Première A · Leçon 2
Généralités sur les fonctions numériques d’une variable réelle
Ce que dit le programme officiel (9 points)
- Comparaison de deux fonctions (f ≤ g)
- Opérations sur les fonctions : somme, différence, produit, quotient, composée de deux fonctions
- Fonctions associées à une fonction f : x ↦ |f(x)| ; x ↦ f(|x|) ; x ↦ f(x + a) ; x ↦ f(x) + a ; x ↦ – f(x) ; x ↦ f(– x)
- Image directe, image réciproque
- Notion d’application ; notion d’application injective, surjective, bijective
- Comparer deux fonctions (algébriquement et graphiquement)
- Décomposer une fonction numérique donnée en une somme, un produit, un quotient, une composée de deux fonctions
- Utiliser les transformations pour tracer les courbes des fonctions associées
- Utiliser les notions d’image directe et d’image réciproque pour donner la nature d’une application
Source : Programme de mathématiques, classe de Première A, ministère des Enseignements secondaires (Niger)
Opérations sur les fonctions, composée de fonctions monotones
Pour \(f\), \(g\) définies sur un même ensemble et \(\lambda\) réel, on note \(\lambda f\), \(f+g\), \(fg\), \(\dfrac1f\), \(\dfrac fg\). On compare deux fonctions par le calcul (\(f\leqslant g \iff f(x)\leqslant g(x)\) pour tout \(x\)) ou graphiquement, en comparant leurs courbes.
À partir de la courbe \((C)\) d'une fonction \(f\), on peut : lire des valeurs \(f(a)\) ; dresser le tableau de variations ; repérer un éventuel centre ou axe de symétrie ; déterminer l'image d'un intervalle ; résoudre graphiquement \(f(x)=\lambda\).
Soit \(r(x)=-(x+2)^2+9\), définie sur \(\mathbb R\). La courbe de \(r\) est symétrique par rapport à la droite \(x=-2\) (axe de symétrie), avec un maximum \(r(-2)=9\). Elle est croissante sur \(]-\infty;-2]\), décroissante sur \([-2;+\infty[\). Résolution graphique de \(r(x)=0\) : \((x+2)^2=9\Leftrightarrow x+2=\pm3\Leftrightarrow x=1\) ou \(x=-5\).
Figure — Courbe de \(r(x)=-(x+2)^2+9\)
Axe de symétrie \(x=-2\) (pointillé), maximum en \((-2;9)\), zéros en \(x=-5\) et \(x=1\).
Fonctions associées : changement d'origine, d'échelle, |f|
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Voir les offresFigure — Courbes de \(q(x)=x^2-5x+4\) et de \(|q(x)|\)
La portion dorée entre \(x=1\) et \(x=4\) est le repli vers le haut de la portion négative de \(q\) (en pointillés navy).
Fonction : image, antécédent, ensemble de définition, courbe
Rappel de SecondeRéservé aux abonnés Premium et Élève-Classe.
Voir les offresTracé graphique, tableau de données numériques, formule explicite, ou simples touches d'une calculatrice : ce sont quatre façons différentes de décrire la même fonction. Savoir passer de l'une à l'autre est la compétence centrale de ce chapitre.
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Voir les offresUne fonction est croissante sur un intervalle si, quand \(x\) augmente, \(f(x)\) augmente aussi (l'ordre est conservé) ; décroissante si \(f(x)\) diminue quand \(x\) augmente (l'ordre est inversé) ; constante si \(f(x)\) ne change pas. L'étude du sens de variation se fait toujours de façon directe, en comparant deux images — jamais via une notion de limite, hors programme à ce niveau.
Une fonction est paire si sa courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées (\(f(-x)=f(x)\)), impaire si elle est symétrique par rapport à l'origine (\(f(-x)=-f(x)\)).
Remarque propre au programme du Burkina Faso : vérifie ce point dans ton programme.
Applications : injection, surjection, bijection
Ces notions ne font pas l'objet d'un exposé détaillé en Première : elles sont étudiées de façon succincte, puis réinvesties toute l'année (fonctions numériques, transformations du plan).
Une application \(f:E\to F\) est injective si deux éléments distincts de \(E\) ont toujours des images distinctes (autrement dit, \(f(a)=f(b) \Rightarrow a=b\)). Elle est surjective si tout élément de \(F\) a au moins un antécédent. Elle est bijective si elle est à la fois injective et surjective : tout élément de \(F\) a alors exactement un antécédent.
Le nombre de solutions de l'équation \(f(x)=k\) (d'inconnue \(x\)) dépend directement de la nature de \(f\) : au plus une solution si \(f\) est injective, au moins une si \(f\) est surjective, exactement une si \(f\) est bijective. Graphiquement, cela se lit sur le nombre de points d'intersection de la courbe avec la droite horizontale \(y=k\).
Si \(f\) est bijective de \(E\) vers \(F\), sa réciproque \(f^{-1}\) est l'application de \(F\) vers \(E\) qui à chaque \(y\) associe l'unique \(x\) tel que \(f(x)=y\). Graphiquement, dans un repère orthonormé, la courbe de \(f^{-1}\) est le symétrique de celle de \(f\) par rapport à la droite \(y=x\).
La composée \(g\circ f\) de deux applications se calcule en appliquant d'abord \(f\), puis \(g\) au résultat : \((g\circ f)(x)=g(f(x))\).
Réciproque simple. \(f(x)=2x+3\) sur \(\mathbb R\) est bijective (droite non horizontale). Pour trouver \(f^{-1}\) : on pose \(y=2x+3\), on résout en \(x\) : \(x=\dfrac{y-3}{2}\). Donc \(f^{-1}(y)=\dfrac{y-3}{2}\).
Composée. \(f(x)=x+1\), \(g(x)=x^2\). Alors \((g\circ f)(x)=g(x+1)=(x+1)^2\), tandis que \((f\circ g)(x)=g(x)+1=x^2+1\) : les deux composées sont différentes en général.
Figure interactive — Une fonction et sa réciproque
La courbe de \(f^{-1}\) (orange) est le symétrique de celle de \(f\) (navy) par rapport à la droite \(y=x\) (pointillés).
Résumé
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