Terminale D

Sujet d'entraînement n° 10

Sujet d'entraînementDurée 4 hSur 20 points4 parties corrigées

Conseil : fais d'abord le sujet dans les conditions de l'examen (4 h, sans le corrigé), puis compare ta copie au corrigé.

Dans ce sujet

1Exercice 1 — Homographie complexe et transformations4 pts · 4 questions corrigées
À revoir : Nombres Complexes — Partie I, Nombres Complexes — Partie II
2Exercice 2 — Probabilités : dé + urnes4 pts · 4 questions corrigées
À revoir : Dénombrement et Probabilités
3Problème — Parties A & B12 pts · 2 questions corrigées
À revoir : Logarithme Népérien, Fonction Exponentielle, Calcul Intégral
4Problème — Parties C & D2 questions corrigées
À revoir : Courbes Paramétrées

Corrigé détaillé

La correction de la première question est en accès libre ; la suite est réservée aux abonnés.

Exercice 1 — Homographie complexe et transformations (4 pts)

$f(Z) = \dfrac{Z + 1 - 3i}{Z - 2 - i}$ $A = 2 + i$ $B = 1 - 3i$

1) Images de $O$ et de $B$ par $f$

$O' = f(0)$ :

$$Z' = \frac{1-3i}{-2-i} \cdot \frac{-2+i}{-2+i} = \frac{(1-3i)(-2+i)}{(-2)^2+1^2} = \frac{-2+i+6i-3i^2}{5} = \frac{-2+7i+3}{5} = \frac{1+7i}{5}$$

$Z_{O'} = \dfrac{1}{5} + \dfrac{7}{5}i$ soit $O'\!\left(\dfrac{1}{5}\,;\,\dfrac{7}{5}\right)$

$B' = f(B)$ : $Z_B = 1 - 3i$

$$Z' = \frac{(1-3i)+(1-3i)}{(1-3i)-(2+i)} = \frac{2-6i}{-1-4i} \cdot \frac{-1+4i}{-1+4i} = \frac{(2-6i)(-1+4i)}{1+16}$$

$$= \frac{-2+8i+6i-24i^2}{17} = \frac{-2+14i+24}{17} = \frac{22+14i}{17}$$

$Z_{B'} = \dfrac{22}{17} + \dfrac{14}{17}i$ soit $B'\!\left(\dfrac{22}{17}\,;\,\dfrac{14}{17}\right)$

2) $(Z'-1)(Z-2-i) = 3-2i$ — Produit $AM \cdot |Z'-1|$ et argument

3) Image du cercle $(C)$ de centre $A$ passant par $O$

4) Image de la demi-droite $(D)$ d’origine $A$ dans la direction $\overrightarrow{AB}$

Exercice 2 — Probabilités : dé + urnes (4 pts)

$U_1$ : 4 boules Noires + 2 Blanches | $U_2$ : 3 Blanches + 2 Noires | $S$ : obtenir 5 ou 6 au dé (choisir $U_2$), $P(S) = \dfrac{1}{3}$, $P(\bar{S}) = \dfrac{2}{3}$

Sujet d'entraînement n° 10

Dans ce sujet

Corrigé détaillé

Exercice 1 — Homographie complexe et transformations (4 pts)

1) Images de $O$ et de $B$ par $f$

2) $(Z'-1)(Z-2-i) = 3-2i$ — Produit $AM \cdot |Z'-1|$ et argument

3) Image du cercle $(C)$ de centre $A$ passant par $O$

4) Image de la demi-droite $(D)$ d’origine $A$ dans la direction $\overrightarrow{AB}$

Exercice 2 — Probabilités : dé + urnes (4 pts)

1 & 2) Probabilités conditionnelles et intersections

3) Probabilité totale $P(N)$

4) Probabilité de Bayes — $P(S|W)$

5) Exactement une boule noire en 3 tirages indépendants

Problème — Parties A & B (12 pts)

Partie A — $f(x) = \dfrac{1}{1+e^x}$ (fonction logistique)

Partie B — Primitive de $t\ln(1+t)$ par IPP

Problème — Parties C & D

Partie C — Bijection réciproque $h^{-1}$ de $h = f|_{[0,+\infty[}$

Partie D — Courbe paramétrique $(\Gamma)$

Dans ce sujet

Corrigé détaillé

Exercice 1 — Homographie complexe et transformations (4 pts)

1) Images de $O$ et de $B$ par $f$

2) $(Z'-1)(Z-2-i) = 3-2i$ — Produit $AM \cdot |Z'-1|$ et argument

3) Image du cercle $(C)$ de centre $A$ passant par $O$

4) Image de la demi-droite $(D)$ d’origine $A$ dans la direction $\overrightarrow{AB}$

Exercice 2 — Probabilités : dé + urnes (4 pts)

1 & 2) Probabilités conditionnelles et intersections

3) Probabilité totale $P(N)$

4) Probabilité de Bayes — $P(S|W)$

5) Exactement une boule noire en 3 tirages indépendants

Problème — Parties A & B (12 pts)

Partie A — $f(x) = \dfrac{1}{1+e^x}$ (fonction logistique)

Partie B — Primitive de $t\ln(1+t)$ par IPP

Problème — Parties C & D

Partie C — Bijection réciproque $h^{-1}$ de $h = f|_{[0,+\infty[}$

Partie D — Courbe paramétrique $(\Gamma)$

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