
- Calcule \(f(x_0)\) avec la formule qui contient \(x_0\) : ici \(f(x_0)=v(x_0)\).
- Calcule la limite à gauche : \(\lim\limits_{x\to x_0^-}f(x)=\lim\limits_{x\to x_0}u(x)=u(x_0)\), car \(u\) est continue.
- Calcule la limite à droite : \(\lim\limits_{x\to x_0^+}f(x)=v(x_0)\).
- Conclus : \(f\) est continue en \(x_0\) si et seulement si ces trois nombres sont égaux.
Si un paramètre intervient dans une formule, écris l'égalité des limites et résous l'équation obtenue pour trouver la valeur qui rend \(f\) continue.
Énoncé : Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x+1\) si \(x\lt 1\) et \(f(x)=3-x\) si \(x\ge1\). Étudie la continuité de \(f\) en \(1\), puis sur \(\mathbb{R}\).
Solution : On a \(f(1)=3-1=2\). Limite à gauche : \(\lim\limits_{x\to1^-}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(x+1)=2\). Limite à droite : \(\lim\limits_{x\to1^+}f(x)=\lim\limits_{x\to1}(3-x)=2\). Les trois valeurs sont égales, donc \(f\) est continue en \(1\).
Sur \(]-\infty\,;1[\) et sur \(]1\,;+\infty[\), \(f\) est définie par un polynôme, donc elle est continue. Avec la continuité en \(1\), \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}\) : sa courbe est formée de deux demi-droites qui se rejoignent au point \((1\,;2)\).
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Voir les offresDiscontinuité par saut de \(g\) en \(2\)
Le point plein \((2\,;4)\) appartient à la courbe ; le point vide \((2\,;3)\) n'en fait pas partie. Il faut lever le crayon en \(x=2\) : \(g\) n'est pas continue en \(2\).
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Voir les offresUne fonction peut avoir des limites à gauche et à droite égales sans être continue. Soit \(k\) définie par \(k(x)=x+1\) si \(x\neq1\) et \(k(1)=5\). On a \(\lim\limits_{x\to1^-}k(x)=\lim\limits_{x\to1^+}k(x)=2\), mais \(k(1)=5\neq2\) : \(k\) n'est pas continue en \(1\). Sa courbe est la droite \(y=x+1\) privée du point \((1\,;2)\), plus un point isolé \((1\,;5)\). Il faut toujours comparer les limites à la valeur \(f(x_0)\).
Autre erreur fréquente : dire que \(x\mapsto\dfrac1x\) est « discontinue en \(0\) ». Elle n'est pas définie en \(0\) ; elle est continue sur chacun des intervalles où elle est définie.
À un point de raccord \(x_0\), écris toujours trois lignes : la valeur \(f(x_0)\), la limite à gauche, la limite à droite. Conclus ensuite en une phrase. Cette présentation montre au correcteur que tu as vérifié les trois conditions, et elle évite de confondre la formule valable à gauche et celle valable à droite.
Théorèmes de comparaison et des gendarmes
Les règles sur les sommes, les produits et les quotients ne suffisent pas toujours pour trouver une limite. La fonction \(x\mapsto x+\sin x\), par exemple, contient un terme qui oscille sans cesse et n'a pas de limite en \(+\infty\). On s'en sort en comparant la fonction à une autre, plus simple, dont on connaît la limite : si une fonction est plus grande qu'une fonction qui devient immense, elle devient immense aussi ; si elle est coincée entre deux fonctions qui se rapprochent d'un même nombre, elle s'en rapproche également.
Les fonctions \(f\), \(g\) et \(h\) sont définies sur un intervalle \([A\,;+\infty[\).
Minoration. Si \(f(x)\geq g(x)\) pour tout \(x\) assez grand et si \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=+\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\).
Majoration. Si \(f(x)\leq g(x)\) pour tout \(x\) assez grand et si \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=-\infty\).
Encadrement (théorème « des gendarmes »). Si \(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\) pour tout \(x\) assez grand et si \(g\) et \(h\) ont la même limite finie \(\ell\) en \(+\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell\).
