Terminale C · Leçon 14
Statistiques à deux variables
Série double : nuage de points et point moyen
Une série statistique double associe à chaque individu d'une population deux caractères quantitatifs \(x\) et \(y\). Elle se présente sous la forme de \(n\) couples \((x_i\,;\,y_i)\), pour \(i = 1, 2, \ldots, n\). Représenter ces \(n\) couples dans un repère cartésien donne le nuage de points associé à la série.
La forme générale du nuage renseigne immédiatement sur la nature de la liaison : un nuage allongé selon une direction indique une tendance affine ; un nuage en courbe suggère une liaison non linéaire ; un nuage dispersé sans direction privilégiée traduit l'absence de liaison.
Le point moyen (ou centre de gravité) du nuage est le point \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) dont les coordonnées sont les moyennes respectives des deux séries :
\[ \bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i \qquad\qquad \bar{y} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i. \]Résultat fondamental : toute droite d'ajustement obtenue par les méthodes présentées dans ce chapitre passe obligatoirement par \(G\). Vérifier ce passage est donc un moyen de contrôler ses calculs.
On observe cinq élèves : nombre d'heures de révision \(x\) et note obtenue \(y\) (sur 20).
| \(x_i\) | 1 | 2 | 3 | 5 | 7 |
|---|---|---|---|---|---|
| \(y_i\) | 6 | 9 | 11 | 14 | 18 |
\(\bar{x} = \dfrac{1+2+3+5+7}{5} = \dfrac{18}{5} = 3{,}6\) ; \(\bar{y} = \dfrac{6+9+11+14+18}{5} = \dfrac{58}{5} = 11{,}6\).
Le point moyen est \(G(3{,}6\,;\,11{,}6)\).
Avec les données précédentes, les points \((1;6), (2;9), (3;11), (5;14), (7;18)\) forment un nuage allongé vers le haut à droite : la liaison semble positive et affine. Le point \(G(3{,}6\,;\,11{,}6)\) se trouve visuellement au centre du nuage.
Confondre \(\bar{x}\bar{y}\) (produit des moyennes) et \(\overline{xy} = \dfrac{1}{n}\sum x_i y_i\) (moyenne des produits). Ces deux quantités sont en général distinctes, et leur différence est précisément la covariance.
Nuage de points et point moyen
Point moyen \(G\)
Ajustement affine par la méthode de Mayer
La droite de Mayer est une droite d'ajustement obtenue graphiquement à partir de deux points moyens partiels. Elle offre une estimation rapide de la tendance sans calculs intensifs.
On procède en trois étapes successives.
Étape 1. Ranger les points par abscisses croissantes, puis partager le nuage en deux sous-nuages d'effectifs égaux (ou aussi proches que possible). En cas d'effectif impair, le point médian est mis de côté ou rattaché à l'un des deux sous-nuages selon la consigne.
Étape 2. Calculer le point moyen \(G_1(\bar{x}_1\,;\,\bar{y}_1)\) du premier sous-nuage (les petites valeurs de \(x\)) et le point moyen \(G_2(\bar{x}_2\,;\,\bar{y}_2)\) du second sous-nuage (les grandes valeurs de \(x\)).
Étape 3. La droite de Mayer est la droite \((G_1 G_2)\). Son équation \(y = ax + b\) s'obtient par :
\[ a = \frac{\bar{y}_2 - \bar{y}_1}{\bar{x}_2 - \bar{x}_1} \qquad\qquad b = \bar{y} - a\,\bar{x} \]où \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\) sont les moyennes globales. La vérification que la droite passe par \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) est indispensable.
Six couples classés par \(x\) croissant : \((1;3), (2;4), (3;6), (5;8), (6;10), (8;13)\).
Sous-nuage bas (3 premiers) : \(G_1\!\left(\dfrac{1+2+3}{3}\,;\,\dfrac{3+4+6}{3}\right) = G_1(2\,;\,\tfrac{13}{3})\).
