Terminale C · Leçon 8
Suites numériques
Raisonnement par récurrence
Une suite est dite explicite lorsque l'on dispose d'une formule directe \(u_n = f(n)\) exprimant chaque terme à partir de son rang. Elle est définie par récurrence lorsque l'on se donne un ou plusieurs termes initiaux et une relation \(u_{n+1} = f(u_n)\) permettant de calculer chaque terme à partir du précédent.
Soit \(P(n)\) une propriété dépendant de l'entier \(n\). Si :
- Initialisation : la propriété \(P(n_0)\) est vraie pour un entier de départ \(n_0\) ;
- Hérédité : pour tout entier \(n \ge n_0\), si \(P(n)\) est vraie alors \(P(n+1)\) est vraie ;
alors \(P(n)\) est vraie pour tout entier \(n \ge n_0\).
La rédaction suit toujours le même schéma en quatre temps : nommer la propriété à démontrer, traiter l'initialisation en vérifiant explicitement que \(P(n_0)\) est vraie, mener l'hérédité en supposant \(P(n)\) vraie et en montrant que cela implique \(P(n+1)\), puis conclure par une phrase explicite. Ne jamais sauter l'étape d'initialisation, même quand elle paraît évidente.
Montrons que \(2^n \ge n+1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).
Initialisation (\(n=0\)) : \(2^0 = 1\) et \(0+1 = 1\), donc \(2^0 \ge 0+1\). Vrai.
Hérédité : supposons \(2^n \ge n+1\). Alors : \[ 2^{n+1} = 2 \cdot 2^n \ge 2(n+1) = (n+2) + n \ge n+2. \] La propriété est vraie au rang \(n+1\).
Conclusion : par le principe de récurrence, \(2^n \ge n+1\) pour tout \(n \ge 0\).
On pose \(u_0 = 1\) et \(u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 2\). Montrons que \(u_n \in [0\,;\,4]\) pour tout \(n\).
Initialisation : \(u_0 = 1 \in [0\,;\,4]\). Vrai.
Hérédité : si \(0 \le u_n \le 4\), alors \(0 \le \dfrac{u_n}{2} \le 2\), d'où \(2 \le u_{n+1} = \dfrac{u_n}{2} + 2 \le 4\).
Conclusion : tous les termes de la suite appartiennent à \([0\,;\,4]\).
Beaucoup d'élèves écrivent l'hérédité en sens inverse : ils supposent \(P(n+1)\) et en déduisent \(P(n)\). C'est une erreur logique grave. On suppose toujours le rang actuel \(n\) et on en tire le rang suivant \(n+1\).
Pour choisir l'initialisation, repérez dès l'énoncé à partir de quel rang la propriété est formulée (\(n \ge 0\), \(n \ge 1\), etc.) et initialisez exactement à ce rang.
Suites monotones, majorées, minorées, bornées
La suite \((u_n)\) est croissante si \(u_{n+1} \ge u_n\) pour tout \(n\), strictement croissante si \(u_{n+1} > u_n\). De même pour décroissante. Elle est majorée par \(M\) si \(u_n \le M\) pour tout \(n\), minorée par \(m\) si \(u_n \ge m\), et bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
Quatre stratégies couvrent la quasi-totalité des cas au Bac :
- Différence : calculer \(u_{n+1} - u_n\) et étudier son signe. Méthode universelle.
- Quotient : si \(u_n > 0\), comparer \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) à \(1\). Efficace pour les puissances et factorielles.
- Fonction auxiliaire : si \(u_n = f(n)\), étudier les variations de \(f\) via \(f'\).
- Récurrence : pour \(u_{n+1} = f(u_n)\), montrer la monotonie par récurrence en utilisant la borne.
Soit \(u_n = 3n - n^2\). On calcule :
\[ u_{n+1} - u_n = 3(n+1)-(n+1)^2 - (3n-n^2) = 3 - 2n - 1 = 2 - 2n. \]Ce terme est positif si \(n \le 1\), négatif si \(n \ge 2\). La suite est croissante jusqu'au rang 1, puis décroissante à partir du rang 2.
Soit \(v_n = \dfrac{2^n}{n!}\) pour \(n \ge 1\). Les termes sont positifs :
\[ \frac{v_{n+1}}{v_n} = \frac{2^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{2^n} = \frac{2}{n+1}. \]Ce rapport est inférieur à 1 dès que \(n \ge 2\). Ainsi \((v_n)\) est décroissante à partir du rang 2.