Forme pratique de l'encadrement. Si \(|f(x)-\ell|\leq g(x)\) pour tout \(x\) assez grand et si \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=0\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=\ell\).
Ces énoncés restent vrais en \(-\infty\) et en un réel \(a\) : il suffit que les inégalités soient vraies pour les \(x\) concernés (les \(x\) très négatifs, ou les \(x\) proches de \(a\)).
Figure — Une fonction coincée entre deux fonctions de même limite
En bleu marine, la courbe de la fonction qui à x associe sin x divisé par x, pour x positif. Elle oscille, mais reste entre la courbe de 1/x (en or, au-dessus) et celle de −1/x (en or, au-dessous). Ces deux courbes se rapprochent de l'axe des abscisses : la courbe bleue, coincée entre elles, s'en rapproche aussi. La limite est 0.
1. Repérer le terme qui gêne. C'est en général un terme borné qui n'a pas de limite : \(\cos x\), \(\sin x\), \((-1)^n\)… On écrit son encadrement : \(-1\leq\cos x\leq 1\) et \(-1\leq\sin x\leq 1\) pour tout réel \(x\).
2. Construire l'inégalité sur \(f(x)\). On ajoute, on multiplie ou on divise les membres de l'encadrement pour faire apparaître \(f(x)\). Multiplier ou diviser par un nombre négatif change le sens des inégalités : on précise donc le signe de ce par quoi on multiplie.
3. Choisir le théorème. Si l'on attend \(+\infty\), une minoration suffit ; si l'on attend \(-\infty\), une majoration suffit ; si l'on attend un nombre \(\ell\), il faut un encadrement des deux côtés, ou une majoration de \(|f(x)-\ell|\).
4. Calculer la limite des fonctions de comparaison, avec les règles habituelles, puis conclure en citant le théorème utilisé.
Énoncé. Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(f(x)=x+\sin x\), puis celle de \(g(x)=-x^2+3\cos x\).
Solution : Pour tout réel \(x\), \(\sin x\geq -1\), donc \(f(x)\geq x-1\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(x-1)=+\infty\). Par minoration, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=+\infty\).
Pour tout réel \(x\), \(\cos x\leq 1\), donc \(3\cos x\leq 3\) et \(g(x)\leq -x^2+3\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}(-x^2+3)=-\infty\). Par majoration, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}g(x)=-\infty\).
Dans les deux cas, une seule inégalité a suffi : celle qui « pousse » la fonction du bon côté.
Figure — La courbe de x + sin x reste au-dessus de la droite y = x − 1
En bleu marine, la courbe de la fonction f de l'exemple 1 ; en or, la droite d'équation y = x − 1. La courbe ondule mais ne passe jamais sous la droite. Comme la droite monte sans limite, la courbe monte sans limite elle aussi : c'est le théorème de minoration.
Énoncé. a) Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(f(x)=\dfrac{\sin x}{x}\). b) Déterminer la limite en 0 de \(g(x)=x\sin\dfrac1x\), définie pour \(x\neq 0\).
Solution : a) Pour tout réel \(x\), \(-1\leq\sin x\leq 1\). Pour \(x\gt 0\), on divise par \(x\), qui est positif : le sens est conservé et \(-\dfrac1x\leq f(x)\leq\dfrac1x\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\left(-\dfrac1x\right)=\displaystyle\lim_{x\to +\infty}\dfrac1x=0\). D'après le théorème d'encadrement, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=0\).
b) Pour tout \(x\neq 0\), \(\left|\sin\dfrac1x\right|\leq 1\), donc \(|g(x)|=|x|\times\left|\sin\dfrac1x\right|\leq |x|\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to 0}|x|=0\). D'après la forme pratique de l'encadrement, avec \(\ell=0\), on obtient \(\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)=0\).
Dans le b), la valeur absolue évite de distinguer les \(x\) positifs et les \(x\) négatifs.
Énoncé. Déterminer la limite en \(+\infty\) de \(f(x)=\dfrac{2x+\cos x}{x+1}\).
