Première A · Leçon 5
Exemples d’étude de fonctions numériques
Exercices corrigés
Problème — Asymptotes et étude graphique
Problème.
Partie A. Soit $m(x)=\dfrac{4x-5}{x+1}$.
1) Écrire $m(x)$ sous la forme $a+\dfrac{b}{x+1}$.
2) Déterminer les limites de $m$ en $+\infty$ et en $-\infty$, puis en déduire une asymptote.
3) Déterminer les limites de $m$ en $(-1)^-$ et en $(-1)^+$, puis en déduire une seconde asymptote.
Partie B. Soit $t(x)=-(x+3)^2+5$.
4) Donner le tableau de variations de $t$ et les coordonnées du sommet de sa courbe.
5) Résoudre l'équation $t(x)=0$.
Étudier la fonction qui à x associe la racine carrée de 2x + 4
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\sqrt{2x+4}\), et \(\mathcal C\) sa courbe dans un repère.
1) Détermine l'ensemble de définition de \(f\).
2) Calcule \(f(-2)\), \(f(0)\) et \(f(6)\). Donne trois points de \(\mathcal C\).
3) Soit \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(-2\le a\lt b\). Compare \(2a+4\) et \(2b+4\), puis \(f(a)\) et \(f(b)\). Quel est le sens de variation de \(f\) ?
4) Résous l'équation \(f(x)=3\), puis l'inéquation \(f(x)\ge 3\).
Voir le corrigé
1) Une racine carrée n'existe que pour un nombre positif ou nul : il faut \(2x+4\ge 0\), c'est-à-dire \(2x\ge -4\), soit \(x\ge -2\). L'ensemble de définition de \(f\) est \([-2\,;+\infty[\).
2) \(f(-2)=\sqrt{0}=0\), \(f(0)=\sqrt{4}=2\) et \(f(6)=\sqrt{16}=4\). La courbe \(\mathcal C\) passe par les points \((-2\,;0)\), \((0\,;2)\) et \((6\,;4)\). Le premier est son point de départ : la courbe n'existe pas à gauche de \(-2\).
3) De \(a\lt b\) on tire \(2a\lt 2b\) (on multiplie par 2, qui est positif), puis \(2a+4\lt 2b+4\). Ces deux nombres sont positifs ou nuls puisque \(a\ge -2\). Or la fonction racine carrée est strictement croissante sur \([0\,;+\infty[\) : elle range les images dans le même ordre, donc \(\sqrt{2a+4}\lt\sqrt{2b+4}\), c'est-à-dire \(f(a)\lt f(b)\). La fonction \(f\) est strictement croissante sur \([-2\,;+\infty[\).
4) Les deux membres de \(\sqrt{2x+4}=3\) sont positifs : l'équation équivaut à \(2x+4=9\), soit \(2x=5\), donc \(x=\dfrac52\), qui est bien dans l'ensemble de définition. Contrôle : \(f\left(\dfrac52\right)=\sqrt{9}=3\). Comme \(f\) est strictement croissante, \(f(x)\ge 3\) équivaut à \(x\ge\dfrac52\) : l'ensemble des solutions de l'inéquation est \(\left[\dfrac52\,;+\infty\right[\).
Réponse : Ensemble de définition : \([-2\,;+\infty[\) ; \(f(-2)=0\), \(f(0)=2\), \(f(6)=4\) ; \(f\) est strictement croissante sur \([-2\,;+\infty[\) ; \(f(x)=3\) pour \(x=\dfrac52\) et \(f(x)\ge 3\) pour \(x\ge\dfrac52\).
Étudier une fonction homographique
On considère la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\dfrac{2x+1}{x-1}\). On note \(\mathcal C\) sa courbe dans un repère.
1) Donne l'ensemble de définition de \(f\). Calcule les limites de \(f\) en \(-\infty\), en \(+\infty\), puis à gauche et à droite de 1. Quelles asymptotes en déduis-tu ?
2) Calcule \(f'(x)\) et dresse le tableau de variation de \(f\).
3) Détermine les points d'intersection de \(\mathcal C\) avec les axes du repère.
4) Démontre que le point \(I\) de coordonnées \((1\,;2)\) est centre de symétrie de \(\mathcal C\).
Voir le corrigé
1) Le dénominateur s'annule pour \(x=1\) : \(f\) est définie sur \(]-\infty\,;1[\,\cup\,]1\,;+\infty[\). En l'infini, on écrit \(f(x)=\dfrac{2+\frac1x}{1-\frac1x}\) : les limites en \(-\infty\) et en \(+\infty\) valent 2. La droite d'équation \(y=2\) est asymptote horizontale à \(\mathcal C\). En 1, le numérateur tend vers 3 et le dénominateur vers 0 : à droite de 1 le dénominateur est positif, la limite est \(+\infty\) ; à gauche il est négatif, la limite est \(-\infty\). La droite d'équation \(x=1\) est asymptote verticale.
2) Avec la dérivée d'un quotient : \(f'(x)=\dfrac{2(x-1)-(2x+1)\times 1}{(x-1)^2}=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\). Elle est strictement négative pour tout \(x\neq 1\). Donc \(f\) est strictement décroissante sur \(]-\infty\,;1[\), où elle descend de 2 vers \(-\infty\), et strictement décroissante sur \(]1\,;+\infty[\), où elle descend de \(+\infty\) vers 2. Attention : \(f\) n'est pas décroissante sur la réunion des deux intervalles.
3) Avec l'axe des ordonnées : \(f(0)=\dfrac{1}{-1}=-1\), point \((0\,;-1)\). Avec l'axe des abscisses : \(f(x)=0\) équivaut à \(2x+1=0\), soit \(x=-\dfrac12\), point \(\left(-\dfrac12\,;0\right)\).
4) Pour tout réel \(h\neq 0\), les réels \(1+h\) et \(1-h\) sont dans l'ensemble de définition. On calcule \(f(1+h)=\dfrac{3+2h}{h}=2+\dfrac3h\) et \(f(1-h)=\dfrac{3-2h}{-h}=2-\dfrac3h\). Donc \(f(1+h)+f(1-h)=4=2\times 2\) : le milieu des points de \(\mathcal C\) d'abscisses \(1+h\) et \(1-h\) est toujours \(I\). Le point \(I\), intersection des deux asymptotes, est centre de symétrie de \(\mathcal C\).
Réponse : Ensemble de définition : tous les réels sauf 1 ; asymptotes \(x=1\) et \(y=2\) ; \(f'(x)=\dfrac{-3}{(x-1)^2}\), \(f\) strictement décroissante sur chacun des deux intervalles ; la courbe coupe les axes en \((0\,;-1)\) et \(\left(-\dfrac12\,;0\right)\) ; \(I(1\,;2)\) est centre de symétrie.
Un quotient avec une asymptote oblique
On considère la fonction \(f\) définie pour \(x\neq 1\) par \(f(x)=\dfrac{x^2-3x+6}{x-1}\), et \(\mathcal C\) sa courbe.
1) Vérifie que, pour tout \(x\neq 1\), \(f(x)=x-2+\dfrac{4}{x-1}\).
2) Calcule les limites de \(f\) aux bornes de son ensemble de définition. Montre que la droite \(\Delta\) d'équation \(y=x-2\) est asymptote à \(\mathcal C\), et cite l'autre asymptote.
3) Calcule \(f'(x)\), étudie son signe et dresse le tableau de variation de \(f\).
4) Étudie la position de \(\mathcal C\) par rapport à \(\Delta\).