Terminale C · Leçon 1
Continuité
Continuité en un point et sur un intervalle, types de discontinuité
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) lorsque \(f\) admet une limite en \(a\) égale à \(f(a)\) :
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a). \]Cette définition condense trois exigences simultanées :
- \(f\) est définie en \(a\) — la valeur \(f(a)\) existe.
- La limite de \(f\) en \(a\) existe — limites à gauche et à droite coïncident.
- Cette limite est précisément égale à \(f(a)\).
Si l'une de ces trois conditions est en défaut, \(f\) est discontinue en \(a\).
\(f\) est continue à droite en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a)\).
\(f\) est continue à gauche en \(a\) si \(\displaystyle\lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a)\).
Ces deux notions interviennent surtout aux bornes d'un intervalle fermé, ou pour une fonction définie par morceaux.
\(f\) est continue en \(a\) si et seulement si elle est à la fois continue à gauche et à droite en \(a\) :
\[ \lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a). \]\(f\) est continue sur un intervalle \(I\) lorsqu'elle est continue en chaque point de \(I\). Aux bornes fermées, on demande la continuité unilatérale correspondante.
Une fonction est continue sur un intervalle si l'on peut tracer sa courbe sans jamais lever le crayon. Pas de saut, pas de trou, pas de branche qui s'échappe à l'intérieur. Cette image suffit pour l'intuition, mais ne remplace pas la vérification formelle en exercice.
- Discontinuité par saut : les limites à gauche et à droite existent, mais elles diffèrent. Exemple : la fonction partie entière \(E(x)\) est discontinue en tout entier, avec un saut de hauteur 1.
- Discontinuité par trou (supprimable) : la limite existe mais \(f\) n'est pas définie en \(a\), ou \(f(a)\) ne coïncide pas avec la limite. C'est le cas de \(f(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}\) en \(x=1\) : la limite vaut 2, mais \(f(1)\) n'est pas définie.
- Discontinuité essentielle : la limite n'existe pas (oscillations, ou limite infinie). Exemple : \(\dfrac{1}{x}\) en \(x = 0\).
Beaucoup d'élèves confondent « la fonction n'est pas définie en \(a\) » et « la fonction est discontinue en \(a\) ». La continuité en \(a\) n'a de sens que si \(f\) est définie en \(a\). Si \(f\) ne l'est pas, on ne parle pas de continuité — on se demande si un prolongement par continuité est possible.
Figure interactive — Types de discontinuités
discontinuité essentielle
discontinuité par saut
trou supprimable
Choisir un type de discontinuité via le sélecteur
Explorez les quatre types de comportement au point singulier. Un trou supprimable est la seule discontinuité qu'un prolongement par continuité peut corriger.
Les fonctions suivantes sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition :
- les fonctions polynômes : continues sur \(\mathbb{R}\) ;
- les fonctions rationnelles \(\dfrac{P(x)}{Q(x)}\) : continues là où \(Q\) ne s'annule pas ;
- la racine carrée \(x \mapsto \sqrt{x}\) : continue sur \([0\,;+\infty[\) ;
- les fonctions trigonométriques \(\sin\), \(\cos\) : continues sur \(\mathbb{R}\) ; \(\tan\) continue là où elle est définie ;
- \(\ln\) : continue sur \(]0\,;+\infty[\) ; \(\exp\) : continue sur \(\mathbb{R}\).
Si \(f\) et \(g\) sont continues sur \(I\) :
- \(f + g\), \(f - g\), \(\lambda f\) et \(f \times g\) sont continues sur \(I\) ;
- \(\dfrac{f}{g}\) est continue en tout point de \(I\) où \(g\) ne s'annule pas ;
- si \(g(I) \subset J\) et \(f\) est continue sur \(J\), la composée \(f \circ g\) est continue sur \(I\).
- \(f(x) = e^{x^2 - 3x}\) : continue sur \(\mathbb{R}\) (composée de \(\exp\) et d'un polynôme).
- \(g(x) = \ln(\cos x)\) : continue sur tout intervalle où \(\cos x > 0\), par exemple \(]-\pi/2\,;\,\pi/2[\).
- \(h(x) = \dfrac{x^3 - 2}{x^2 - 1}\) : continue sur tout intervalle ne contenant ni \(1\) ni \(-1\).
