Première A · Leçon 4
Dérivation
Ce que dit le programme officiel (13 points)
- Nombre dérivé d’une fonction en un point ; nombre dérivé à gauche, à droite, et dérivabilité
- Interprétation graphique de ces nombres dérivés vis-à-vis de la courbe représentative
- Équation de la tangente en un point de la courbe représentative
- Fonction dérivée
- Théorème concernant le signe de la dérivée et le sens de variation d’une fonction sur un intervalle (admis)
- Majorant, minorant, extremums d’une fonction
- Déterminer le nombre dérivé d’une fonction en un point, le nombre dérivé à droite, le nombre dérivé à gauche d’une fonction en un point
- Reconnaître une fonction dérivable en un point
- Déterminer l’équation de la tangente en un point de la courbe représentative d’une fonction
- Déterminer les fonctions dérivées des fonctions usuelles
- Déterminer la fonction dérivée d’une somme, d’un produit, d’un quotient
- Reconnaître et utiliser le théorème liant le signe de la dérivée et le sens de variation d’une fonction sur un intervalle
- Déterminer les éventuels extremums d’une fonction
Source : Programme de mathématiques, classe de Première A, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Nombre dérivé, tangente et approximation affine
Le coefficient directeur (ou pente) d'une droite mesure son inclinaison. En observant, sur des exemples, une droite qui joint deux points de plus en plus rapprochés d'une courbe (une sécante), on constate qu'elle se rapproche d'une position limite : la tangente à la courbe en ce point.
Le nombre dérivé de \(f\) en \(x_0\), noté \(f'(x_0)\), est défini comme le coefficient directeur de cette tangente. Si \(f\) admet un nombre dérivé en tout point d'un intervalle \(I\), on obtient la fonction dérivée \(f'\) sur \(I\).
Dérivabilité à gauche et à droite, points anguleux
La courbe de la fonction \(x\mapsto|x|\) est faite de deux demi-droites qui se rejoignent à l'origine en formant une pointe. En ce point, quelle serait la tangente ? En arrivant par la droite, on suit une demi-droite de coefficient directeur 1 ; en arrivant par la gauche, une demi-droite de coefficient directeur \(-1\). Pour décrire ce genre de situation, on regarde le taux d'accroissement d'un seul côté à la fois.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle contenant le réel \(a\). Pour \(h\neq 0\), le taux d'accroissement de \(f\) entre \(a\) et \(a+h\) est \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\).
- Si ce taux a une limite finie lorsque \(h\) tend vers 0 par valeurs positives, on dit que \(f\) est dérivable à droite en \(a\). Cette limite est le nombre dérivé à droite, noté \(f'_d(a)\).
- Si ce taux a une limite finie lorsque \(h\) tend vers 0 par valeurs négatives, on dit que \(f\) est dérivable à gauche en \(a\). Cette limite est le nombre dérivé à gauche, noté \(f'_g(a)\).
L'écriture \(h\to 0^{+}\) signifie que \(h\) tend vers 0 en restant positif, et \(h\to 0^{-}\) qu'il tend vers 0 en restant négatif.
Lorsque \(f\) n'est définie que d'un côté de \(a\) (par exemple en une borne de son ensemble de définition), seul le nombre dérivé de ce côté a un sens.
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant \(a\). La fonction \(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si elle est dérivable à gauche et à droite en \(a\) et \(f'_g(a)=f'_d(a)\). Le nombre dérivé \(f'(a)\) est alors cette valeur commune.
Conséquence. Pour prouver qu'une fonction n'est pas dérivable en \(a\), il suffit de constater l'une des situations suivantes : les deux nombres dérivés existent mais sont différents ; ou bien, d'un côté au moins, le taux d'accroissement n'a pas de limite finie.
