Première A · Leçon 3
Limites – continuité
Exercices corrigés
QCM — Comportement global et limites
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) Soit $f(x)=\dfrac{3x-1}{x-2}$. En écrivant $f(x)=3+\dfrac{c}{x-2}$, la valeur de $c$ est :
a) 5 b) $-5$ c) 3 d) $-1$
2) La limite de $f$ en $+\infty$ (avec $f(x)=3+\dfrac5{x-2}$) est :
a) 3 b) 5 c) $+\infty$ d) 0
3) La courbe de $f$ admet pour asymptote verticale :
a) $y=3$ b) $x=2$ c) $x=3$ d) $y=2$
4) Soit $r(x)=-(x-3)^2+7$. La courbe de $r$ admet :
a) un maximum en $(3;7)$ b) un minimum en $(3;7)$ c) un maximum en $(-3;7)$ d) un minimum en $(-3;-7)$
Voir le corrigé
- Réponse : a. $3x-1=3(x-2)+5$, donc $f(x)=3+\dfrac5{x-2}$ : $c=5$.
- Réponse : a. Quand $x\to+\infty$, $\dfrac5{x-2}\to0$, donc $f(x)\to3$.
- Réponse : b. Le dénominateur $x-2$ s'annule en $x=2$ : asymptote verticale $x=2$.
- Réponse : a. $r(x)=-(x-3)^2+7$ est de la forme $-(x-a)^2+k$ : maximum $r(3)=7$ en $x=3$.
Situation d’intégration — Séchage de mangues
Exercice 2 — Situation d'intégration
Une coopérative de transformation de mangues séchées envisage d'acheter une nouvelle machine de séchage. Le coût moyen de production, en FCFA par kilogramme, pour une production journalière de $x$ kg ($x>10$), est modélisé par $C(x)=\dfrac{500x-3\,000}{x-10}$.
Consigne : Écrire $C(x)$ sous la forme $500+\dfrac{c}{x-10}$, déterminer la limite de $C(x)$ quand $x\to+\infty$ et interpréter ce résultat, puis déterminer le comportement de $C(x)$ quand $x\to10^+$ et expliquer pourquoi la coopérative doit produire nettement plus de 10 kg par jour pour rester rentable.
Voir le corrigé
- Écriture sous forme utile. $500(x-10)=500x-5\,000$, donc $500x-3\,000=500(x-10)+2\,000$. On obtient $C(x)=500+\dfrac{2\,000}{x-10}$.
- Limite en $+\infty$. Quand $x\to+\infty$, $\dfrac{2\,000}{x-10}\to0$, donc $C(x)\to500$ : la droite $y=500$ est asymptote horizontale — $500$ FCFA/kg est le coût plancher que la coopérative ne pourra jamais descendre en dessous, même en produisant énormément.
- Comportement en $10^+$. Quand $x\to10^+$, $x-10\to0^+$, donc $\dfrac{2\,000}{x-10}\to+\infty$ et $C(x)\to+\infty$.
- Interprétation. Si la production journalière s'approche de 10 kg, le coût moyen explose (les coûts fixes de la machine se répartissent sur trop peu de kilogrammes) : la coopérative doit produire nettement plus que 10 kg/jour pour que le coût moyen se rapproche du plancher de $500$ FCFA/kg et rester rentable.
Problème — Étude complète des limites et asymptotes d'une fonction homographiqueApprofondissement — Limites et asymptotes d'une fonction homographique
Soit $f(x)=\dfrac{2x+7}{x+1}$, définie sur $\mathbb R\setminus\{-1\}$.
Partie A. 1) Écrire $f(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$. 2) Déterminer les limites de $f$ en $+\infty$, en $-\infty$, en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$. En déduire les équations de toutes les asymptotes de la courbe de $f$.
Partie B. 3) Calculer $f(x)-2$ et simplifier l'expression. En déduire une expression simplifiée de $g(x)=|f(x)-2|$ pour $x\neq-1$. 4) Résoudre l'inéquation $f(x)>2$.
Approfondissement — Limites et asymptotes d'une fonction homographique
Exercice 4 — Approfondissement
On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ par $f(x)=\dfrac{x^2+1}{x-1}$.
1) Déterminer $\displaystyle\lim_{x\to1^-}f(x)$ et $\displaystyle\lim_{x\to1^+}f(x)$. Qu'en déduit-on ?
2) Montrer que, pour tout $x\neq1$, $f(x)=x+1+\dfrac{2}{x-1}$.
3) En déduire $\displaystyle\lim_{x\to+\infty}[f(x)-(x+1)]$ et interpréter graphiquement.