Terminale C · Leçon 11
Transformations et configurations
Exercices corrigés
Translation — écriture complexe
Exercice 1 — Translation
Soit $f$ la transformation du plan d'écriture complexe $z' = z + 3 - 2i$.
1. Reconnaître la nature précise de $f$.
2. Déterminer l'image du point $A$ d'affixe $1+i$.
3. Déterminer l'antécédent du point $B$ d'affixe $0$.
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- Nature de f
L'écriture est de la forme $z'=z+b$ avec $b=3-2i$ : $f$ est la translation de vecteur d'affixe $3-2i$. - Image de A
$$z_{A'} = (1+i)+3-2i = 4-i.$$ Donc $A'(4-i)$. - Antécédent de B
On résout $z'=0$ : $z+3-2i=0 \Rightarrow z = -3+2i$. L'antécédent est le point $C(-3+2i)$.
Rotation — centre et angle
Exercice 2 — Rotation
Soit $g$ la transformation d'écriture complexe $z' = iz+1$.
1. Montrer que $g$ est une rotation et donner son angle.
2. Déterminer le centre $\Omega$ de cette rotation.
3. Déterminer l'image du point $A$ d'affixe $1$.
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- Nature et angle
On a $a=i$ avec $|a|=1$ et $a\neq 1$ : $g$ est une rotation d'angle $\theta = \arg(i) = \dfrac{\pi}{2}$. - Centre (point fixe)
On résout $z=iz+1 \Leftrightarrow z(1-i)=1 \Leftrightarrow z=\dfrac{1}{1-i}=\dfrac{1+i}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{1+i}{2}$. Donc $\Omega\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}i\right)$. - Image de A
$$z_{A'} = i\times 1+1 = 1+i.$$
QCM — Réflexions
Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)
1) La réflexion $s$ d'axe $(Ox)$ a pour réciproque :
a) $s$ elle-même b) la réflexion d'axe $(Oy)$ c) l'identité d) une translation
2) $s$ d'axe $(Ox)$. L'image de $M(7;-3)$ est :
a) $(7;3)$ b) $(-7;-3)$ c) $(-7;3)$ d) $(3;7)$
3) Si $(D_1)\parallel(D_2)$, la composée $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ est :
a) une rotation b) une translation c) une homothétie d) une réflexion
4) Une réflexion transforme l'angle orienté $(\vec u,\vec v)$ en :
a) $(\vec u,\vec v)$ b) $-(\vec u,\vec v)$ c) $2(\vec u,\vec v)$ d) $\dfrac{(\vec u,\vec v)}2$
Homothétie — vérification du rapport
Exercice 3 — Homothétie
Soit $h$ la transformation d'écriture complexe $z' = 2z-2+2i$.
1. Reconnaître la nature de $h$.
2. Déterminer son centre $\Omega$.
3. Déterminer l'image $A'$ du point $A$ d'affixe $3$, puis vérifier que $\Omega A' = 2\,\Omega A$.
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- Nature de h
$a=2$ est un réel strictement positif différent de $1$ : $h$ est l'homothétie de rapport $k=2$. - Centre
On résout $z=2z-2+2i \Leftrightarrow -z=-2+2i \Leftrightarrow z=2-2i$. Donc $\Omega(2-2i)$. - Image et vérification
$z_{A'} = 2\times3-2+2i = 4+2i$. On calcule $\Omega A = |z_A-z_\Omega| = |3-(2-2i)| = |1+2i| = \sqrt{5}$ et $\Omega A' = |z_{A'}-z_\Omega| = |4+2i-(2-2i)| = |2+4i| = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}$. On a bien $\Omega A' = 2\sqrt{5} = 2\times\sqrt{5} = 2\,\Omega A$, conforme à la propriété de l'homothétie de rapport $2$.