Un cas où tout se passe bien. La fonction \(f(x)=x|x|\) contient une valeur absolue, et pourtant elle est dérivable en 0 : pour \(h\neq 0\), le taux d'accroissement vaut \(\dfrac{h|h|}{h}=|h|\), qui tend vers 0 des deux côtés. Donc \(f'(0)=0\). La présence d'une valeur absolue ne suffit pas pour conclure : il faut faire le calcul.
On note \(A\) le point de la courbe d'abscisse \(a\).
- Si \(f\) est dérivable à droite en \(a\), la courbe admet en \(A\) une demi-tangente à droite : la demi-droite d'origine \(A\), de coefficient directeur \(f'_d(a)\), tracée du côté des \(x\geq a\). Son équation est \(y=f'_d(a)(x-a)+f(a)\) avec \(x\geq a\).
- De même, si \(f\) est dérivable à gauche en \(a\), la courbe admet une demi-tangente à gauche, de coefficient directeur \(f'_g(a)\), tracée du côté des \(x\leq a\).
- Si \(f'_g(a)=f'_d(a)\), les deux demi-tangentes sont dans le prolongement l'une de l'autre : elles forment la tangente en \(A\).
- Si \(f'_g(a)\neq f'_d(a)\), les deux demi-tangentes forment un angle : \(A\) est un point anguleux de la courbe, qui présente une pointe.
- Si le taux d'accroissement tend vers \(+\infty\) ou vers \(-\infty\) d'un côté, la courbe admet de ce côté une demi-tangente verticale ; la fonction n'est pas dérivable en \(a\).
Figure — Un point anguleux et ses deux demi-tangentes
En bleu marine, la courbe de la fonction qui à x associe la valeur absolue de x² − 1 (exemple 3). Au point A(1 ; 0), la demi-tangente à droite (en or) a pour coefficient directeur 2 et la demi-tangente à gauche (en bleu) a pour coefficient directeur −2. Elles ne sont pas alignées : A est un point anguleux.
La question se pose surtout en un point où l'expression de \(f\) change : fonction définie par deux formules, ou contenant une valeur absolue.
1. Écrire \(f\) de chaque côté. On supprime la valeur absolue en étudiant le signe de ce qu'elle contient, ou l'on repère la formule valable à gauche de \(a\) et celle valable à droite. On calcule \(f(a)\).
2. Calculer le taux d'accroissement de chaque côté. Pour \(h\gt 0\), on utilise la formule de droite dans \(f(a+h)\) ; pour \(h\lt 0\), la formule de gauche. On simplifie par \(h\).
3. Chercher les deux limites lorsque \(h\) tend vers 0. On obtient \(f'_d(a)\) et \(f'_g(a)\), ou l'on constate qu'une limite est infinie.
4. Conclure et interpréter. Valeurs égales : \(f\) est dérivable en \(a\), la courbe a une tangente. Valeurs différentes : \(f\) n'est pas dérivable en \(a\), point anguleux, on donne les deux demi-tangentes. Limite infinie : \(f\) n'est pas dérivable, demi-tangente verticale.
Énoncé. Étudier la dérivabilité en 2 de la fonction \(f(x)=|x-2|\) et interpréter graphiquement.
Solution : \(f(2)=0\). Pour \(x\geq 2\), \(f(x)=x-2\) ; pour \(x\leq 2\), \(f(x)=-x+2\).
À droite, pour \(h\gt 0\) : \(\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{h}{h}=1\). Donc \(f'_d(2)=1\). À gauche, pour \(h\lt 0\) : \(\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}=\dfrac{-h}{h}=-1\). Donc \(f'_g(2)=-1\).
Les deux nombres dérivés existent mais \(1\neq -1\) : \(f\) n'est pas dérivable en 2. Le point \(A(2\,;0)\) est un point anguleux. Les demi-tangentes sont les demi-droites d'équations \(y=x-2\) (pour \(x\geq 2\)) et \(y=-x+2\) (pour \(x\leq 2\)) : ici, elles sont confondues avec la courbe elle-même.