Au Bac, pour justifier la continuité d'une fonction classique sur un intervalle, une phrase suffit : «\(f\) est [type de fonction] sur \(I\), donc continue sur \(I\)». Réservez l'énergie pour les points de raccord et les prolongements, qui sont les vraies questions.
La continuité formalise une idée intuitive : une fonction dont la courbe se trace « sans lever le crayon ». C'est la notion fondatrice sur laquelle reposent la dérivabilité (chapitre II) et les fonctions usuelles (chapitre III) : toute fonction dérivable est continue, et toute primitive suppose la continuité de la fonction primitivée.
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) contenant \(a\). On dit que \(f\) est continue en \(a\) lorsque :
\[ \lim_{x \to a} f(x) = f(a). \]Trois conditions sont donc requises : \(f(a)\) existe, \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x)\) existe et est finie, et ces deux valeurs coïncident. Si l'une manque, \(f\) est discontinue en \(a\).
\(f\) est continue sur un intervalle \(I\) lorsqu'elle est continue en chaque point de \(I\). Graphiquement, la courbe de \(f\) ne présente alors aucune interruption sur \(I\).
Sont continues sur tout intervalle inclus dans leur ensemble de définition : les fonctions polynômes, les fonctions rationnelles, la fonction racine carrée, les fonctions \(\sin\) et \(\cos\), la fonction exponentielle et — dès qu'elle est introduite (chapitre III) — la fonction \(\ln\). Plus généralement, toute fonction dérivable sur \(I\) y est continue (réciproque fausse, voir chapitre II).
Soit \(f(x) = x^2 - 3x + 1\). Comme \(f\) est polynomiale, elle est continue en tout point, en particulier en \(a=2\) : \(\displaystyle\lim_{x\to 2} f(x) = 4 - 6 + 1 = -1 = f(2)\).
Soit \(g(x) = \dfrac{x^2-1}{x-1}\) pour \(x \neq 1\), et \(g(1) = 5\). Or \(\displaystyle\lim_{x\to 1} g(x) = \lim_{x\to 1}(x+1) = 2 \neq 5 = g(1)\). La fonction \(g\) est discontinue en 1, bien que la limite existe : c'est la valeur imposée qui ne correspond pas.
Soit \(h(x) = \begin{cases} x+1 & \text{si } x \le 2, \\ 2x-2 & \text{si } x > 2. \end{cases}\)
\(\displaystyle\lim_{x\to 2^-} h(x) = 3 = h(2)\) mais \(\displaystyle\lim_{x\to 2^+} h(x) = 2 \neq 3\). La limite globale en 2 n'existe pas (limites à gauche et à droite différentes) : \(h\) présente un saut en \(x=2\), discontinue en ce point.
Une fonction peut être continue en \(a\) sans y être dérivable — c'est le cas de \(f(x)=|x|\) en \(0\) (point anguleux, voir chapitre II). L'implication est à sens unique : dérivable \(\Rightarrow\) continue, mais continue \(\not\Rightarrow\) dérivable.
Si \(f\) et \(g\) sont continues en \(a\) (ou sur \(I\)), alors le sont aussi, sur leur ensemble de définition commun :
- \(f + g\), \(f - g\), \(k f\) (\(k \in \mathbb{R}\)) et \(f \times g\) ;
- \(\dfrac{f}{g}\), pourvu que \(g\) ne s'annule pas ;
- la composée \(g \circ f\), si \(f\) est continue en \(a\) et \(g\) continue en \(f(a)\).
Ces règles permettent de justifier la continuité d'une expression complexe sans revenir à la définition par les limites : il suffit de la décomposer en opérations élémentaires sur des fonctions déjà connues comme continues.
- Calculer \(f(a)\) (valeur imposée par la définition de \(f\) en \(a\)).
- Calculer la limite à gauche \(\displaystyle\lim_{x\to a^-} f(x)\) avec l'expression du morceau gauche.
- Calculer la limite à droite \(\displaystyle\lim_{x\to a^+} f(x)\) avec l'expression du morceau droit.
- Comparer les trois valeurs : si elles coïncident, \(f\) est continue en \(a\) ; sinon, discontinue (préciser le type : saut ou valeur manquante).
Soit \(f(x) = \begin{cases} x^2 + m & \text{si } x \le 1, \\ 3x & \text{si } x > 1. \end{cases}\) Déterminer \(m\) pour que \(f\) soit continue en \(1\).