Sous-nuage haut (3 derniers) : \(G_2\!\left(\dfrac{5+6+8}{3}\,;\,\dfrac{8+10+13}{3}\right) = G_2\!\left(\tfrac{19}{3}\,;\,\tfrac{31}{3}\right)\).
Pente : \(a = \dfrac{\tfrac{31}{3} - \tfrac{13}{3}}{\tfrac{19}{3} - 2} = \dfrac{\tfrac{18}{3}}{\tfrac{13}{3}} = \dfrac{18}{13} \approx 1{,}38\).
Moyenne globale : \(\bar{x} = \dfrac{25}{6} \approx 4{,}17\) ; \(\bar{y} = \dfrac{44}{6} \approx 7{,}33\). Alors \(b = 7{,}33 - 1{,}38 \times 4{,}17 \approx 1{,}57\).
Droite de Mayer approximative : \(y \approx 1{,}38\,x + 1{,}57\). Vérification : \(G(\approx\!4{,}17\,;\,\approx\!7{,}33)\) appartient bien à cette droite (\(1{,}38 \times 4{,}17 + 1{,}57 \approx 7{,}33\)).
Données : \((1;2), (2;3), (3;5), (4;6), (5;9)\). L'effectif est 5 (impair). On écarte le point médian \((3;5)\) et on forme deux sous-nuages de 2 points.
\(G_1(1{,}5\,;\,2{,}5)\) et \(G_2(4{,}5\,;\,7{,}5)\). Pente : \(a = \dfrac{7{,}5 - 2{,}5}{4{,}5 - 1{,}5} = \dfrac{5}{3} \approx 1{,}67\). Moyenne globale : \(\bar{x}=3\), \(\bar{y}=5\). Alors \(b = 5 - \tfrac{5}{3} \times 3 = 0\).
Droite de Mayer : \(y = \dfrac{5}{3}\,x\) (passe par l'origine).
La méthode de Mayer est rapide et intuitive, mais le résultat dépend du découpage choisi : un autre partage donne une droite différente. Elle constitue une estimation grossière là où la méthode des moindres carrés (section suivante) fournit une droite unique, optimale au sens de la minimisation des écarts au carré.
Astuce. Pour vérifier rapidement que la droite de Mayer passe par \(G\), il suffit de constater que \(G\) est à mi-chemin de \(G_1\) et \(G_2\) lorsque les deux sous-nuages ont le même effectif. En effet, dans ce cas \(\bar{x} = \tfrac{\bar{x}_1 + \bar{x}_2}{2}\) et de même pour \(\bar{y}\).
Droite de Mayer et sous-nuages
Sous-nuage haut
\(G_1\) et \(G_2\)
Droite de Mayer
Ajustement par les moindres carrés et prévisions
La covariance de \(x\) et \(y\) mesure la tendance commune des deux variables à s'écarter simultanément de leur moyenne :
\[ \operatorname{cov}(x,y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i y_i - \bar{x}\,\bar{y} = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y}. \]Les variances des deux séries sont définies par :
\[ V(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i^2 - \bar{x}^2 \qquad V(y) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} y_i^2 - \bar{y}^2. \]Les écarts-types sont \(\sigma_x = \sqrt{V(x)}\) et \(\sigma_y = \sqrt{V(y)}\).
Parmi toutes les droites d'équation \(y = ax + b\), celle qui minimise la somme \(\displaystyle\sum_{i=1}^{n}(y_i - ax_i - b)^2\) des carrés des écarts verticaux est unique. C'est la droite des moindres carrés de \(y\) en \(x\), d'équation \(y = ax + b\) avec :
\[ a = \frac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)} \qquad\qquad b = \bar{y} - a\,\bar{x}. \]Cette droite passe toujours par le point moyen \(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\).
Pour ne pas se perdre dans les formules, on dresse systématiquement un tableau à cinq colonnes : \(x_i\), \(y_i\), \(x_i^2\), \(y_i^2\), \(x_i y_i\). On somme chaque colonne, on en déduit \(\bar{x}\), \(\bar{y}\), \(\overline{x^2}\), \(\overline{y^2}\), \(\overline{xy}\), puis \(V(x)\), \(V(y)\) et \(\operatorname{cov}(x,y)\). Enfin, \(a\) et \(b\) se calculent sans ambiguïté.
