Exercice 1 — Équation différentielle 4 pts
$(E) : 9y'' + 49y = 0$
1) Résolution de $(E)$
1
On réécrit : $9y''+49y=0 \Leftrightarrow y''+\dfrac{49}{9}y=0$
2
C’est une équation de la forme $y''+\omega^2 y=0$ avec $\omega^2=\dfrac{49}{9}$, soit $\omega=\dfrac{7}{3}$.
3
La solution générale est :
$$y = A\cos\!\left(\frac{7}{3}x\right) + B\sin\!\left(\frac{7}{3}x\right), \quad A,B\in\mathbb{R}$$
2) Solution particulière $f$ avec $f(0)=\sqrt{3}$, $f'(0)=7$
3) Montrer que $f(x) = 2\sqrt{3}\cos\!\left(\dfrac{7}{3}x-\dfrac{\pi}{6}\right)$
4) Résolution de $f(x)=\sqrt{6}$ dans $]0\,;\,2\pi[$
5) Valeur moyenne $\nu$ de $f$ sur $\left[\dfrac{3\pi}{14}\,;\,\dfrac{3\pi}{7}\right]$
Exercice 2 — Probabilités 4 pts
Urne : 3 jaunes (J), 2 rouges (R), 5 noires (N). Tirage simultané de 2 boules.
Règle de points : Jaune $+2$, Rouge $+1$, Noir $-3$.
1) Nombre de résultats possibles
2) Valeurs de $X$
3) Loi de probabilité de $X$
4) Espérance $E(X)$
5) Variance $V(X)$
Problème — Partie A
$(E): y'-3y=\dfrac{-3e}{(1+e^{-3x})^2}$ $f(x)=e^{-3x}\varphi(x)$, $f(0)=\dfrac{e}{2}$
1) Dérivabilité et expression de $f'(x)$
2) $\varphi$ solution de $(E)$ — expression de $f$
Problème — Partie B
$h(x)=\dfrac{e^{1-3x}}{1+e^{-3x}}$
1) Limites en $\pm\infty$ et asymptotes
2) Dérivée, signe et variations de $h$
3) Point particulier et tracé de $(C)$
4) Intégrale $I_\alpha = \displaystyle\int_0^\alpha h(x)\,dx$
Problème — Partie C
$U_n=\displaystyle\int_0^1 h(x)\,e^{x/n}\,dx$, $n\in\mathbb{N}^*$
Données : $e\approx2{,}7$ ; $e^3\approx20$.
1a) $U_n > 0$ pour tout $n\in\mathbb{N}^*$
1b) La suite $(U_n)$ est décroissante
1c) Convergence de $(U_n)$
2a) Encadrement $I_1\leq U_n\leq e^{1/n}\cdot I_1$
2b) Limite de $(U_n)$