\(\displaystyle\lim_{1^-} f = 1 + m\), \(\displaystyle\lim_{1^+} f = 3\), \(f(1) = 1+m\). Il faut \(1+m = 3\), soit \(\boxed{m=2}\).
Soit \(k(x) = \sqrt{x^2+1}\). La fonction \(u : x \mapsto x^2+1\) est polynomiale donc continue sur \(\mathbb{R}\), à valeurs dans \([1\,;+\infty[\) où la racine carrée est continue. Par composition, \(k\) est continue sur \(\mathbb{R}\) tout entier — sans qu'il soit nécessaire d'étudier une limite en chaque point individuellement.
Pour justifier la continuité d'une fonction sur son ensemble de définition, il suffit en général d'une phrase invoquant les opérations autorisées : « \(f\) est continue sur \(I\) comme somme (ou composée, quotient...) de fonctions continues sur \(I\). » Il est rarement exigé de revenir à la définition par les limites, sauf en un point de raccord ou de rupture de formule.
Lien entre continuité et dérivabilité
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\). En écrivant :
\[ f(x) - f(a) = \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \cdot (x-a) \;\xrightarrow[x\to a]{}\; f'(a) \cdot 0 = 0, \]on conclut que \(f(x) \to f(a)\).
Une fonction continue en \(a\) n'est pas nécessairement dérivable en \(a\). L'exemple canonique est \(f(x) = |x|\) en \(x = 0\) :
- \(f\) est continue en 0 : \(|x| \to 0 = f(0)\).
- Le taux d'accroissement \(\dfrac{|h|}{h}\) vaut \(+1\) si \(h>0\) et \(-1\) si \(h<0\). Les limites latérales diffèrent : \(f\) n'est pas dérivable en 0.
- Géométriquement : point anguleux en 0, avec deux demi-tangentes de pentes \(-1\) et \(+1\).
Aucune des implications réciproques n'est vraie en général.
- Vérifier d'abord que \(f\) est continue en \(a\). Sans continuité, pas de dérivabilité.
- Calculer la dérivée à gauche \(f'_g(a) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\) et la dérivée à droite \(f'_d(a)\).
- Si \(f'_g(a) = f'_d(a)\) : \(f\) est dérivable en \(a\), la valeur commune est \(f'(a)\). Sinon : point anguleux.
Soit \(f(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 1, \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}\)
Continuité en 1 : \(\displaystyle\lim_{x\to 1^-} x^2 = 1\), \(\displaystyle\lim_{x\to 1^+}(2x-1) = 1\), et \(f(1) = 1\). Continuité assurée.
Dérivabilité en 1 : \(f'_g(1) = 2\times 1 = 2\) et \(f'_d(1) = 2\). Les dérivées latérales coïncident : \(f\) est dérivable en 1 et \(f'(1) = 2\).
Prolongement et recollement par continuité
Soit \(f\) définie sur \(I \setminus \{a\}\). Si \(f\) admet une limite finie \(\ell\) en \(a\), le prolongement par continuité de \(f\) en \(a\) est la fonction \(\tilde{f}\) définie sur \(I\) par :
\[ \tilde{f}(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \neq a, \\[6pt] \ell & \text{si } x = a. \end{cases} \]La fonction \(\tilde{f}\) est alors continue en \(a\) par construction. On dit qu'on « rebouche le trou ».
Si la limite en \(a\) est infinie ou n'existe pas, aucun prolongement par continuité n'est possible.
- Repérer la valeur \(a\) interdite (zéro d'un dénominateur, \(\ln(0)\), etc.).
- Lever l'indétermination pour calculer \(\displaystyle\lim_{x \to a} f(x)\) : factorisation, quantité conjuguée, croissances comparées.
- Si la limite est finie et vaut \(\ell\) : poser \(\tilde{f}(a) = \ell\).
- Si la limite est infinie ou n'existe pas : aucun prolongement possible.
Soit \(f(x) = \dfrac{x^{2}-1}{x-1}\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\).
Pour \(x \neq 1\) : \(f(x) = \dfrac{(x-1)(x+1)}{x-1} = x+1\). Donc \(\displaystyle\lim_{x \to 1} f(x) = 2\).
On pose \(\tilde{f}(1) = 2\). La courbe de \(f\) est la droite \(y = x+1\) privée du point \((1\,;\,2)\) ; le prolongement rebouche ce trou.