Reprenons \((1;2), (2;3), (3;5), (4;6), (5;9)\) avec \(n=5\).
| \(x_i\) | \(y_i\) | \(x_i^2\) | \(y_i^2\) | \(x_i y_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 2 | 1 | 4 | 2 |
| 2 | 3 | 4 | 9 | 6 |
| 3 | 5 | 9 | 25 | 15 |
| 4 | 6 | 16 | 36 | 24 |
| 5 | 9 | 25 | 81 | 45 |
| 15 | 25 | 55 | 155 | 92 |
\(\bar{x} = 3\), \(\bar{y} = 5\), \(\overline{xy} = \dfrac{92}{5} = 18{,}4\), donc \(\operatorname{cov}(x,y) = 18{,}4 - 3 \times 5 = 3{,}4\).
\(V(x) = \dfrac{55}{5} - 9 = 11 - 9 = 2\).
\(a = \dfrac{3{,}4}{2} = 1{,}7\) ; \(b = 5 - 1{,}7 \times 3 = -0{,}1\).
Droite des moindres carrés : \(y = 1{,}7\,x - 0{,}1\).
Avec la droite \(y = 1{,}7\,x - 0{,}1\), on peut extrapoler : pour \(x = 7\), on obtient \(y = 1{,}7 \times 7 - 0{,}1 = 11{,}8\).
Attention : extrapoler au-delà des données observées suppose que la tendance affine se maintient, ce qui doit toujours être justifié par le contexte.
On peut aussi régresser \(x\) sur \(y\) : la droite \(x = a'y + b'\) minimise les carrés des écarts horizontaux, avec \(a' = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(y)}\) et \(b' = \bar{x} - a'\bar{y}\). Les deux droites de régression sont distinctes en général ; elles coïncident uniquement si tous les points sont exactement alignés (\(|r| = 1\)).
Pour prévoir \(y\) à partir de \(x\), on utilise la droite de régression de \(y\) en \(x\) (pas l'autre). Inverser les rôles conduit à une droite différente et à des prédictions faussées. La droite à utiliser se choisit selon quelle variable joue le rôle de la variable expliquée.
Moindres carrés : visualiser les écarts
Droite actuelle
Résidus au carré
Somme des carrés : (min = )
Covariance et coefficient de corrélation linéaire
Le coefficient de corrélation linéaire \(r\) mesure l'intensité et le sens de la liaison linéaire entre \(x\) et \(y\).
On a toujours \(-1 \le r \le 1\), et l'interprétation se lit ainsi :
| Valeur de \(|r|\) | Interprétation |
|---|---|
| \(|r| = 1\) | Alignement parfait (liaison affine exacte) |
| \(|r| \ge 0{,}87\) | Liaison forte, ajustement affine acceptable (\(r^2 \ge 0{,}75\)) |
| \(0{,}5 \le |r| < 0{,}87\) | Liaison modérée, ajustement à interpréter avec prudence |
| \(|r| < 0{,}5\) | Liaison faible ou inexistante (ajustement non pertinent) |
Le signe de \(r\) indique le sens : \(r > 0\) signifie une liaison positive (quand \(x\) augmente, \(y\) tend à augmenter aussi) ; \(r < 0\), une liaison négative.
Suite de l'exemple de la section 3 : \(\operatorname{cov}(x,y) = 3{,}4\), \(V(x) = 2\), \(V(y) = \dfrac{155}{5} - 25 = 31 - 25 = 6\).
\(r = \dfrac{3{,}4}{\sqrt{2 \times 6}} = \dfrac{3{,}4}{\sqrt{12}} \approx \dfrac{3{,}4}{3{,}464} \approx 0{,}982\).
Comme \(r \approx 0{,}98 > 0{,}87\), l'ajustement affine est excellent. La liaison est positive et très forte.
Données : températures \(x\) (°C) et ventes de chocolat chaud \(y\) (centaines d'unités) : \((5;9), (10;7), (15;5), (20;3), (25;1)\).
