Dénombrement

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Dans un village, sur 60 habitants, 35 pratiquent l'agriculture (A), 20 pratiquent l'élevage (E), 10 pratiquent les deux. $\text{card}(A\cup E)$ vaut :
a) 55   b) 45   c) 65   d) 25

2) Soit $E$ un ensemble de cardinal 8 et $A$ une partie de $E$ avec $\text{card}(A)=5$. $\text{card}(\overline A)$ vaut :
a) 3   b) 5   c) 8   d) 13

3) Un menu comporte 3 entrées et 5 desserts. Le nombre de combinaisons possibles (une entrée, un dessert) est :
a) 8   b) 15   c) 35   d) 53

4) Un ensemble $E$ a 6 éléments. Le nombre de parties de $E$ est :
a) 6   b) 12   c) 36   d) 64

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Le nombre de façons de ranger 6 objets distincts en ligne est :
a) 36   b) 120   c) 720   d) 46656

2) $A_7^2$ vaut :
a) 42   b) 49   c) 21   d) 14

3) Un jury distingue, dans l'ordre, un 1^er, un 2^e et un 3^e prix parmi 9 candidats. Le nombre de podiums possibles est :
a) 504   b) 729   c) 84   d) 27

4) Le mot-clé qui signale un arrangement (et non une combinaison) est :
a) l'ordre ne compte pas   b) les rôles ou rangs sont distincts   c) répétition autorisée   d) aucun ordre

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) $\binom93$ vaut :
a) 84   b) 504   c) 27   d) 729

2) D'après la relation $\binom np=\binom n{n-p}$, $\binom{10}4$ est égal à :
a) $\binom{10}4$   b) $\binom{10}5$   c) $\binom{10}6$   d) $\binom{10}{10}$

3) En développant $(x+2)^3$ à l'aide du triangle de Pascal, le coefficient du terme en $x$ (c'est-à-dire de $x^1$) est :
a) 3   b) 6   c) 8   d) 12

4) $\binom52+\binom53$ vaut :
a) 15   b) 20   c) 25   d) 30

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative agricole regroupe 80 membres. Une enquête montre que 52 membres cultivent le maïs (\(M\)), 41 cultivent le coton (\(C\)), et 18 cultivent les deux. Le président de la coopérative souhaite savoir combien de membres cultivent au moins l'une des deux cultures, et surtout combien n'en cultivent aucune des deux — car un programme de sensibilisation à la diversification doit être lancé si plus de 15% des membres sont dans ce cas.

Consigne : Calculer $\text{card}(M\cup C)$, en déduire le nombre de membres qui ne cultivent ni maïs ni coton, calculer le pourcentage correspondant, et conclure si le président doit lancer le programme de sensibilisation.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une radio prépare la diffusion d'un compte à rebours musical pour un festival culturel : elle doit choisir, dans l'ordre exact de diffusion, 5 chansons parmi une playlist de 12 morceaux traditionnels déjà sélectionnés. Le producteur hésite entre programmer l'ordre manuellement ou investir dans un logiciel d'aide à la programmation — il estime qu'au-delà de 500 ordres possibles, la programmation manuelle est trop risquée pour trouver le meilleur enchaînement.

Consigne : Calculer le nombre d'ordres de diffusion possibles pour les 5 chansons choisies parmi les 12, puis conseiller le producteur : doit-il investir dans le logiciel ?

Exercice 2 — Situation d'intégration

Une coopérative de femmes, spécialisée dans la transformation du beurre de karité, compte 12 membres formées à la présentation de leurs produits. Pour une foire régionale, elle doit désigner une délégation de 3 membres (aucun rôle particulier n'est attribué : la délégation est un simple groupe).

Consigne : Calculer le nombre de délégations possibles, puis vérifier ce résultat à l'aide de la relation de Pascal $\binom np=\binom{n-1}{p-1}+\binom{n-1}p$.

Problème — Codes, digicode et parties d'un ensemble.

Partie A. Un cadenas de vélo utilise un code à $4$ chiffres choisis parmi $\{0,1,\dots,9\}$, les répétitions étant autorisées. 1) Combien de codes différents existe-t-il au total ? 2) Combien de ces codes ont leurs $4$ chiffres deux à deux distincts ?

Partie B. Le digicode d'un immeuble utilise un code de $3$ caractères, chacun choisi parmi les $10$ chiffres et les $26$ lettres de l'alphabet ($36$ symboles au total), répétitions autorisées. Combien de codes différents sont possibles ?

Partie C. Un technicien dispose d'un ensemble $E$ de $8$ clés USB numérotées. Il doit constituer un lot à prêter à un collègue (n'importe quel sous-ensemble de $E$, y compris ne rien prêter ou tout prêter). Combien de lots différents peut-il constituer ?

Problème — $8$ candidats passent un examen oral et sont reçus un par un dans une salle.