Soit \(g(x) = \dfrac{e^x - 1}{x}\), définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\).
On reconnaît le taux d'accroissement de \(e^x\) en 0. Comme \((e^x)'=e^x\) et \(e^0=1\) :
\[\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1.\]On pose \(\tilde{g}(0) = 1\). La fonction prolongée est continue en 0.
Soit \(h(x) = \dfrac{1}{x}\). En \(a = 0\) : \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+} h(x) = +\infty\). La limite est infinie. Aucun prolongement par continuité n'existe en 0.
Calculer \(\displaystyle\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\), c'est précisément prolonger par continuité le taux d'accroissement en \(h=0\). La dérivabilité est un prolongement par continuité. Ce lien montre que la continuité est la notion fondatrice de tout l'édifice de l'analyse.
Figure interactive — Prolongement par continuité de \((x^2-1)/(x-1)\)
trou de \(f\) en \(x=1\)
valeur ajoutée \(\tilde f(1)=2\)
Cochez/décochez les éléments via les cases
Le trou est la discontinuité supprimable de \(f\). Le point vert représente la valeur qu'on ajoute pour obtenir la fonction prolongée \(\tilde f\), continue sur \(\mathbb{R}\).
Une fonction est définie par morceaux lorsqu'elle s'exprime par des formules différentes sur des sous-intervalles disjoints. En un point \(a\) séparant deux morceaux, la continuité n'est pas automatique :
\[ f \text{ continue en } a \;\Longleftrightarrow\; \lim_{x \to a^{-}} f(x) = \lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a). \]- Calculer la limite à gauche en \(a\) avec l'expression valable pour \(x < a\).
- Calculer la limite à droite en \(a\) avec l'expression valable pour \(x > a\).
- Identifier \(f(a)\) d'après la définition (quel morceau s'applique en \(a\) ?).
- Écrire que les trois quantités sont égales et en déduire le paramètre.
Soit \(f(x) = \begin{cases} x + m & \text{si } x \le 2, \\ 3x - 4 & \text{si } x > 2, \end{cases}\) avec \(m \in \mathbb{R}\).
- Limite à gauche et valeur : \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{-}} (x+m) = 2+m = f(2)\).
- Limite à droite : \(\displaystyle\lim_{x \to 2^{+}} (3x-4) = 2\).
Continuité en 2 : \(2+m = 2\), d'où \(\boxed{m = 0}\).
Soit \(g(x) = \begin{cases} ax + b & \text{si } x < 0, \\ \cos x & \text{si } 0 \le x \le \pi, \\ cx & \text{si } x > \pi. \end{cases}\)
En \(x = 0\) : \(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}(ax+b) = b\) et \(g(0) = 1\). Donc \(b = 1\).
En \(x = \pi\) : \(g(\pi) = -1\) et \(\displaystyle\lim_{x\to\pi^+} cx = c\pi\). Donc \(c = -\dfrac{1}{\pi}\).
Le paramètre \(a\) reste libre : la continuité en 0 ne le contraint pas.
Lisez attentivement l'énoncé : une inégalité \(x \le a\) versus \(x < a\) change quel morceau définit \(f(a)\). Cette erreur de lecture est très fréquente.
Figure interactive — Recollement par continuité
morceau droit (\(x > 2\))
saut de discontinuité
Déplacer le curseur pour faire varier le paramètre \(m\)
Lorsque \(m = 0\), la limite à gauche en \(x=2\) vaut 2 et coïncide avec la limite à droite : la fonction est continue. Toute autre valeur de \(m\) crée un saut visible.
Théorème des valeurs intermédiaires
Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c \in [a\,;b]\) tel que \(f(c) = k\).
En d'autres termes : une fonction continue sur un segment ne peut pas sauter par-dessus une valeur.
Le cas \(k = 0\) revient le plus souvent :
\[ f \text{ continue sur } [a\,;b],\quad f(a)\cdot f(b) < 0 \;\Longrightarrow\; \exists\, c \in\, ]a\,;b[\; \text{ tel que } f(c) = 0. \]La condition \(f(a) \cdot f(b) < 0\) signifie que \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes strictement opposés. C'est l'outil standard pour montrer qu'une équation admet une solution dans un intervalle.
L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle. La continuité préserve la connexité : on ne peut pas obtenir un ensemble disjoint en appliquant une fonction continue à un intervalle.