Situation d'intégration — Façade symétrique d'un bâtiment administratif
Exercice 2 — Situation d'intégration
Un architecte conçoit la façade symétrique d'un bâtiment administratif. L'axe de symétrie de la façade correspond à la droite $(D)$ : $x=6$ (mètres, repère orthonormé lié au plan). Une fenêtre $F$ est positionnée en $(2;3)$.
Consigne : Déterminer les coordonnées de la fenêtre $F'$ à placer pour respecter la symétrie de la façade par rapport à $(D)$, puis vérifier que la distance de $F$ à $(D)$ est bien égale à la distance de $F'$ à $(D)$.
Similitude directe — caractérisation complète
Exercice 4 — Caractériser une similitude directe
Soit $s$ la transformation d'écriture complexe $z' = (1-i)z+4$.
1. Donner le rapport $k$ et l'angle $\theta$ de $s$.
2. Déterminer le centre $\Omega$ de $s$.
3. Vérifier que $\Omega$ est bien invariant par $s$.
4. Déterminer l'image du point $A$ d'affixe $2i$.
Similitude déterminée par un bipoint
Exercice 5 — Détermination par l'image d'un bipoint
On considère les points $A(1)$, $B(3)$, $A'(2)$ et $B'(2+4i)$. Il existe une unique similitude directe $s$, d'écriture complexe $z'=az+b$, telle que $s(A)=A'$ et $s(B)=B'$.
1. Calculer $a$ puis $b$.
2. En déduire le rapport $k$ et l'angle $\theta$ de $s$.
3. Vérifier que $s(A)=A'$ et $s(B)=B'$.
4. Déterminer le centre de $s$.
Image d'un cercle par une similitude directe
Exercice 6 — Image d'un cercle
Soit $\mathcal{C}$ le cercle de centre $A$ d'affixe $2i$ et de rayon $r=3$. Soit $s$ la similitude directe d'écriture complexe $z'=(1+i)z-1$.
1. Rappeler la propriété donnant l'image d'un cercle par une similitude directe.
2. Calculer le rapport $k$ de $s$ et l'image du centre $A$.
3. En déduire le cercle image de $\mathcal{C}$ par $s$.
Problème — Motif en fer forgé d'un artisan
Problème — Un artisan orne une grille en fer forgé à l'aide des deux réflexions $(D_1)=(Ox)$ et $(D_2)$ : $y=x$.
Partie A. Donner l'expression analytique de $s_{D_1}$ et de $s_{D_2}$.
Partie B. Soit $M(4;1)$. 1) Calculer $s_{D_1}(M)$. 2) Calculer $s_{D_2}(s_{D_1}(M))$. 3) Quelle est la nature de $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ ? Vérifier que le résultat du 2) est cohérent avec cette nature.
Partie C. Le fabricant veut orner un second point $N(0;3)$ avec la même transformation composée. Calculer l'image de $N$ par $s_{D_2}\circ s_{D_1}$.
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- $s_{D_1}(x;y)=(x;-y)$. $s_{D_2}(x;y)=(y;x)$.
- $s_{D_1}(4;1)=(4;-1)$.
- $s_{D_2}(4;-1)=(-1;4)$.
- $(D_1)$ et $(D_2)$ se coupent en $O$ avec un angle de $45°$ de $(D_1)$ vers $(D_2)$ : $s_{D_2}\circ s_{D_1}$ est la rotation de centre $O$ et d'angle $2\times45°=90°$. Formule de rotation $90°$ : $(x;y)\mapsto(-y;x)$, appliquée à $(4;1)$ donne $(-1;4)$ — cohérent avec le résultat du 2).
- $s_{D_1}(0;3)=(0;-3)$, puis $s_{D_2}(0;-3)=(-3;0)$. Vérification par la rotation directe : $(x;y)\mapsto(-y;x)$ sur $(0;3)$ donne $(-3;0)$ — cohérent.
Similitude directe définie par deux points et leurs images : éléments caractéristiques et configuration
Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine \(O\). On considère les points \(A\), \(B\), \(A'\) et \(B'\) d'affixes \(z_A=1+i\), \(z_B=3\), \(z_{A'}=3+2i\) et \(z_{B'}=4-i\).