Partie A. De combien de façons peut-on établir l'ordre de passage des $8$ candidats ?

Partie B. Parmi ces $8$ candidats, $3$ sont désignés pour représenter leur promotion lors d'une cérémonie officielle, où ils occuperont $3$ sièges numérotés distincts sur l'estrade (siège 1, siège 2, siège 3). Combien de façons y a-t-il de choisir puis de placer ces $3$ candidats sur les $3$ sièges ?

Partie C. Les $5$ candidats restants doivent également être reçus en entretien individuel, dans un ordre précis établi par le jury. Combien d'ordres de passage différents sont possibles pour ces $5$ candidats ?

Problème.

Partie A. Un lycée compte 150 élèves de Terminale. Parmi eux, 90 pratiquent le football ($F$), 60 pratiquent le basketball ($B$), et 25 pratiquent les deux sports.

1) Déterminer $\text{card}(F\cup B)$.
2) En déduire combien d'élèves ne pratiquent ni le football ni le basketball.

Partie B. Le comité d'organisation du tournoi est formé de 4 élèves $E=\{A;B;C;D\}$.
3) Combien de parties (sous-comités, y compris l'ensemble vide et $E$ tout entier) l'ensemble $E$ possède-t-il au total ?
4) Combien de ces parties comptent strictement plus de 2 membres (c'est-à-dire 3 ou 4 membres) ?

Partie C. Pour un match d'exhibition, le comité souhaite former un binôme composé d'un élève pratiquant uniquement le football et d'un élève pratiquant uniquement le basketball.
5) Combien de binômes (football-seul, basketball-seul) sont possibles ?

Problème. Un comité de 10 élèves doit élire un bureau composé de trois rôles distincts : un président, un vice-président et un secrétaire.

Partie A.
1) Combien de bureaux différents (président, vice-président, secrétaire) sont possibles au total ?

Partie B. Parmi les 10 élèves, 4 sont en Terminale D et 6 sont en Terminale C. Le règlement impose que le président soit obligatoirement en Terminale D (les deux autres rôles restant ouverts à n'importe lequel des 9 élèves restants, tous niveaux confondus).
2) Combien de bureaux respectant cette contrainte sont possibles ?

Partie C.
3) Pour la photo de fin d'année, les 10 élèves du comité sont alignés côte à côte. Combien de dispositions différentes sont possibles ?

Problème.

Partie A.
1) Développer $(2x-1)^4$ à l'aide du triangle de Pascal (ligne $n=4$).

Partie B. Une coopérative de 15 membres, dont 6 femmes et 9 hommes, doit former un comité de gestion de 4 personnes.
2) Combien de comités de 4 personnes sont possibles au total (sans contrainte) ?
3) Combien de ces comités comptent exactement 2 femmes et 2 hommes ?

Pour ranger des dossiers, on leur attribue un code formé d'une lettre choisie parmi A, B, C, suivie d'un chiffre choisi parmi 1, 2, 3, 4. Exemple : B3.

1) Décris l'arbre de choix qui donne tous les codes, puis indique combien de codes on peut former.

2) Combien de codes commencent par la lettre A ? Combien se terminent par un chiffre pair ?

3) Les codes ne suffisent plus : on ajoute à la fin une seconde lettre, choisie parmi A, B, C mais différente de la première. Exemple : B3A. Combien de codes obtient-on ? Combien se terminent par la lettre A ?

On lance un dé bleu et un dé jaune dont les faces sont numérotées de 1 à 4, et l'on note le produit des deux numéros obtenus.

1) Dresse le tableau à double entrée des produits. Combien y a-t-il de résultats possibles (un résultat est un couple : numéro bleu, numéro jaune) ?

2) Combien de résultats donnent un produit égal à 4 ? un produit au moins égal à 8 ?

3) Combien de résultats donnent un produit pair ?

4) Combien de produits différents peut-on obtenir ? Lequel est obtenu le plus souvent ?

Une fourmi se déplace sur les lignes d'un quadrillage. Elle part du point \(A\) et, à chaque pas, elle avance d'un carreau vers la droite (D) ou d'un carreau vers le haut (H). Elle veut atteindre le point \(B\), situé 2 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de \(A\). Un trajet se note par la suite de ses pas, par exemple DHHD.

1) Construis l'arbre de choix des trajets de \(A\) à \(B\) et donne leur liste. Combien y en a-t-il ?

2) Explique pourquoi on ne peut pas trouver ce nombre par le calcul \(2\times 2\times 2\times 2\).

3) Combien de trajets passent par le centre \(O\) du carré, situé 1 carreau à droite et 1 carreau au-dessus de \(A\) ?

4) La fourmi veut maintenant atteindre le point \(C\), situé 3 carreaux à droite et 2 carreaux au-dessus de \(A\). Combien de trajets a-t-elle ? Tu peux classer les trajets selon leur dernier pas.