Terminale D

Sujet d'entraînement n° 1

Sujet d'entraînementDurée 4 hSur 20 points4 parties corrigées

Conseil : fais d'abord le sujet dans les conditions de l'examen (4 h, sans le corrigé), puis compare ta copie au corrigé.

Dans ce sujet

1Exercice 1 — Nombres complexes4 pts · 6 questions corrigées
À revoir : Nombres Complexes — Partie I, Nombres Complexes — Partie II
2Exercice 2 — Suites numériques4 pts · 3 questions corrigées
À revoir : Les Suites Numériques
3Problème — Partie A12 pts · 6 questions corrigées
À revoir : Les Fonctions Numériques, Calcul Intégral
4Problème — Partie B6 questions corrigées
À revoir : Les Fonctions Numériques, Logarithme Népérien, Calcul Intégral

Corrigé détaillé

La correction de la première question est en accès libre ; la suite est réservée aux abonnés.

Exercice 1 — Nombres complexes 4 pts

1.a) Vérification que $z_0 = 2+i$ est racine de $P(z) = z^3 - 5z^2 + 9z - 5$

Calculons les puissances de $z_0 = 2+i$ :

$$z_0^2 = (2+i)^2 = 4 + 4i + i^2 = 3 + 4i$$

$$z_0^3 = z_0^2 \cdot z_0 = (3+4i)(2+i) = 6 + 3i + 8i + 4i^2 = 2 + 11i$$

On substitue dans $P(z_0)$ :

$$P(z_0) = (2+11i) - 5(3+4i) + 9(2+i) - 5 = (2-15+18-5) + (11-20+9)i = 0$$

$P(z_0) = 0$ ✓ — $z_0 = 2+i$ est bien racine de $P$.

Les coefficients de $P$ sont réels, donc $\bar{z}_0 = 2-i$ est aussi racine. Le polynôme $(z - (2+i))(z-(2-i)) = z^2 - 4z + 5$ divise $P(z)$.

Par division euclidienne : $P(z) = (z^2 - 4z + 5)(z - a)$. Identification du coefficient de $z^2$ : $-4 + (-a) = -5 \Rightarrow a = 1$. Vérification : $5 + 4 \cdot 1 = 9$ ✓ et $5 \times 1 = 5$ ✓.

$\mathcal{S} = \{2+i \;;\; 2-i \;;\; 1\}$

1.b) Résolution de $z^2 - 4z + 5 = 0$

2.a–b) Quotient $\dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A}$ et nature du triangle $ABC$

2.c–d) Cercle circonscrit $(\Gamma)$ — centre $\Omega$ et rayon $r$

3) Ensemble $(\mathcal{D})$ des points $M$ tels que $|z-3| = |z+1-2i|$

4) Image de $(\mathcal{D})$ par $Z = \dfrac{z-(2+i)}{z-(1-i)}$

Exercice 2 — Suites numériques 4 pts

1) Suite définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+u_n}$

2) Suite définie par $w_0 = 1$ et $w_{n+1} = \sqrt{3w_n + 4}$

3) Somme $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$

Problème — Partie A 12 pts

$f(x) = \dfrac{x^2-x+2}{(x+1)(x-2)}$ avec $D_f = \mathbb{R} \setminus \{-1\,;\,2\}$

1) Limites aux bornes de $D_f$ — Asymptotes

2) Décomposition en éléments simples

3) Dérivée $f'(x)$ et tableau de variations

4.a) Axe de symétrie $x = \dfrac{1}{2}$

4.b) Nombre de solutions de $f(x) = m$

4.c) Aire entre $(C_f)$, $y = 1$, $x = 3$ et $x = 5$ (unité 2 cm)

Problème — Partie B

$f(x) = x\ln(x+1) - x + 1$ si $x > -1$ et $f(x) = e^{x+1} - x$ si $x \leq -1$

Sujet d'entraînement n° 1

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Corrigé détaillé

Exercice 1 — Nombres complexes 4 pts

1.a) Vérification que $z_0 = 2+i$ est racine de $P(z) = z^3 - 5z^2 + 9z - 5$

1.b) Résolution de $z^2 - 4z + 5 = 0$

2.a–b) Quotient $\dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A}$ et nature du triangle $ABC$

2.c–d) Cercle circonscrit $(\Gamma)$ — centre $\Omega$ et rayon $r$

3) Ensemble $(\mathcal{D})$ des points $M$ tels que $|z-3| = |z+1-2i|$

4) Image de $(\mathcal{D})$ par $Z = \dfrac{z-(2+i)}{z-(1-i)}$

Exercice 2 — Suites numériques 4 pts

1) Suite définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+u_n}$

2) Suite définie par $w_0 = 1$ et $w_{n+1} = \sqrt{3w_n + 4}$

3) Somme $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$

Problème — Partie A 12 pts

1) Limites aux bornes de $D_f$ — Asymptotes

2) Décomposition en éléments simples

3) Dérivée $f'(x)$ et tableau de variations

4.a) Axe de symétrie $x = \dfrac{1}{2}$

4.b) Nombre de solutions de $f(x) = m$

4.c) Aire entre $(C_f)$, $y = 1$, $x = 3$ et $x = 5$ (unité 2 cm)

Problème — Partie B

1) Limites et interprétations graphiques

2) Continuité et dérivabilité en $x = -1$

3) Dérivée, signe et tableau de variations

4) $f(x) > 0$ partout — aucune racine réelle

6) Aire $\mathcal{A}(\lambda) = 2(\lambda^2-1)\ln(\lambda+1) - 3\lambda^2 + 6\lambda$ par IPP

7) Bijection réciproque $g^{-1}$ de la branche croissante

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Corrigé détaillé

Exercice 1 — Nombres complexes 4 pts

1.a) Vérification que $z_0 = 2+i$ est racine de $P(z) = z^3 - 5z^2 + 9z - 5$

1.b) Résolution de $z^2 - 4z + 5 = 0$

2.a–b) Quotient $\dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A}$ et nature du triangle $ABC$

2.c–d) Cercle circonscrit $(\Gamma)$ — centre $\Omega$ et rayon $r$

3) Ensemble $(\mathcal{D})$ des points $M$ tels que $|z-3| = |z+1-2i|$

4) Image de $(\mathcal{D})$ par $Z = \dfrac{z-(2+i)}{z-(1-i)}$

Exercice 2 — Suites numériques 4 pts

1) Suite définie par $u_0 = 3$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n}{1+u_n}$

2) Suite définie par $w_0 = 1$ et $w_{n+1} = \sqrt{3w_n + 4}$

3) Somme $S_n = \displaystyle\sum_{k=1}^{n} \dfrac{1}{k(k+1)}$

Problème — Partie A 12 pts

1) Limites aux bornes de $D_f$ — Asymptotes

2) Décomposition en éléments simples

3) Dérivée $f'(x)$ et tableau de variations

4.a) Axe de symétrie $x = \dfrac{1}{2}$

4.b) Nombre de solutions de $f(x) = m$

4.c) Aire entre $(C_f)$, $y = 1$, $x = 3$ et $x = 5$ (unité 2 cm)

Problème — Partie B

1) Limites et interprétations graphiques

2) Continuité et dérivabilité en $x = -1$

3) Dérivée, signe et tableau de variations

4) $f(x) > 0$ partout — aucune racine réelle

6) Aire $\mathcal{A}(\lambda) = 2(\lambda^2-1)\ln(\lambda+1) - 3\lambda^2 + 6\lambda$ par IPP

7) Bijection réciproque $g^{-1}$ de la branche croissante

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