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution dans \([a\,;b]\).
Le TVI garantit l'existence ; la stricte monotonie garantit l'unicité.
- Vérifier que \(f\) est continue sur \([a\,;b]\).
- Vérifier que \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\) : signe de \(f'\).
- Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) et vérifier que \(k\) est strictement entre eux.
- Conclure par le théorème de la bijection.
Le TVI affirme l'existence d'au moins un \(c\), mais pas son unicité. Sans hypothèse de monotonie, il peut y en avoir plusieurs. De plus, le TVI ne donne pas la valeur de \(c\). Pour l'approcher, on recourt à la dichotomie.
Montrons que \(x^{3} + x - 1 = 0\) admet une unique solution dans \([0\,;1]\).
Soit \(f(x) = x^3 + x - 1\).
- Continuité : \(f\) est un polynôme, donc continue sur \(\mathbb{R}\).
- Monotonie : \(f'(x) = 3x^2 + 1 > 0\) pour tout \(x\). Donc \(f\) est strictement croissante.
- Valeurs aux bornes : \(f(0) = -1 < 0\) et \(f(1) = 1 > 0\).
Par le théorème de la bijection, l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in\, ]0\,;\,1[\).
Figure interactive — Théorème des valeurs intermédiaires
droite \(y = k\)
solution \(\alpha\)
Déplacer le curseur pour faire varier la valeur de \(k\)
Lorsque \(k \in [f(0)\,;\,f(1)] = [-1\,;\,1]\), le TVI garantit l'existence d'au moins un point d'intersection. La stricte croissance de \(f\) assure l'unicité.
Soit \(f\) une fonction continue sur un intervalle \([a\,;b]\). Pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un réel \(c \in [a\,;b]\) tel que :
\[ f(c) = k. \]Autrement dit, \(f\) prend toutes les valeurs intermédiaires entre \(f(a)\) et \(f(b)\) — sans « saut » possible, puisque la courbe est ininterrompue.
Si \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) et si \(f(a)\) et \(f(b)\) sont de signes opposés (\(f(a)\cdot f(b) < 0\)), alors l'équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \([a\,;b]\). C'est le TVI appliqué à \(k = 0\).
Soit \(f(x) = x^3 - x - 1\) sur \([1\,;2]\). \(f\) est polynomiale donc continue.
\(f(1) = 1-1-1 = -1 < 0\) et \(f(2) = 8-2-1 = 5 > 0\). Ces valeurs sont de signes opposés : par le TVI, l'équation \(f(x)=0\) admet au moins une solution \(c \in [1\,;2]\).
Soit \(g(x) = e^x - x\) sur \([0\,;2]\), continue. \(g(0) = 1\) et \(g(2) = e^2 - 2 \approx 5{,}39\). Pour \(k=3\), compris entre \(g(0)=1\) et \(g(2)\approx 5{,}39\) : par le TVI, il existe \(c \in [0\,;2]\) tel que \(g(c) = 3\), c'est-à-dire \(e^c - c = 3\).
Le TVI garantit l'existence d'au moins une solution, jamais son unicité ni sa valeur explicite. Sans hypothèse supplémentaire de monotonie (§I.4), rien n'exclut plusieurs solutions dans l'intervalle. Ne jamais écrire « donc \(c\) est la seule solution » sans avoir justifié la stricte monotonie.
Figure interactive — Théorème des valeurs intermédiaires
droite \(y=k\)
solution(s) \(c\)
Déplacer le curseur pour changer \(k\)
La courbe \(f(x)=x^3-x-1\) sur \([1\,;2]\) coupe la droite horizontale \(y=k\) en au moins un point dès que \(k\) est compris entre \(f(1)=-1\) et \(f(2)=5\).
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), l'équation \(f(x) = k\) admet une unique solution \(c \in [a\,;b]\).
La stricte monotonie ajoute l'unicité à l'existence déjà garantie par le TVI : la courbe ne peut recroiser la droite \(y=k\), puisqu'elle ne cesse jamais de croître (ou de décroître).
- Justifier que \(f\) est continue sur \([a\,;b]\) (opérations sur fonctions continues, ou dérivable donc continue).
- Justifier que \(f\) est strictement monotone sur \([a\,;b]\) — le plus souvent via le signe de \(f'\).