1) Justifie qu'il existe une unique similitude directe \(s\) telle que \(s(A)=A'\) et \(s(B)=B'\), puis démontre que son écriture complexe est \(z'=(1-i)z+1+2i\).
2) Détermine le rapport et l'angle de \(s\), puis l'affixe \(\omega\) de son centre \(\Omega\).
3) Soit \(M\) un point distinct de \(\Omega\), d'affixe \(z\), et \(M'\) son image par \(s\), d'affixe \(z'\). Démontre que \(z'-z=i(\omega-z)\), puis déduis-en la nature du triangle \(\Omega MM'\).
4) On note \(I\) le milieu du segment \([AB]\). Sans calcul, que peux-tu dire du point \(I'=s(I)\) ? Vérifie ta réponse en calculant l'affixe de \(I'\) avec l'écriture complexe de \(s\).
5) On pose \(z=x+iy\), avec \(x\) et \(y\) réels. Exprime la partie réelle et la partie imaginaire de \(z'\) en fonction de \(x\) et de \(y\), puis détermine l'ensemble \((E)\) des points \(M\) dont l'image \(M'\) est sur l'axe des réels. Explique pourquoi la direction de \((E)\) est cohérente avec l'angle de \(s\).
Composées de réflexions et composée de deux déplacements
Le plan est muni d'un repère orthonormé direct d'origine \(O\). On considère les droites \((D_1)\) d'équation \(x=1\), \((D_2)\) d'équation \(x=4\) et \((\Delta)\) d'équation \(y=x\). On note \(s_1\), \(s_2\) et \(\sigma\) les réflexions d'axes respectifs \((D_1)\), \((D_2)\) et \((\Delta)\). Dans tout l'exercice, \(M\) est un point de coordonnées \((x\,;y)\) et d'affixe \(z=x+iy\).
1) Justifie que \(s_1(M)\) a pour coordonnées \((2-x\,;y)\) et que \(\sigma(M)\) a pour coordonnées \((y\,;x)\). Donne sans justification les coordonnées de \(s_2(M)\).
2) On note \(t\) la composée obtenue en appliquant \(s_1\), puis \(s_2\). Calcule les coordonnées de \(t(M)\). Quelle est la nature de \(t\) ? Quel résultat du cours retrouves-tu ?
3) On note \(r\) la composée obtenue en appliquant \(s_1\), puis \(\sigma\). Calcule les coordonnées de \(r(M)\), puis démontre que l'écriture complexe de \(r\) est \(z'=-iz+2i\). Déduis-en la nature et les éléments caractéristiques de \(r\). Quel lien observes-tu avec les droites \((D_1)\) et \((\Delta)\) ?
4) On note \(g\) la composée obtenue en appliquant \(t\), puis \(r\). Détermine l'écriture complexe de \(g\), puis sa nature et ses éléments caractéristiques.
5) Justifie, sans calcul, que l'image de la droite \((D_1)\) par \(g\) est une droite perpendiculaire à \((D_1)\). Détermine ensuite une équation de cette droite image.
Agrandir et faire tourner une carte sur une tablette
Une élève consulte la carte de son quartier sur une tablette. L'écran est muni d'un repère orthonormé direct dont l'unité est le centimètre, et chaque point de l'écran est repéré par son affixe. Au départ, le puits du quartier est affiché au point \(P\) d'affixe 0 et l'école au point \(E\) d'affixe 2 ; sur cette première carte, 1 centimètre représente 100 mètres sur le terrain. D'un geste des doigts, l'élève agrandit la carte et la fait tourner : le puits est alors affiché au point \(P'\) d'affixe \(-i\sqrt{3}\) et l'école au point \(E'\) d'affixe \(2+i\sqrt{3}\). On admet que ce geste transforme chaque point \(M\) de la première carte en un point \(M'\) de la nouvelle carte par une similitude directe \(s\).