Solution : Pour tout réel \(x\), \(-1\leq\cos x\leq 1\), donc \(2x-1\leq 2x+\cos x\leq 2x+1\). Pour \(x\gt -1\), le dénominateur \(x+1\) est strictement positif ; on divise sans changer le sens :
\[\frac{2x-1}{x+1}\leq f(x)\leq\frac{2x+1}{x+1}.\]Les deux fonctions qui encadrent \(f\) sont des quotients de polynômes de même degré. On écrit \(\dfrac{2x-1}{x+1}=2-\dfrac{3}{x+1}\) et \(\dfrac{2x+1}{x+1}=2-\dfrac{1}{x+1}\) : comme \(\dfrac{1}{x+1}\) tend vers 0, elles tendent toutes les deux vers 2. D'après le théorème d'encadrement, \(\displaystyle\lim_{x\to +\infty}f(x)=2\).
Conclure avec un encadrement dont les bornes n'ont pas la même limite. De \(-1\leq\cos x\leq 1\), on ne peut rien tirer sur la limite de \(\cos x\) en \(+\infty\) : les bornes tendent vers \(-1\) et vers 1. D'ailleurs \(\cos x\) n'a pas de limite en \(+\infty\) : il reprend sans cesse les valeurs 1 et \(-1\).
Utiliser une minoration qui ne tend pas vers l'infini. Savoir que \(f(x)\geq 3-\dfrac1x\) ne donne pas la limite de \(f\) : la fonction \(f(x)=x\) vérifie cette inégalité pour \(x\geq 3\) et tend vers \(+\infty\), la fonction constante égale à 5 la vérifie aussi et tend vers 5. On sait seulement que la limite, si elle existe, est au moins 3.
Oublier de changer le sens en divisant par un négatif. En \(-\infty\), \(x\) est négatif : diviser \(-1\leq\sin x\leq 1\) par \(x\) donne \(\dfrac1x\leq\dfrac{\sin x}{x}\leq-\dfrac1x\).
Écrire la limite d'un terme qui n'en a pas. On n'écrit jamais « \(\lim\sin x\) » en \(+\infty\). C'est justement parce que cette limite n'existe pas que l'on compare.
Résumé
\(f(x)\geq g(x)\) et \(g\) tend vers \(+\infty\) : \(f\) tend vers \(+\infty\).
\(f(x)\leq g(x)\) et \(g\) tend vers \(-\infty\) : \(f\) tend vers \(-\infty\).
\(g(x)\leq f(x)\leq h(x)\), \(g\) et \(h\) de même limite \(\ell\) : \(f\) tend vers \(\ell\).
\(|f(x)-\ell|\leq g(x)\) et \(g\) tend vers 0 : \(f\) tend vers \(\ell\).
\(-1\leq\cos x\leq 1\) et \(-1\leq\sin x\leq 1\) ; attention au signe quand on multiplie ou divise.
Valeurs, tableau de variations, symétrie, image d'un intervalle.
\(\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=\ell\) fini \(\Rightarrow y=\ell\).
Limite infinie en \(a\) \(\Rightarrow x=a\) asymptote.
Combiner les limites de chaque fonction (admis).
Sujet type devoir
Question 1. Soit \(s(x)=\dfrac{x-3}{x+1}\). Écrire \(s(x)\) sous la forme \(1+\dfrac c{x+1}\), puis déterminer les limites de \(s\) en \(+\infty\) et \(-\infty\).
\(x-3=(x+1)-4\), donc \(s(x)=1-\dfrac4{x+1}\). Quand \(x\to\pm\infty\), \(s(x)\to1\) : la droite \(y=1\) est asymptote horizontale.
Question 2. Déterminer les limites de \(s\) en \((-1)^-\) et en \((-1)^+\), puis en déduire une asymptote.
Quand \(x\to(-1)^+\), \(x+1\to0^+\), donc \(\dfrac4{x+1}\to+\infty\) et \(s(x)\to-\infty\). Quand \(x\to(-1)^-\), \(s(x)\to+\infty\). La droite \(x=-1\) est asymptote verticale.
Question 3. Soit \(t(x)=-(x-1)^2+4\). Donner son tableau de variations et l'axe de symétrie de sa courbe.
Axe de symétrie \(x=1\), maximum \(t(1)=4\). \(t\) est croissante sur \(]-\infty;1]\), décroissante sur \([1;+\infty[\).