- Calculer \(f(a)\) et \(f(b)\) et vérifier que \(k\) est bien compris entre les deux (ou que \(f(a)\cdot f(b) < 0\) si \(k=0\)).
- Conclure : « \(f\) est continue et strictement [croissante/décroissante] sur \([a\,;b]\) ; d'après le corollaire du TVI, l'équation \(f(x)=k\) admet une unique solution \(c \in [a\,;b]\). »
Reprenons \(f(x) = x^3 - x - 1\) sur \([1\,;2]\). \(f'(x) = 3x^2 - 1\), or pour \(x \ge 1\) : \(f'(x) \ge 2 > 0\). Donc \(f\) est strictement croissante sur \([1\,;2]\), continue (polynomiale), avec \(f(1)=-1 < 0 < 5=f(2)\).
D'après le corollaire du TVI, l'équation \(f(x)=0\) admet une unique solution \(c \in [1\,;2]\) — précisant ainsi le résultat d'existence obtenu au §I.3.
Une fois l'existence et l'unicité établies, on encadre \(c\) en évaluant \(f\) en des points intermédiaires, en resserrant l'intervalle à chaque étape (on garde le sous-intervalle où \(f\) change de signe) :
- Évaluer \(f\) au milieu de l'intervalle courant.
- Comparer son signe à celui de \(f(a)\) : si identique, remplacer \(a\) par ce milieu ; sinon, remplacer \(b\).
- Répéter jusqu'à obtenir la précision demandée (l'amplitude de l'intervalle est divisée par 2 à chaque étape).
Pour \(f(x)=x^3-x-1\) : \(f(1{,}3) \approx -0{,}103 < 0\) et \(f(1{,}4) \approx 0{,}144 > 0\). Donc \(c \in ]1{,}3\,;1{,}4[\).
En affinant : \(f(1{,}32)\approx -0{,}02\) et \(f(1{,}33)\approx 0{,}0089\), donc \(c \in ]1{,}32\,;1{,}33[\) — encadrement à \(10^{-2}\) près de l'unique solution.
Avant toute dichotomie, un rapide tableau de valeurs (ou de variations) permet de repérer l'intervalle \([a\,;b]\) le plus petit possible où \(f\) change de signe : moins l'intervalle de départ est large, moins il faut d'étapes pour atteindre la précision demandée.
Figure interactive — Encadrement par dichotomie
intervalle courant
Chaque clic évalue \(f\) au milieu de l'intervalle courant et conserve le sous-intervalle où \(f\) change de signe, resserrant l'encadrement de la solution.
Localisation et approximation d'une solution (dichotomie)
On cherche \(\alpha \in [a\,;b]\) tel que \(f(\alpha) = 0\), avec \(f\) continue et strictement monotone.
- Tester la valeur médiane \(m = \dfrac{a+b}{2}\).
- Si \(f(m) = 0\) : trouvé. Sinon, si \(f(a)\) et \(f(m)\) sont de signes opposés, la solution est dans \([a\,;m]\) ; sinon dans \([m\,;b]\).
- Recommencer avec le nouvel intervalle, deux fois plus petit.
- Arrêter quand l'intervalle atteint la précision souhaitée.
Après \(n\) étapes, la précision est \(\dfrac{b-a}{2^n}\).
On reprend \(f(x) = x^3 + x - 1\) sur \([0\,;1]\). On cherche \(\alpha\) à \(10^{-2}\) près.
| Étape | Intervalle | Milieu \(m\) | \(f(m)\) | Nouveau sous-intervalle |
|---|---|---|---|---|
| 1 | [0 ; 1] | 0,5 | \(-0{,}375 < 0\) | [0,5 ; 1] |
| 2 | [0,5 ; 1] | 0,75 | \(0{,}172 > 0\) | [0,5 ; 0,75] |
| 3 | [0,5 ; 0,75] | 0,625 | \(-0{,}119 < 0\) | [0,625 ; 0,75] |
| 4 | [0,625 ; 0,75] | 0,6875 | \(0{,}022 > 0\) | [0,625 ; 0,6875] |
| 5 | [0,625 ; 0,6875] | 0,656 | \(-0{,}049 < 0\) | [0,656 ; 0,6875] |
| 6 | [0,656 ; 0,6875] | 0,672 | \(-0{,}014 < 0\) | [0,672 ; 0,6875] |
| 7 | [0,672 ; 0,6875] | 0,680 | \(0{,}004 > 0\) | [0,672 ; 0,680] |
Après 7 étapes, l'intervalle a une longueur \(\approx 0{,}008 < 0{,}01\). On conclut :
\[0{,}672 \le \alpha \le 0{,}680,\]soit \(\alpha \approx 0{,}68\) à \(10^{-2}\) près.
