Terminale C · Leçon 15
Matrices
Matrices : vocabulaire et opérations
Les matrices figurent au programme officiel de Terminale C, mais elles sont non exigibles à l'épreuve du Baccalauréat. Ce chapitre est donc un approfondissement : il consolide la maîtrise du calcul algébrique et prépare sérieusement aux études supérieures — classes préparatoires, licences scientifiques, économie mathématique — sans être évalué au Bac.
L'idée centrale est simple : une matrice est un tableau de nombres sur lequel on définit des opérations. Ce qui est remarquable — et parfois déroutant — c'est que ces opérations ressemblent à l'algèbre habituelle, mais pas tout à fait : le produit matriciel, notamment, n'est pas commutatif.
En algèbre, il arrive fréquemment qu'on veuille manipuler plusieurs nombres en même temps : les coefficients d'un système d'équations, les coordonnées d'une transformation géométrique, les données d'un tableau statistique. L'outil matriciel répond exactement à ce besoin.
Une matrice de dimension \(m \times n\) est un tableau rectangulaire de \(m\) lignes et \(n\) colonnes de réels, noté \(A = (a_{ij})\) où \(a_{ij}\) désigne le coefficient situé à la ligne \(i\) et à la colonne \(j\).
\[ A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{R}). \]La matrice est dite carrée d'ordre \(n\) lorsque \(m = n\) : autant de lignes que de colonnes. Les coefficients \(a_{11}, a_{22}, \ldots, a_{nn}\) forment la diagonale principale.
Deux cas particuliers sont à connaître par cœur. La matrice nulle \(O\) a tous ses coefficients nuls ; elle joue le rôle du \(0\) pour l'addition. La matrice identité \(I_n\) a des \(1\) sur la diagonale et des \(0\) partout ailleurs.
\[ O_2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad I_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. \]Une matrice de dimension \(n \times 1\) est appelée matrice colonne (ou vecteur colonne). C'est la forme standard pour représenter les inconnues d'un système linéaire.
\[ X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_{2,1}(\mathbb{R}). \]Exemple 1 (basique). Soit \(A = \begin{pmatrix} 3 & -1 & 0 \\ 2 & 5 & -4 \end{pmatrix}\). \(A\) est de dimension \(2 \times 3\) (2 lignes, 3 colonnes). On lit : \(a_{12} = -1\), \(a_{23} = -4\), \(a_{21} = 2\).
Exemple 2 (carrée). \(B = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ -3 & 2 \end{pmatrix}\) est carrée d'ordre 2. Sa diagonale principale est \((4, 2)\). On note \(b_{12} = 7\), \(b_{21} = -3\).
Exemple 3 (colonne). \(C = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \end{pmatrix}\) est une matrice colonne de dimension \(3 \times 1\). Elle représente, par exemple, les coordonnées d'un vecteur dans \(\mathbb{R}^3\).
L'indice \(a_{ij}\) se lit « ligne \(i\), colonne \(j\) » — pensez à « Ligne avant Colonne », comme les coordonnées \((y, x)\) d'une grille de tableau. On fait attention : \(a_{12}\) est à la première ligne, deuxième colonne, pas l'inverse.
On peut doter l'ensemble des matrices de plusieurs lois de calcul. Certaines sont très proches de ce qu'on connaît avec les réels ; d'autres réservent des surprises.
La somme de deux matrices de même dimension se calcule terme à terme. Le produit par un réel \(\lambda\) multiplie chaque coefficient.
\[ A + B = \begin{pmatrix} a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} \\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} \end{pmatrix}, \qquad \lambda A = \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} \end{pmatrix}. \]Ces deux opérations sont commutatives et vérifient les mêmes propriétés que pour les réels (associativité, distributivité). La matrice nulle \(O\) est le neutre de l'addition.
Avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} -1 & 2 \\ 3 & 1 \end{pmatrix}\) :
\[ 3A - 2B = \begin{pmatrix} 3 & 12 \\ 0 & -6 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -2 & 4 \\ 6 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 & 8 \\ -6 & -8 \end{pmatrix}. \]Le produit \(AB\) est défini si le nombre de colonnes de \(A\) est égal au nombre de lignes de \(B\). Pour des matrices carrées d'ordre 2 :
\[ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} aa' + bc' & ab' + bd' \\ ca' + dc' & cb' + dd' \end{pmatrix}. \]La règle à mémoriser : le coefficient à la ligne \(i\), colonne \(j\) du produit est le produit scalaire de la ligne \(i\) de \(A\) par la colonne \(j\) de \(B\). On multiplie terme à terme puis on additionne.
La matrice identité \(I_2\) est neutre pour ce produit : \(A I_2 = I_2 A = A\) pour toute matrice carrée \(A\) d'ordre 2.
Pour calculer \(AB\), on procède position par position. Pour le coefficient \((AB)_{ij}\), on prend la ligne \(i\) de \(A\) et la colonne \(j\) de \(B\), on multiplie les termes deux à deux et on les additionne.
Concrètement avec \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} a' & b' \\ c' & d' \end{pmatrix}\), le calcul complet :
- Position (1,1) : \(a \cdot a' + b \cdot c'\)
- Position (1,2) : \(a \cdot b' + b \cdot d'\)
- Position (2,1) : \(c \cdot a' + d \cdot c'\)
- Position (2,2) : \(c \cdot b' + d \cdot d'\)
Exemple 1. \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{pmatrix}\), \(B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}\).
\[ AB = \begin{pmatrix} 2 \cdot 1 + 1 \cdot 2 & 2 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 \\ 0 \cdot 1 + 3 \cdot 2 & 0 \cdot (-1) + 3 \cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ 6 & 0 \end{pmatrix}. \]Exemple 2 — Produit avec matrice colonne. Si \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) et \(X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\), alors :
\[ AX = \begin{pmatrix} 2x + y \\ x + y \end{pmatrix}. \]On retrouve exactement les membres gauches d'un système : \(\begin{cases} 2x+y=5 \\ x+y=3 \end{cases}\) s'écrit \(AX = B\) avec \(B = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\).
En général, \(AB \neq BA\). Il faut à chaque fois préciser si l'on multiplie à gauche ou à droite. Par exemple, avec \(A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\) et \(B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\) :
\[ AB = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \qquad \text{mais} \qquad BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}. \]Les deux résultats sont différents. Dans les calculs matriciels, on ne peut donc pas factoriser ou développer comme avec des réels sans précaution.
Calculateur de produit matriciel — matrices \(2 \times 2\)
Entrez les coefficients des matrices \(A\) et \(B\), puis observez \(AB\), \(BA\) et la différence \(AB - BA\).
Matrice A
Matrice B
AB =
BA =
AB − BA =
Modifiez les coefficients — les produits \(AB\) et \(BA\) se recalculent instantanément. Essayez de trouver une paire \((A,B)\) pour laquelle \(AB = BA\) (commutatif) !
Déterminant et matrice inverse
Parmi les matrices carrées d'ordre 2, certaines admettent un inverse pour le produit — à la façon dont tout réel non nul admet un inverse pour la multiplication. Le déterminant est le critère qui permet de trancher.
Le déterminant d'une matrice carrée d'ordre 2 est le réel :
\[ \det A = \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} = ad - bc. \]On le calcule en faisant le produit des coefficients de la diagonale principale (\(ad\)) moins le produit de la diagonale secondaire (\(bc\)).
Une matrice carrée \(A\) d'ordre 2 est inversible si et seulement si \(\det A \neq 0\). Dans ce cas, son unique inverse est :
\[ A^{-1} = \dfrac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}. \]La règle est simple à mémoriser : on échange \(a\) et \(d\), on change les signes de \(b\) et \(c\), puis on divise par le déterminant. On a bien \(A A^{-1} = A^{-1} A = I_2\).