Énoncé. La fonction \(f\) est définie par \(f(x)=x^2\) si \(x\leq 1\) et \(f(x)=2x-1\) si \(x\gt 1\). Est-elle dérivable en 1 ?
Solution : \(f(1)=1^2=1\).
À gauche, pour \(h\lt 0\) : \(f(1+h)=(1+h)^2=1+2h+h^2\), donc \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{2h+h^2}{h}=2+h\), qui tend vers 2. Donc \(f'_g(1)=2\).
À droite, pour \(h\gt 0\) : \(f(1+h)=2(1+h)-1=1+2h\), donc \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{2h}{h}=2\). Donc \(f'_d(1)=2\).
\(f'_g(1)=f'_d(1)=2\) : \(f\) est dérivable en 1 et \(f'(1)=2\). La courbe admet au point \(A(1\,;1)\) une tangente d'équation \(y=2(x-1)+1\), soit \(y=2x-1\). La parabole se prolonge par sa propre tangente : le raccord se fait sans pointe.
Figure — Un raccord sans pointe
La courbe de la fonction de l'exemple 2 : l'arc de parabole (en bleu marine) pour x inférieur ou égal à 1, puis la demi-droite (en or) pour x supérieur à 1. Au point A(1 ; 1), les deux morceaux ont la même direction, de coefficient directeur 2 : la fonction est dérivable en 1.
Énoncé. a) Étudier la dérivabilité en 1 de \(f(x)=|x^2-1|\). b) La fonction racine carrée est-elle dérivable à droite en 0 ?
Solution : a) \(f(1)=0\). Le trinôme \(x^2-1\) est positif pour \(x\geq 1\) et négatif pour \(-1\leq x\leq 1\). Donc \(f(x)=x^2-1\) à droite de 1 et \(f(x)=1-x^2\) juste à gauche de 1.
Pour \(h\gt 0\) : \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{(1+h)^2-1}{h}=2+h\), de limite 2 : \(f'_d(1)=2\). Pour \(h\lt 0\) proche de 0 : \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{1-(1+h)^2}{h}=-2-h\), de limite \(-2\) : \(f'_g(1)=-2\).
Comme \(2\neq -2\), \(f\) n'est pas dérivable en 1 et \(A(1\,;0)\) est un point anguleux. Demi-tangente à droite : \(y=2(x-1)\) pour \(x\geq 1\) ; demi-tangente à gauche : \(y=-2(x-1)\) pour \(x\leq 1\).
b) Pour \(h\gt 0\) : \(\dfrac{\sqrt{0+h}-\sqrt0}{h}=\dfrac{\sqrt h}{h}=\dfrac{1}{\sqrt h}\), qui tend vers \(+\infty\) quand \(h\) tend vers 0. La limite n'est pas finie : la fonction racine carrée n'est pas dérivable à droite en 0. Sa courbe admet à l'origine une demi-tangente verticale.
Dériver chaque formule et comparer sans vérifier le raccord. Soit \(f(x)=x^2\) si \(x\leq 1\) et \(f(x)=2x+3\) si \(x\gt 1\). Les dérivées des deux formules valent 2 en 1, et pourtant \(f\) n'est pas dérivable en 1 : à droite, \(\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac{2(1+h)+3-1}{h}=\dfrac{4+2h}{h}\), qui tend vers \(+\infty\). La courbe fait un saut en 1. C'est le taux d'accroissement, calculé avec la vraie valeur \(f(a)\), qui décide.
Croire qu'une courbe tracée sans lever le crayon a toujours une tangente. La courbe de \(x\mapsto|x-2|\) n'a aucun saut, mais elle n'a pas de tangente au point d'abscisse 2.
Se tromper de formule dans \(f(a+h)\). Pour \(h\gt 0\), le réel \(a+h\) est à droite de \(a\) : on prend la formule de droite. Pour \(h\lt 0\), celle de gauche. Dans les deux cas, \(f(a)\) se calcule avec la formule qui contient \(a\).