Pour atteindre une précision de \(10^{-p}\) sur un intervalle de longueur \(L\), il faut \(n\) étapes telles que \(L / 2^n \le 10^{-p}\). Sur \([0\,;1]\), il faut environ \(3{,}32\, p\) étapes pour \(p\) décimales de précision.
Opérations sur les limites et formes indéterminées
- Compatibilité avec l'ordre : si \(f(x) \le g(x)\) au voisinage de \(a\) et si les deux limites existent, alors \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) \le \lim_{x\to a} g(x)\).
- Théorème des gendarmes : si \(g(x) \le f(x) \le h(x)\) au voisinage de \(a\) et \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = \lim_{x\to a} h(x) = \ell\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = \ell\).
- Limite d'une composée : si \(\displaystyle\lim_{x\to a} g(x) = b\) et si \(f\) est continue en \(b\), alors \(\displaystyle\lim_{x\to a} f\!\left(g(x)\right) = f(b)\).
- Fonction croissante majorée : une fonction croissante et majorée sur \([a\,;+\infty[\) admet une limite finie en \(+\infty\).
Montrons que \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0\).
Pour \(x > 0\) : \(-1 \le \sin x \le 1\), donc \(-\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\sin x}{x} \le \dfrac{1}{x}\).
Or \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \left(\pm\dfrac{1}{x}\right) = 0\). Par les gendarmes, \(\displaystyle\lim_{x\to+\infty} \dfrac{\sin x}{x} = 0\).
Calculons \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \ln\!\left(\dfrac{\sin x}{x}\right)\).
On sait que \(\displaystyle\lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1\) (limite remarquable). La fonction \(\ln\) est continue en 1. Par la limite d'une composée :
\[\lim_{x\to 0} \ln\!\left(\frac{\sin x}{x}\right) = \ln(1) = 0.\]Au Bac, écrire « par le théorème des gendarmes » ou « par continuité de \(\ln\) en 1 » est suffisant. S'engager dans une démonstration formelle est une perte de temps et peut être pénalisé si elle n'est pas demandée.
Résumé
\(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x)=f(a)\) — trois conditions simultanées : \(f(a)\) défini, limite existante, égalité.
La réciproque est fausse. Contre-exemple : \(|x|\) en 0, point anguleux, continu mais non dérivable.
Possible ssi \(\displaystyle\lim_{x\to a}f(x) = \ell\) est finie. On pose \(\tilde f(a)=\ell\). Technique : lever l'indétermination.
Égaler lim. gauche, lim. droite et \(f(a)\). Vérifier quel morceau définit \(f(a)\). Un paramètre → une équation.
\(f\) continue sur \([a;b]\), \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) → \(\exists\, c\) avec \(f(c)=k\). Signes opposés → solution de \(f(x)=0\). Ne donne ni unicité ni valeur.
Monotonie stricte → unicité. Dichotomie : précision \(L/2^n\) après \(n\) étapes. Citer les trois conditions au Bac.
\(f\) continue en \(a\) ssi \(\displaystyle\lim_{x\to a} f(x) = f(a)\). Fonctions usuelles (polynômes, \(\sqrt{\ }\), \(\exp\), \(\sin\), \(\cos\)) continues sur leur domaine. Dérivable \(\Rightarrow\) continue (pas la réciproque).
Somme, produit, quotient (dénominateur non nul) et composée de fonctions continues sont continues. Justifie la continuité sans revenir aux limites.
\(f\) continue sur \([a\,;b]\) : toute valeur \(k\) entre \(f(a)\) et \(f(b)\) est atteinte. Cas \(k=0\) : \(f(a)\cdot f(b) < 0 \Rightarrow\) au moins une racine.
\(f\) continue et strictement monotone sur \([a\,;b]\) : \(f(x)=k\) a une unique solution. La monotonie ajoute l'unicité à l'existence du TVI.
Dichotomie / balayage : évaluer \(f\) au milieu de l'intervalle, garder le sous-intervalle où \(f\) change de signe. L'amplitude est divisée par 2 à chaque étape.
