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Terminale D

Sujet d'entraînement n° 3

Sujet d'entraînementDurée 4 hSur 20 points4 parties corrigées
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Conseil : fais d'abord le sujet dans les conditions de l'examen (4 h, sans le corrigé), puis compare ta copie au corrigé.

Dans ce sujet

  1. 1Exercice 1 — Cubique, parallélogramme et ensembles4 pts · 5 questions corrigées

    À revoir : Nombres Complexes — Partie I, Nombres Complexes — Partie II

  2. 2Exercice 2 — Valeurs exactes de $\cos\dfrac{5\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{12}$4 pts · 3 questions corrigées

    À revoir : Fonction Exponentielle, Nombres Complexes — Partie I, Nombres Complexes — Partie II

  3. 3Problème — Partie A12 pts · 4 questions corrigées

    À revoir : Les Fonctions Numériques

  4. 4Problème — Parties B & C2 questions corrigées

    À revoir : Courbes Paramétrées

Corrigé détaillé

La correction de la première question est en accès libre ; la suite est réservée aux abonnés.

Exercice 1 — Cubique, parallélogramme et ensembles 4 pts

1.a) Racine imaginaire pure $z_0 = bi$ de $P(z) = 0$

1
On pose $z_0 = bi$ ($b \in \mathbb{R}$). En substituant dans $P(z) = iz^3 + 4z^2 - 3iz - 10z + 6 - 3i$ (lecture du polynôme du source), on sépare parties réelle et imaginaire.
2
On trouve la valeur commune $b = 1$. Vérification directe : $P(i) = i \cdot i^3 + 4i^2 + (-3i) \cdot i + (-10) \cdot i + 6 - 3i = 0$ ✓.
$z_0 = i$ est l'unique racine imaginaire pure de $P(z) = 0$.

1.b) Résolution complète de l'équation $P(z) = 0$

2) Parallélogramme $ABCD$ — Affixes de $D$, $K$, $E$, $G$

3) Quotient et nature du triangle $ABC$

4) Application $Z' = \dfrac{Z - 3i}{Z-(1+2i)}$ — Ensembles $E_1$, $E_2$, $E_3$

Exercice 2 — Valeurs exactes de $\cos\dfrac{5\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{12}$ 4 pts

$Z_1 = \dfrac{\sqrt{2}-i\sqrt{6}}{2}$,   $Z_2 = \sqrt{2}+i\sqrt{2}$,   $A = \dfrac{Z_1}{Z_2}$,   $B = Z_1 \times Z_2$

1) Formes exponentielles de $Z_1$, $Z_2$, $A$, $B$

2) Forme algébrique de $A$

3) Valeurs exactes de $\cos\dfrac{5\pi}{12}$ et $\sin\dfrac{5\pi}{12}$

Problème — Partie A 12 pts

$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ si $x \leq 1$   et   $f(x) = \sqrt{x-1} - 2x + 3$ si $x > 1$

1–2) Domaine $D_f = \mathbb{R}$ et limites

3–4) Discontinuité et dérivabilité en $x = 1$

5) Branches infinies en $+\infty$

6–7) Tableau de variations et tangente en $A(0\,;\,2)$

Problème — Parties B & C

Partie B — Bijection réciproque $h^{-1}$ sur $\left[\dfrac{17}{16}\,;\,+\infty\right[$

Partie C — Courbe paramétrée : $x(t) = t^2+1$, $y(t) = -2t^2+t+1$

Mode hors-ligne — données en cache