Sujet d'entraînement n° 5

Exercice 1 — Complexes : module, argument, valeurs exactes, ensembles  (4 pts)

On pose $A=1+i\sqrt{3}$, $B=\sqrt{2}(1-i)$, $C=A\cdot B^2$.

1–2) Module et argument de $A$, $B$

3) Module et argument de $C=A\cdot B^2$

Calcul de $A^{303}$

4) Forme algébrique de $C$

5) Valeurs exactes de $\cos\dfrac{7\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{7\pi}{12}$

6) Parallélogramme $EFGH$ — affixe de $H$

7) $Z'=\dfrac{z-z_E}{z-z_F}$ — Ensembles $(E_1)$ et $(E_2)$

Exercice 2 — Intégrales  (4 pts)

Partie A — $f(x)=\dfrac{x}{(1+x^2)^2}$, $I=\displaystyle\int_0^1 f(x)\,dx$

1–3) Primitive $F$ avec $F(0)=1$ et calcul de $I$

1–3) Calcul de $K=\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^x\sin x\,dx$ et $L=\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^x\cos x\,dx$

4) Calcul de $J=\displaystyle\int_0^{\pi/2}e^x\sin^2 x\,dx$

Problème — Parties A & B  (12 pts)

Partie A — Signe de $h(x)=x-1-\ln x$

Montrer que $h(x)\geq0$ sur $]0\,;\,+\infty[$

B1–4) Domaine, limites, dérivabilité, tangente en $x=1$

B5) Asymptote en $+\infty$

B6–8) Dérivée, variations et signe de $f$

Problème — Parties C & D

Partie C — Bijection réciproque $g^{-1}$ de $g=f|_{]0\,;\,1]}$

C1) Bijectivité de $g$ et ensemble image $J$

C2) Sens de variation de $g^{-1}$

C3) Courbe $(C^{-1})$

D1) Vérification de la primitive

D2) Aire entre $(C)$, $Ox$, $x=1$ et $x=e$

D3) $\displaystyle\lim_{\alpha\to0^+}\int_\alpha^1 f(x)\,dx$