Sujet type Bac
Énoncé : Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{si } x \neq 2, \\[10pt] k & \text{si } x = 2. \end{cases} \]1. Simplifier l'expression de \(f(x)\) pour \(x \neq 2\).
2. Déterminer la valeur de \(k\) pour que \(f\) soit continue en \(x = 2\).
3. La fonction \(f\) ainsi définie est-elle dérivable en \(x = 2\) ?
4. Montrer que \(f(x) = 3{,}5\) admet une unique solution sur \([1\,;4]\) et l'encadrer à \(0{,}1\) près.
Partie 1 — Simplification. Pour \(x \neq 2\) : \(x^2 - 4 = (x-2)(x+2)\), donc
\[f(x) = \frac{(x-2)(x+2)}{x-2} = x + 2.\]Partie 2 — Valeur de \(k\) pour la continuité.
\[\lim_{x\to 2} f(x) = \lim_{x\to 2}(x+2) = 4.\]On doit avoir \(k = 4\). Avec ce choix, \(f(x) = x+2\) sur tout \(\mathbb{R}\).
Partie 3 — Dérivabilité en \(x = 2\). Pour \(k = 4\), \(f(x) = x+2\) est une fonction affine, dérivable sur \(\mathbb{R}\), de dérivée \(f'(x) = 1\). En particulier \(f'(2) = 1\).
Partie 4 — Solution de \(f(x) = 3{,}5\) sur \([1\,;4]\).
- \(f\) est continue sur \([1\,;4]\) (fonction affine).
- \(f\) est strictement croissante (\(f' = 1 > 0\)).
- \(f(1) = 3 < 3{,}5\) et \(f(4) = 6 > 3{,}5\).
Par le théorème de la bijection, l'équation admet une unique solution \(\alpha \in\, ]1\,;\,4[\). Ici \(f(x) = x+2 = 3{,}5 \Leftrightarrow x = 1{,}5\), donc \(1{,}4 \le \alpha \le 1{,}6\).
Énoncé : Soit \(f\) la fonction définie sur \([0\,;3]\) par \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 4\).
1. Étudier les variations de \(f\) sur \([0\,;3]\).
2. Montrer que l'équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \([2\,;3]\).
3. Donner un encadrement de \(\alpha\) d'amplitude \(10^{-1}\).
4. Étudier la continuité en \(x=2\) de la fonction \(g\) définie par \(g(x)=f(x)\) sur \([0\,;2]\) et \(g(x) = 2x\) sur \(]2\,;3]\).
Partie 1 — Variations.
\(f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x-2)\). Sur \([0\,;3]\) : \(f'(x) < 0\) sur \(]0\,;2[\), \(f'(x) > 0\) sur \(]2\,;3[\), et \(f'(0)=f'(2)=0\).
\(f\) est donc décroissante sur \([0\,;2]\) puis croissante sur \([2\,;3]\), avec \(f(0)=4\), \(f(2)=8-12+4=0\), \(f(3)=27-27+4=4\).
Partie 2 — Existence et unicité sur \([2\,;3]\).
D'après la partie 1, \(f\) est continue (polynomiale) et strictement croissante sur \([2\,;3]\) (car \(f'(x)>0\) sur \(]2\,;3[\)). On a \(f(2)=0\) et \(f(3)=4\).
Or on cherche \(f(x)=0\) : comme \(f(2)=0\) exactement, \(\alpha = 2\) est déjà une solution évidente sur \([2\,;3]\). Par stricte croissance sur cet intervalle, c'est l'unique solution : \(\boxed{\alpha = 2}\).
Partie 3 — Encadrement.
Puisque \(\alpha = 2\) exactement, l'encadrement à \(10^{-1}\) près est immédiat : \(\alpha \in [1{,}9\,;2{,}1]\) (tout encadrement centré en 2 de largeur \(0{,}2\) convient).
Partie 4 — Continuité de \(g\) en \(x=2\).
\(g(2) = f(2) = 0\) (morceau gauche, \(x \le 2\)).
\(\displaystyle\lim_{x\to 2^-} g(x) = f(2) = 0\) (continuité de \(f\), polynomiale).
\(\displaystyle\lim_{x\to 2^+} g(x) = 2\times 2 = 4\).
Comme \(4 \neq 0\), les limites à gauche et à droite diffèrent : \(g\) est discontinue en \(x=2\) (discontinuité de saut).