Dérivation

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) La dérivée de $f(x)=x^4$ est :
a) $4x^3$   b) $x^3$   c) $4x^4$   d) $3x^3$

2) Soit $g(x)=\dfrac1x$. $g'(2)$ vaut :
a) $-\dfrac14$   b) $\dfrac14$   c) $-2$   d) $2$

3) Soit $h(x)=\sqrt x$. $h'(9)$ vaut :
a) $\dfrac16$   b) $\dfrac13$   c) $3$   d) $\dfrac1{18}$

4) Sachant $f(2)=5$ et $f'(2)=-3$, l'équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d'abscisse 2 est :
a) $y=-3x+11$   b) $y=5x-3$   c) $y=-3x+5$   d) $y=2x-3$

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $f$ dérivable sur $\mathbb R$ avec $f'(x)=0$ pour tout $x$. On peut affirmer que $f$ est :
a) croissante   b) décroissante   c) constante   d) on ne peut rien dire

2) Soit $g$ dérivable sur $I$ avec $g'(x)>0$ pour tout $x$ de $I$. $g$ est alors :
a) constante sur $I$   b) croissante sur $I$   c) décroissante sur $I$   d) non dérivable

3) Soit $s(x)=x^2-6x+5$. La valeur de $x$ qui annule $s'(x)$ est :
a) 3   b) 5   c) 6   d) $-3$

4) Pour tracer la courbe de $|f|$ à partir de celle de $f$, là où $f(x)<0$, on :
a) supprime la portion de courbe   b) la laisse identique   c) la replie par symétrie par rapport à $(Ox)$   d) la translate vers le haut

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une petite entreprise fabrique des vélos. Son bénéfice journalier, en milliers de FCFA, pour $x$ vélos produits ($x\in[0;12]$), est modélisé par $B(x)=-\dfrac12x^2+6x-10$. Le directeur veut savoir, pour une production actuelle de $x=4$ vélos, si le bénéfice progresse encore ou commence déjà à ralentir, afin de décider s'il est pertinent d'augmenter légèrement la production.

Consigne : Calculer $B'(x)$, puis $B'(4)$, interpréter le signe du résultat pour conseiller le directeur, et donner l'équation de la tangente à la courbe de $B$ au point d'abscisse 4.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une entreprise produit du jus de mangue en bouteilles. Le coût total journalier, en milliers de FCFA, pour $x$ centaines de bouteilles produites ($x\in[0;10]$), est modélisé par $K(x)=x^2-8x+20$. Le gérant souhaite déterminer la production qui minimise ce coût, afin de fixer un objectif journalier réaliste.

Consigne : Étudier le signe de $K'(x)$, dresser le sens de variation de $K$, puis en déduire la production optimale (en nombre de bouteilles) et le coût minimal correspondant.

Exercice supplémentaire. Un artisan dispose de barres de fer dont la longueur $x$ (en mètres) vérifie $2\le x\le5$.

1) Donner un majorant et un minorant de cet ensemble de longueurs.
2) Deux barres de longueurs $x_1$ et $x_2$ vérifient les mêmes contraintes : encadrer $x_1+x_2$ puis $x_1-x_2$.
3) L'artisan affirme que $|x_1-x_2|$ ne dépasse jamais $3$ m. A-t-il raison ?

Problème.

Partie A. Soit $p(x)=x^3-3x$.
1) Calculer $p'(x)$.
2) Calculer $p'(0)$, $p'(1)$ et $p'(-1)$.
3) Donner l'équation de la tangente à la courbe de $p$ au point d'abscisse 0.

Partie B. Soit $q(x)=\dfrac{x+1}{x-3}$, définie pour $x\neq3$.
4) Calculer $q'(x)$ à l'aide de la règle du quotient.
5) Calculer $q'(1)$ et en déduire le sens de variation de $q$ sur $]-\infty;3[$.

Problème. Soit $f(x)=x^2-2x-3$.

Partie A.
1) Étudier le signe de $f'(x)$ et dresser le tableau de variations de $f$.
2) Résoudre l'équation $f(x)=0$.
3) En déduire le signe de $f(x)$ sur $\mathbb R$.

Partie B.
4) Décrire la courbe de $|f|$ à partir de celle de $f$ : sur quels intervalles coïncide-t-elle avec $f$, sur lequel est-elle repliée, et quelle est la valeur du maximum local obtenu par ce repli ?
5) On pose $g(x)=f(x+2)$. Donner l'expression développée de $g(x)$ et calculer $g(0)$.

Problème. On considère l'ensemble $F=\{x\in\mathbb R\ /\ -3\le x<5\}$.

Partie A. 1) Le réel $5$ est-il un majorant de $F$ ? Est-ce le maximum de $F$ ? Justifier. 2) Le réel $-3$ est-il un minorant de $F$ ? Est-ce le minimum de $F$ ? Justifier.

Partie B. 3) Sachant $|x-1|<4$, déterminer l'intervalle ouvert correspondant, et vérifier qu'il est inclus dans $F$.

Partie C. 4) Sachant toujours $|x-1|<4$, majorer $|2x-3|$ en écrivant $2x-3=2(x-1)-1$ et en utilisant l'inégalité triangulaire.