Dérivées usuelles et règles de calcul
| Fonction | Dérivée |
|---|---|
| \(ax+b\) | \(a\) |
| \(x^2\) | \(2x\) |
| \(x^3\) | \(3x^2\) |
| \(x^n\) (\(n\in\mathbb N^*\)) | \(nx^{n-1}\) |
| \(\dfrac1x\) | \(-\dfrac1{x^2}\) |
| \(\sqrt x\) | \(\dfrac1{2\sqrt x}\) |
\((\lambda f)'=\lambda f'\) ; \((f+g)'=f'+g'\) ; \((fg)'=f'g+fg'\) ; \(\left(\dfrac1f\right)'=-\dfrac{f'}{f^2}\) ; \(\left(\dfrac fg\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2}\).
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Voir les offresFigure interactive — Tangente en un point mobile de la courbe
Faites glisser le point \(P\) le long de la courbe : la tangente et la valeur de \(k'(a)\) se mettent à jour en temps réel.
Signe de la dérivée, variations et extremums
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) :
• si \(f\) admet un maximum ou un minimum en un point \(x_0\) distinct des
extrémités de \(I\), alors \(f'(x_0)=0\) ;
• si \(f'\) est nulle sur \(I\), alors \(f\) est constante sur \(I\) ;
• si \(f'\) est positive sur \(I\), alors \(f\) est croissante sur \(I\)
(énoncé analogue pour une fonction décroissante).
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Voir les offresMajorants, minorants, maximum et minimum d'une partie de ℝ
Rappel de SecondeSoit \(E\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\). Un réel \(M\) est un majorant de \(E\) si tout élément \(x\) de \(E\) vérifie \(x \le M\). Un réel \(m\) est un minorant de \(E\) si tout élément \(x\) de \(E\) vérifie \(x \ge m\).
Si un majorant de \(E\) appartient à \(E\), c'est le plus grand élément (ou maximum, noté \(\max E\)) de \(E\). De même pour le minorant appartenant à \(E\) : c'est le plus petit élément (minimum, \(\min E\)).
Au programme de Seconde, on ne cherche pas systématiquement tous les majorants ou minorants d'un ensemble : on sait vérifier qu'un réel donné en est un. La démarche : prendre un élément quelconque \(x\) de \(E\) et montrer l'inégalité voulue par le calcul.
Exemple. Soit \(E = \{x \in \mathbb{R}\ /\ 1 \le x \le 4\}\). Le réel \(10\) est-il un majorant de \(E\) ? Oui : tout \(x \in E\) vérifie \(x \le 4 \le 10\). Le réel \(3\) est-il un majorant de \(E\) ? Non : \(x = 3{,}5\) appartient à \(E\) et \(3{,}5 > 3\), donc \(3\) ne majore pas \(E\).
Ici, \(4\) est un majorant de \(E\) et \(4 \in E\) : c'est donc le maximum de \(E\), \(\max E = 4\). De même \(\min E = 1\).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Facile. \(E = \{2, 5, -1, 8\}\) : \(8\) est un majorant (et le maximum, car \(8 \in E\)) ; \(-1\) est un minorant (et le minimum).
Intermédiaire. \(E = \,]0\,;\,3[\) : \(3\) est un majorant de \(E\), mais \(3 \notin E\), donc \(E\) n'a pas de maximum. De même \(0\) est un minorant sans être le minimum.
Lien entre continuité et dérivabilité
La continuité et la dérivabilité sont deux notions proches, mais elles ne disent pas exactement la même chose. La continuité décrit l’absence de « saut » sur la courbe, tandis que la dérivabilité permet d’étudier la pente de la tangente et donc les variations de la fonction. Comprendre leur lien est essentiel : très souvent, dès qu’une fonction est dérivable, on sait immédiatement qu’elle est continue, mais l’inverse est faux.
Soit une fonction f définie sur un intervalle et soit a un réel de cet intervalle.