\(\bar{x} = 15\), \(\bar{y} = 5\). \(\sum x_i y_i = 45 + 70 + 75 + 60 + 25 = 275\), donc \(\operatorname{cov}(x,y) = \dfrac{275}{5} - 15 \times 5 = 55 - 75 = -20\).
\(V(x) = \dfrac{5^2+10^2+\cdots+25^2}{5} - 225 = \dfrac{1375}{5}-225 = 275-225 = 50\). \(V(y) = \dfrac{81+49+25+9+1}{5} - 25 = 33 - 25 = 8\).
\(r = \dfrac{-20}{\sqrt{50 \times 8}} = \dfrac{-20}{\sqrt{400}} = \dfrac{-20}{20} = -1\).
\(r = -1\) : les cinq points sont parfaitement alignés selon une droite décroissante. La liaison est parfaitement linéaire négative.
Un coefficient \(r\) proche de 0 ne signifie pas l'absence de toute liaison : il peut exister une liaison non linéaire (parabolique, exponentielle…) que \(r\) ne détecte pas. Toujours tracer le nuage avant de conclure à une absence de liaison.
On peut montrer que \(r^2 = a \times a'\) où \(a\) est la pente de la droite de régression de \(y\) en \(x\) et \(a'\) celle de \(x\) en \(y\). C'est une façon de vérifier le calcul de \(r\) sans recalculer les variances.
Influence de \(r\) sur la forme du nuage
Résumé
\(G(\bar{x}\,;\,\bar{y})\) avec \(\bar{x} = \dfrac{1}{n}\sum x_i\). Toute droite d'ajustement passe par \(G\).
Partager en deux sous-nuages, calculer \(G_1\) et \(G_2\), puis écrire l'équation de \((G_1 G_2)\). Vérifier le passage par \(G\).
\(\operatorname{cov}(x,y) = \overline{xy} - \bar{x}\,\bar{y}\). Dresser un tableau avec \(x_i^2\), \(y_i^2\), \(x_i y_i\).
\(a = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{V(x)}\), \(b = \bar{y} - a\,\bar{x}\). Droite unique, optimale.
\(r = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{V(x)\,V(y)}}\), \(-1 \le r \le 1\). Ajustement acceptable si \(|r| \ge 0{,}87\).
Utiliser la droite de \(y\) en \(x\) pour prédire \(y\). L'extrapolation doit rester proche des données observées.
Sujet type Bac
Une entreprise enregistre, pour huit années consécutives, la production annuelle \(x_i\) (en milliers de tonnes) et la masse salariale \(y_i\) (en millions de francs CFA). Les données sont :
| Année \(i\) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(x_i\) | 10 | 12 | 14 | 16 | 18 | 20 | 22 | 24 |
| \(y_i\) | 32 | 37 | 42 | 49 | 56 | 61 | 70 | 73 |
Question 1. Calculer les moyennes \(\bar{x}\) et \(\bar{y}\), et donner les coordonnées du point moyen \(G\).
\(\displaystyle\bar{x} = \frac{10+12+14+16+18+20+22+24}{8} = \frac{136}{8} = 17\).
\(\displaystyle\bar{y} = \frac{32+37+42+49+56+61+70+73}{8} = \frac{420}{8} = 52{,}5\).
Le point moyen est \(\boxed{G(17\,;\,52{,}5)}\).
Question 2. À l'aide de la méthode de Mayer, déterminer une équation de la droite d'ajustement de \(y\) en \(x\). On partagera le nuage en deux sous-nuages de quatre points.
Sous-nuage bas (\(x = 10, 12, 14, 16\)) : \(\bar{x}_1 = 13\), \(\bar{y}_1 = \dfrac{32+37+42+49}{4} = \dfrac{160}{4} = 40\). Donc \(G_1(13\,;\,40)\).
Sous-nuage haut (\(x = 18, 20, 22, 24\)) : \(\bar{x}_2 = 21\), \(\bar{y}_2 = \dfrac{56+61+70+73}{4} = \dfrac{260}{4} = 65\). Donc \(G_2(21\,;\,65)\).