- Calculer \(\det A = ad - bc\).
- Vérifier que \(\det A \neq 0\) (sinon l'inverse n'existe pas).
- Construire la comatrice : \(\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\) (échanges \(a \leftrightarrow d\), signes de \(b, c\) changés).
- Diviser chaque coefficient par \(\det A\).
- Vérifier en calculant \(A A^{-1}\) : on doit obtenir \(I_2\).
Exemple 1 — Matrice inversible. \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\).
\[ \det A = 2 \times 1 - 1 \times 1 = 1 \neq 0 \implies A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}. \]Vérification : \(AA^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2-1 & -2+2 \\ 1-1 & -1+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I_2.\)
Exemple 2 — Matrice non inversible. \(B = \begin{pmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{pmatrix}\).
\[ \det B = 2 \times 2 - 4 \times 1 = 0. \]Le déterminant est nul : \(B\) n'est pas inversible. On remarque que la deuxième ligne est la moitié de la première — les lignes sont colinéaires, ce qui correspond géométriquement à un système sans solution unique.
Exemple 3. \(C = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}\).
\[ \det C = 3 \times 4 - (-2) \times 5 = 12 + 10 = 22 \neq 0 \implies C^{-1} = \frac{1}{22}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}. \]Lorsqu'on calcule \(A^{-1}\), on divise par \(\det A\), pas par \(ad\) ni par \(bc\) séparément. Une erreur très fréquente est d'oublier de diviser tous les coefficients par le déterminant — ou pire, de diviser seulement la diagonale. La vérification \(AA^{-1} = I_2\) permet de détecter tout oubli.
Déterminant et inverse — matrice \(2 \times 2\)
Entrez les coefficients de \(A\). Le déterminant et l'inverse (si possible) sont calculés en temps réel.
Matrice A
det(A) =
Essayez \(a=2, b=4, c=1, d=2\) pour voir un déterminant nul et l'absence d'inverse.
Résolution matricielle d'un système linéaire
Le langage matriciel permet de condenser un système de deux équations à deux inconnues en une seule égalité \(AX = B\) — et de le résoudre en une seule opération dès lors que \(A\) est inversible.
Le système \(\begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases}\) se réécrit sous la forme compacte \(AX = B\) où :
\[ A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}, \quad X = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix}. \]Si \(\det A \neq 0\), le système admet une solution unique donnée par :
\[ X = A^{-1} B. \]On calcule d'abord \(A^{-1}\), puis on effectue le produit matriciel \(A^{-1} B\).
Si \(AX = B\), on multiplie à gauche par \(A^{-1}\) :
\[ A^{-1}(AX) = A^{-1}B \implies (A^{-1}A)X = A^{-1}B \implies I_2 X = A^{-1}B \implies X = A^{-1}B. \]L'associativité du produit matriciel est cruciale ici. On note qu'on multiplie à gauche par \(A^{-1}\) — la commutativité n'est pas assurée.
Exemple 1. Résoudre \(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x + y = 3 \end{cases}\).
La matrice du système est \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\), \(\det A = 1\), \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\) (calculé en §3). La matrice second membre est \(B = \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix}\).
\[ X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5-3 \\ -5+6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}. \]Solution : \((x\,;y) = (2\,;1)\). Vérification : \(2(2)+1 = 5\) et \(2+1 = 3\).
Exemple 2. Résoudre \(\begin{cases} 3x - 2y = 7 \\ 5x + 4y = 1 \end{cases}\).
\(A = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 5 & 4 \end{pmatrix}\), \(\det A = 12 + 10 = 22\), \(A^{-1} = \dfrac{1}{22}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix}\).
\[ X = A^{-1}B = \frac{1}{22}\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ -5 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} = \frac{1}{22}\begin{pmatrix} 28+2 \\ -35+3 \end{pmatrix} = \frac{1}{22}\begin{pmatrix} 30 \\ -32 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15/11 \\ -16/11 \end{pmatrix}. \]Solution : \(x = \dfrac{15}{11}\), \(y = -\dfrac{16}{11}\).