On dit que f est continue en a lorsque \[\lim_{x\to a} f(x)=f(a).\] Cela signifie que lorsque x se rapproche de a, les valeurs de f(x) se rapprochent de la valeur prise par la fonction au point a. Graphiquement, la courbe ne présente pas de rupture au voisinage de ce point.
On dit que f est dérivable en a lorsque le quotient \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] admet une limite finie quand x tend vers a. Cette limite, si elle existe, s’appelle le nombre dérivé de f en a et se note \[f'(a).\] On écrit donc \[f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\] Cette définition exprime que, près de a, la courbe de f admet une tangente de pente bien déterminée.
Si f est dérivable en tout point d’un intervalle ouvert I, alors on dit que f est dérivable sur I. Dans ce cas, la fonction qui à tout réel x de I associe f'(x) s’appelle la fonction dérivée de f, notée f'.
Théorème. Si une fonction f est dérivable en un point a, alors f est continue en a.
Autrement dit, l’existence du nombre dérivé en un point entraîne automatiquement la continuité en ce point. Cette propriété est très importante, car elle permet souvent de conclure rapidement sans refaire une étude complète de la continuité.
Justification. Supposons que f soit dérivable en a. Alors le quotient \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] a une limite finie quand x tend vers a. On peut écrire, pour \(x \neq a\), \[f(x)-f(a)=(x-a)\times \frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\] Quand x tend vers a, on a d’une part \[x-a\to 0,\] et d’autre part \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\to f'(a),\] qui est un réel fini. Le produit tend donc vers 0 : \[f(x)-f(a)\to 0.\] Ainsi, \[f(x)\to f(a),\] ce qui signifie exactement que f est continue en a.
Conséquence. Si une fonction est dérivable sur un intervalle ouvert, alors elle est continue sur cet intervalle.
Attention : la réciproque est fausse. Une fonction peut être continue en un point sans être dérivable en ce point. Il peut y avoir, par exemple, un point anguleux sur la courbe : la courbe se trace sans saut, mais la tangente n’a pas de pente unique à ce point.
Le lien entre continuité et dérivabilité peut se résumer par deux idées essentielles.
Première idée : la dérivabilité est une condition plus forte que la continuité. Être dérivable en un point donne plus d’informations qu’être seulement continue en ce point. En effet, la continuité dit seulement que la fonction n’a pas de rupture au voisinage du point, alors que la dérivabilité impose en plus l’existence d’une pente limite, donc d’une tangente bien définie.
Deuxième idée : si une fonction n’est pas continue en un point, alors elle ne peut pas être dérivable en ce point. C’est une conséquence directe du théorème précédent. En pratique, cela sert souvent de test rapide : dès que tu repères une discontinuité, tu peux affirmer que la fonction n’est pas dérivable au point considéré.
En revanche, si une fonction est continue, tu ne peux pas conclure qu’elle est dérivable. Il faut alors étudier le quotient \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}\] ou comparer les dérivées à gauche et à droite lorsque la fonction est définie par morceaux. Graphiquement, une courbe continue peut présenter un « coin », une pointe ou un changement brutal de direction : dans ce cas, la continuité est vraie, mais la dérivabilité échoue.
Pour étudier le lien entre continuité et dérivabilité d’une fonction en un point a, tu peux suivre les étapes suivantes :
- Vérifie d’abord que le point appartient bien au domaine de définition. On ne peut parler de continuité en a que si f(a) existe.
- Étudie la continuité. Calcule ou utilise les limites pour savoir si \[\lim_{x\to a} f(x)=f(a).\] Si cette égalité est fausse, alors la fonction n’est pas continue en a, donc elle n’est pas dérivable en a.
- Si la continuité est vraie, n’en déduis pas trop vite la dérivabilité. Il faut étudier le quotient \[\frac{f(x)-f(a)}{x-a}.\]
- Calcule la limite de ce quotient quand x tend vers a. Si cette limite existe et est finie, alors f est dérivable en a et cette limite vaut f'(a).
