Première A · Leçon 1

Équations – inéquations – polynômes – systèmes linéaires

Ce que dit le programme officiel (13 points)

Polynômes du second degré. Équations et inéquations du second degré
Somme et produit des zéros d’un polynôme du second degré ; mise en équation
Utiliser les équations et inéquations du second degré dans la résolution des problèmes de la vie courante
Retrouver et utiliser la somme et le produit des zéros d’un polynôme du second degré
Factorisation d’un polynôme de degré n (n ≥ 3)
Zéro d’un polynôme
Théorème de factorisation
Reconnaître et utiliser le théorème de factorisation d’un polynôme
Limite : le théorème de factorisation est admis ; on se limite aux cas n = 3 et n = 4
Systèmes d’équations linéaires dans ℝ³ et ℝ⁴
Résoudre des systèmes d’équations linéaires à l’aide de la méthode du pivot de Gauss
Limite : la méthode du pivot de Gauss est présentée sans aucune théorie
Limite : l’utilisation des paramètres est hors programme

Source : Programme de mathématiques, classe de Première A, ministère des Enseignements secondaires (Niger)

Équation du second degré : discriminant et racines

Rappel de Seconde

Forme canonique

Pour \(P(x)=ax^2+bx+c\) (\(a\ne0\)) :

\[ P(x)=a(x-\alpha)^2+\beta, \qquad \alpha=-\dfrac{b}{2a},\quad \beta=P(\alpha). \]

Discriminant

Pour résoudre \(ax^2+bx+c=0\), on pose \(\Delta=b^2-4ac\).

\(\Delta>0\) : deux solutions \(x_{1,2}=\dfrac{-b\mp\sqrt\Delta}{2a}\). \(\Delta=0\) : une solution double \(x_0=-\dfrac{b}{2a}\). \(\Delta<0\) : aucune solution réelle.

Exemples gradués

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Signe du trinôme et inéquations du second degré

Rappel de Seconde

Signe du trinôme

Si \(\Delta>0\) (racines \(x_1<x_2\)) : \(P(x)\) est du signe de \(a\) à l'extérieur de \([x_1;x_2]\), du signe opposé entre les racines. Règle mnémotechnique : « signe de \(a\), sauf entre les racines ».

Méthode — Signe d'un produit, résolution d'une inéquation

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Exemple — Problème concret

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Figure interactive — Parabole \(y=ax^2+bx+c\)

\(a\) = 1 \(b\) = -1 \(c\) = -6

Somme et produit des racines d'un trinôme

Somme et produit des racines

Si \(ax^2+bx+c\) (\(a\neq0\)) admet deux racines \(x_1\), \(x_2\), alors \(S=x_1+x_2=-\dfrac ba\) et \(P=x_1x_2=\dfrac ca\).

Exemple. \(x^2-7x+12=0\) : \(S=7\), \(P=12\), donc les racines sont \(3\) et \(4\) (\(3+4=7\), \(3\times4=12\)).

Exemple — simplifier une fraction rationnelle

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Polynômes : degré, racine et factorisation par (x − a)

Vocabulaire

Un polynôme s'écrit sous forme réduite \(P(x)=a_nx^n+\cdots+a_1x+a_0\) avec \(a_n\ne0\) : \(n\) est le degré de \(P\). Le polynôme nul est celui dont tous les coefficients sont nuls ; on admet que si un polynôme est nul, tous ses coefficients le sont.

Rappel (vu en Seconde) — Racine et factorisation

Si \(P(a)=0\), alors \(P(x)=(x-a)Q(x)\) pour un polynôme \(Q\) de degré \(n-1\).

Somme et produit des racines d'un trinôme

Pour \(ax^2+bx+c=0\) (\(a\ne0\)) de racines \(x_1,x_2\) (éventuellement égales) :

\[ x_1+x_2 = -\dfrac{b}{a}, \qquad x_1 x_2 = \dfrac{c}{a}. \]

Utile pour retrouver rapidement des racines évidentes, ou pour construire un trinôme à partir de deux racines données.

Méthode — Division euclidienne de deux polynômes

Diviser \(P(x)=2x^3-3x^2+4x-1\) par \(D(x)=x-1\).

On dispose la division comme pour les entiers : \(2x^3\div x = 2x^2\), on multiplie et soustrait, on répète.

\[ \begin{aligned} 2x^3-3x^2+4x-1 &= (x-1)(2x^2) + (-x^2+4x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x) + (3x-1) \\ &= (x-1)(2x^2-x+3) + 2 \end{aligned} \]

Quotient \(2x^2-x+3\), reste \(2\) (constant, degré \(<1\)).

Exemples gradués — Factorisation

Racine évidente. \(P(x)=x^3-6x^2+11x-6\) : \(P(1)=1-6+11-6=0\). On divise par \((x-1)\) : \(P(x)=(x-1)(x^2-5x+6)=(x-1)(x-2)(x-3)\).

Fraction rationnelle. Simplifier \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}\). On factorise : numérateur \((x-2)(x+2)\), dénominateur \((x-2)(x+1)\) (car somme des racines \(1\), produit \(-2\) : racines \(2\) et \(-1\)). Pour \(x\ne2\) : \(\dfrac{x^2-4}{x^2-x-2}=\dfrac{x+2}{x+1}\).