Pente : \(a = \dfrac{65 - 40}{21 - 13} = \dfrac{25}{8} = 3{,}125\).
Ordonnée à l'origine : \(b = \bar{y} - a\,\bar{x} = 52{,}5 - 3{,}125 \times 17 = 52{,}5 - 53{,}125 = -0{,}625\).
Vérification : \(G(17\,;\,52{,}5)\) appartient à la droite : \(3{,}125 \times 17 - 0{,}625 = 53{,}125 - 0{,}625 = 52{,}5\). Correct.
Droite de Mayer : \(\boxed{y = 3{,}125\,x - 0{,}625}\).
Question 3. Calculer la covariance \(\operatorname{cov}(x,y)\), les variances \(V(x)\) et \(V(y)\), puis déterminer la droite de régression des moindres carrés de \(y\) en \(x\).
On dresse le tableau de calcul :
| \(x_i\) | \(y_i\) | \(x_i^2\) | \(y_i^2\) | \(x_i y_i\) |
|---|---|---|---|---|
| 10 | 32 | 100 | 1024 | 320 |
| 12 | 37 | 144 | 1369 | 444 |
| 14 | 42 | 196 | 1764 | 588 |
| 16 | 49 | 256 | 2401 | 784 |
| 18 | 56 | 324 | 3136 | 1008 |
| 20 | 61 | 400 | 3721 | 1220 |
| 22 | 70 | 484 | 4900 | 1540 |
| 24 | 73 | 576 | 5329 | 1752 |
| 136 | 420 | 2480 | 23644 | 7656 |
\(\overline{xy} = \dfrac{7656}{8} = 957\), donc \(\operatorname{cov}(x,y) = 957 - 17 \times 52{,}5 = 957 - 892{,}5 = 64{,}5\).
\(V(x) = \dfrac{2480}{8} - 17^2 = 310 - 289 = 21\).
\(V(y) = \dfrac{23644}{8} - 52{,}5^2 = 2955{,}5 - 2756{,}25 = 199{,}25\).
\(a = \dfrac{64{,}5}{21} \approx 3{,}071\) ; \(b = 52{,}5 - 3{,}071 \times 17 \approx 52{,}5 - 52{,}21 \approx 0{,}29\).
Droite des moindres carrés : \(\boxed{y \approx 3{,}07\,x + 0{,}29}\).
Question 4. Calculer le coefficient de corrélation \(r\) et commenter la qualité de l'ajustement.
\(r = \dfrac{\operatorname{cov}(x,y)}{\sqrt{V(x) \cdot V(y)}} = \dfrac{64{,}5}{\sqrt{21 \times 199{,}25}} = \dfrac{64{,}5}{\sqrt{4184{,}25}} \approx \dfrac{64{,}5}{64{,}69} \approx 0{,}997\).
Le coefficient de corrélation \(r \approx 0{,}997\) est très proche de 1. Comme \(|r| > 0{,}87\), la liaison affine entre production et masse salariale est très forte et positive. L'ajustement par une droite est donc excellent et les prévisions réalisées à partir de la droite des moindres carrés seront fiables dans la plage des données observées.
Question 5. En utilisant la droite des moindres carrés, estimer la masse salariale prévue pour une production de \(x = 28\) milliers de tonnes. Cette extrapolation vous semble-t-elle raisonnable ? Justifier.
Pour \(x = 28\) : \(y \approx 3{,}07 \times 28 + 0{,}29 = 85{,}96 + 0{,}29 \approx 86{,}25\).
La masse salariale estimée serait d'environ 86,25 millions de francs CFA.
Cette extrapolation reste raisonnable : \(x = 28\) est légèrement au-delà des données observées (\(x\) allait jusqu'à 24), mais le coefficient de corrélation \(r \approx 0{,}997\) confirme une tendance très régulière. On peut supposer que la tendance se maintient sur une courte extrapolation. En revanche, extrapoler jusqu'à \(x = 100\) ou plus serait imprudent sans nouvelle information.