1) Démontre que l'écriture complexe de \(s\) est \(z'=(1+i\sqrt{3})z-i\sqrt{3}\).
2) Calcule le module et un argument de \(1+i\sqrt{3}\). Déduis-en le rapport et l'angle de \(s\), et interprète ces deux nombres pour la carte.
3) Détermine l'affixe du centre \(\Omega\) de \(s\). Vérifie que \(\Omega\) est le milieu du segment \([PE]\) et dis ce que ce point représente pour le geste de l'élève.
4) Le marché est affiché, sur la première carte, au point \(F\) d'affixe \(1+2i\). Calcule l'affixe de son image \(F'\). Vérifie que \(\Omega F'=2\,\Omega F\) et démontre que le triangle \(\Omega FF'\) est rectangle en \(F\).
5) Calcule l'aire, en centimètres carrés, du triangle \(PEF\) sur la première carte, puis donne sans nouveau calcul de coordonnées l'aire du triangle \(P'E'F'\). Quelle distance réelle 1 centimètre représente-t-il sur la nouvelle carte ? Vérifie que les deux cartes donnent la même aire réelle, en hectares, pour le terrain triangulaire délimité par le puits, l'école et le marché.
Réflexion, rotation, demi-tour et homothétie dans un cube
L'espace est muni d'un repère orthonormé \((A\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\). On considère le cube \(ABCDEFGH\) d'arête 2 dont les sommets ont pour coordonnées \(A(0;0;0)\), \(B(2;0;0)\), \(C(2;2;0)\), \(D(0;2;0)\), \(E(0;0;2)\), \(F(2;0;2)\), \(G(2;2;2)\) et \(H(0;2;2)\). On note \(O(1;1;1)\) le centre du cube, \((P)\) le plan d'équation \(x=y\) et \((\Delta)\) la droite passant par \(O\) et de vecteur directeur \(\vec{k}\). Dans tout l'exercice, \(M\) est un point de coordonnées \((x;y;z)\).
1) Vérifie que le plan \((P)\) contient les points \(A\), \(C\), \(G\) et \(E\). On note \(s\) la réflexion par rapport à \((P)\) et on pose \(M'(y;x;z)\). Démontre que le milieu de \([MM']\) appartient à \((P)\) et que le vecteur \(\overrightarrow{MM'}\) est colinéaire au vecteur \(\vec{n}(1;-1;0)\), normal à \((P)\). Conclus, puis donne les images de \(B\) et de \(F\) par \(s\).
2) On note \(r\) la rotation d'axe \((\Delta)\), orienté par \(\vec{k}\), et d'angle \(\dfrac{\pi}{2}\). On admet que \(r\) transforme \(M\) en le point \(M_1(2-y;x;z)\). On note \(I(1;1;z)\) le point de \((\Delta)\) qui a la même cote que \(M\). Vérifie que \(IM=IM_1\), que les vecteurs \(\overrightarrow{IM}\) et \(\overrightarrow{IM_1}\) sont orthogonaux et que tout point de \((\Delta)\) est invariant par \(r\). Donne les images de \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) par \(r\).
3) Calcule les coordonnées du point \(M_2=r(M_1)\). Démontre que la transformation qui à \(M\) associe \(M_2\) est le demi-tour d'axe \((\Delta)\), puis donne les images de \(A\) et de \(F\) par ce demi-tour.
4) On note \(h\) l'homothétie de centre \(A\) et de rapport \(\dfrac{1}{2}\). Donne les coordonnées de \(h(M)\) et l'image de \(G\). Quelle est l'image du cube par \(h\), et quel est son volume ?
5) Démontre que le triangle \(BDE\) est équilatéral et calcule son aire. Détermine son image par \(s\), puis par \(r\). Justifie, sans calculer de distance, que le triangle \(ACF\) est équilatéral et de même aire que \(BDE\).