- Si la fonction est définie par morceaux, il est souvent utile d’étudier séparément les comportements à gauche et à droite de a. Si les deux limites du quotient sont différentes, alors la fonction n’est pas dérivable en a.
- Conclue clairement. Il faut distinguer les deux phrases : « continue en a » et « dérivable en a ». L’une n’est pas équivalente à l’autre.
Cette méthode évite une erreur fréquente : croire qu’une courbe sans saut admet forcément une tangente en chaque point.
Énoncé : Soit la fonction f définie sur ℝ par \[f(x)=x^2+3x.\] Montre que f est dérivable en 1, puis déduis-en qu’elle est continue en 1.
Solution : Calculons le nombre dérivé en 1 à partir de la définition.
On a \[f(1)=1^2+3\times 1=1+3=4.\] Pour \(x \neq 1\), \[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{x^2+3x-4}{x-1}.\] Factorisons le numérateur. On cherche deux nombres dont le produit vaut -4 et la somme 3 : ce sont 4 et -1. Ainsi, \[x^2+3x-4=(x-1)(x+4).\] Donc, pour \(x \neq 1\), \[\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\frac{(x-1)(x+4)}{x-1}=x+4.\] Quand x tend vers 1, on obtient \[x+4\to 1+4=5.\] Ainsi, \[f'(1)=5.\] La fonction est donc dérivable en 1.
D’après le théorème « dérivable implique continue », on en déduit immédiatement que f est continue en 1.
On peut même vérifier directement cette continuité : \[\lim_{x\to 1} f(x)=\lim_{x\to 1}(x^2+3x)=1^2+3\times 1=4=f(1).\] Les deux démarches conduisent à la même conclusion.
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Voir les offresL’erreur la plus fréquente consiste à écrire : « la fonction est continue en a, donc elle est dérivable en a ». Cette affirmation est fausse.
Le contre-exemple classique est la fonction \[x\mapsto |x|.\] Elle est continue en 0 car \[\lim_{x\to 0} |x|=0=|0|,\] mais elle n’est pas dérivable en 0 car le quotient \[\frac{|x|}{x}\] vaut 1 à droite et -1 à gauche. Il n’y a donc pas de pente unique de tangente en ce point.
Une autre erreur est d’oublier le sens logique correct : dérivable implique continue, mais continue n’implique pas dérivable. Le premier sens est toujours vrai. Le second est faux en général.
Enfin, si la fonction n’est pas continue en un point, tu peux conclure immédiatement qu’elle n’est pas dérivable en ce point. Inutile de chercher un nombre dérivé là où la continuité manque déjà.
Dans de nombreux exercices, tu n’as pas besoin de refaire toute l’étude de la continuité lorsque la fonction est déjà connue comme dérivable. Par exemple, si une fonction est obtenue sur un intervalle par somme, produit, quotient (avec dénominateur non nul) ou composition de fonctions usuelles dérivables, alors elle est dérivable sur cet intervalle, donc automatiquement continue sur cet intervalle.
Graphiquement, garde aussi ce réflexe : une courbe qui présente un point anguleux, une cassure ou deux demi-tangentes de pentes différentes est souvent continue mais non dérivable au point considéré. En revanche, une rupture de la courbe interdit à la fois la continuité et la dérivabilité.
Résumé
\(f'_d(a)\) et \(f'_g(a)\) sont les limites du taux \(\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) quand \(h\) tend vers 0 par valeurs positives, par valeurs négatives.
\(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\) existent et sont égaux.
\(f'_g(a)\neq f'_d(a)\) : deux demi-tangentes non alignées, la courbe a une pointe.
Taux d'accroissement de limite infinie d'un côté : pas de nombre dérivé, demi-tangente verticale.
En un point de raccord, on revient au taux d'accroissement, côté par côté.
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