Si \(\det A = 0\), la méthode matricielle est inapplicable. Le système peut alors être incompatible (aucune solution) ou indéterminé (infinité de solutions). Dans ce cas, on revient aux méthodes élémentaires : substitution ou combinaison linéaire.
Résolveur matriciel — système \(2\times 2\)
Entrez les coefficients \(a, b, c, d\) et les seconds membres \(e, f\) du système \(\begin{cases}ax+by=e\\ cx+dy=f\end{cases}\).
Matrice A
Second membre B
det(A) =
Modifiez les coefficients — la solution \((x\,;y)\) se met à jour instantanément. Essayez un système sans solution : posez \(a=2, b=4, c=1, d=2\).
Résumé
Matrice \(m\times n\) : tableau de \(m\) lignes et \(n\) colonnes. Matrice carrée d'ordre \(n\) : \(m=n\). Coefficients notés \(a_{ij}\) (ligne \(i\), colonne \(j\)).
Somme terme à terme. Produit \(AB\) : coefficient \((i,j)\) = ligne \(i\) de \(A\) · colonne \(j\) de \(B\). Non-commutatif : \(AB \neq BA\) en général.
\(\det A = ad - bc\) pour \(A = \begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}\). Diagonale principale moins diagonale secondaire.
\(A\) inversible \(\Leftrightarrow \det A \neq 0\). Formule : \(A^{-1} = \dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}\). On vérifie toujours : \(AA^{-1}=I_2\).
\(\begin{cases}ax+by=e\\cx+dy=f\end{cases}\) s'écrit \(AX=B\). Si \(\det A\neq 0\) : solution unique \(X = A^{-1}B\).
Sujet type Bac
On considère la matrice \(A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}\).
- Calculer \(\det A\).
- Montrer que \(A\) est inversible et calculer \(A^{-1}\).
- Vérifier que \(A A^{-1} = I_2\).
- Résoudre le système \(\begin{cases} 3x + y = 7 \\ 2x + y = 5 \end{cases}\) en utilisant la méthode matricielle.
- Que se passe-t-il si le second membre est remplacé par \(B' = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\) ? Interpréter.
1. Calcul du déterminant.
Le déterminant vaut \(1\). C'est une valeur particulièrement agréable : l'inverse sera à coefficients entiers.
2. Inversibilité et calcul de \(A^{-1}\).
Comme \(\det A = 1 \neq 0\), la matrice \(A\) est inversible. On applique la formule :
\[ A^{-1} = \frac{1}{1}\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}. \](Rappel de la règle : on échange \(a_{11}\) et \(a_{22}\), on change les signes de \(a_{12}\) et \(a_{21}\), puis on divise par le déterminant.)
3. Vérification \(AA^{-1} = I_2\).
4. Résolution matricielle du système.
Le système \(\begin{cases} 3x + y = 7 \\ 2x + y = 5 \end{cases}\) s'écrit \(AX = B\) avec \(B = \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix}\).
Comme \(\det A \neq 0\), la solution est unique et vaut \(X = A^{-1}B\) :
\[ X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 - 5 \\ -14 + 15 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}. \]Solution : \((x\,;y) = (2\,;1)\).
Vérification dans le système original : \(3(2)+1 = 7\), \(2(2)+1 = 5\).
5. Second membre nul — \(B' = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\).
Le système devient \(\begin{cases} 3x + y = 0 \\ 2x + y = 0 \end{cases}\). On applique la même méthode :
\[ X = A^{-1}B' = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}. \]La seule solution est \((x\,;y) = (0\,;0)\). C'est toujours le cas lorsque la matrice est inversible et que le second membre est nul : un système homogène \(AX = 0\) avec \(\det A \neq 0\) n'admet que la solution triviale \(X = 0\). Cela s'interprète géométriquement comme deux droites concourantes en l'origine.