Visualisation : suite \(u_n = an^2 + bn + c\) — monotonie et bornes
courbe de \(f\)
Ajustez \(a\), \(b\), \(c\) pour modifier la suite
Les points représentent les termes \(u_0, u_1, \ldots, u_9\). La courbe en pointillés montre la fonction \(f(x) = ax^2 + bx + c\) dont la suite est la restriction aux entiers.
Vérifier le signe d'une différence sur quelques valeurs numériques ne constitue pas une démonstration. Il faut étudier le signe de l'expression générale \(u_{n+1} - u_n\) en fonction de \(n\), idéalement en factorisant.
Limite d'une suite, convergence, limites usuelles
On dit que la suite \((u_n)\) converge vers le réel \(\ell\) si tout intervalle ouvert contenant \(\ell\) contient tous les termes \(u_n\) à partir d'un certain rang. On note \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\). Une suite qui ne converge vers aucun réel est dite divergente. La limite d'une suite convergente est unique.
Si \(v_n \le u_n \le w_n\) à partir d'un certain rang et si \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} v_n = \lim_{n \to +\infty} w_n = \ell\), alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\).
Toute suite croissante et majorée est convergente. Toute suite décroissante et minorée est convergente. Une suite croissante non majorée diverge vers \(+\infty\). Ces théorèmes ne donnent pas directement la valeur de la limite ; il faut l'identifier par d'autres moyens (équation du point fixe).
Soit \(u_n = \dfrac{\sin n}{n}\). Comme \(-1 \le \sin n \le 1\), on a \(-\dfrac{1}{n} \le u_n \le \dfrac{1}{n}\). Les deux suites encadrantes tendent vers 0, donc \(u_n \to 0\).
Le théorème de la limite monotone garantit l'existence de la limite, pas sa valeur. Écrire « la limite existe, donc \(\ell = 4\) » sans résoudre \(f(x) = x\) est une erreur de logique. Les deux étapes (existence puis identification) sont indépendantes.
Si \(u_n = f(n)\) et si \(f\) admet une limite \(\ell\) (finie ou infinie) quand \(x \to +\infty\), alors \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} u_n = \ell\). Toutes les règles de calcul des limites de fonctions — levée des formes indéterminées, croissances comparées, limites usuelles — s'appliquent directement.
\(u_n = \dfrac{2n+1}{n+1}\). On factorise par \(n\) :
\[ u_n = \frac{n(2 + 1/n)}{n(1 + 1/n)} = \frac{2 + 1/n}{1 + 1/n} \xrightarrow[n \to +\infty]{} \frac{2}{1} = 2. \]
\(v_n = \dfrac{\ln n}{n} \to 0\) car \(\ln n \ll n\) quand \(n \to +\infty\).
\(w_n = n^2 e^{-n} = \dfrac{n^2}{e^n} \to 0\) car les exponentielles l'emportent
sur les puissances.
L'inégalité \(u_n \le v_n\) pour tout \(n\) n'implique pas \(\ell_1 < \ell_2\) (l'inégalité stricte peut devenir large à la limite) ; on obtient seulement \(\ell_1 \le \ell_2\).
Suites récurrentes uₙ₊₁ = f(uₙ) et point fixe
Si la suite \((u_n)\) définie par \(u_{n+1} = f(u_n)\) converge vers un réel \(\ell\) et si \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(\ell\) est un point fixe de \(f\) : \[ f(\ell) = \ell. \] La démarche est donc : montrer que la suite converge (théorème de la limite monotone), puis résoudre \(f(x) = x\) dans l'intervalle stable pour identifier la limite.
- Trouver un intervalle stable \(I\) : montrer que si \(u_n \in I\) alors \(f(u_n) \in I\).
- Montrer par récurrence que \(u_n \in I\) : initialisation, hérédité via la stabilité.
- Étudier la monotonie : souvent via le signe de \(f(x) - x\) sur \(I\).
- Conclure : croissante bornée supérieurement → convergence.
- Identifier \(\ell\) : résoudre \(f(x) = x\) dans \(I\).
Si \(f\) est dérivable sur un intervalle stable \(I\) et si \(|f'(x)| \le k < 1\) pour tout \(x \in I\), alors : \[ |u_{n+1} - \ell| = |f(u_n) - f(\ell)| \le k\,|u_n - \ell|, \qquad |u_n - \ell| \le k^n \,|u_0 - \ell| \xrightarrow[n \to +\infty]{} 0. \] Cette méthode prouve simultanément la convergence et une vitesse de convergence.
On pose \(f(x) = \dfrac{x}{2} + 2\).
Point fixe : \(f(\ell) = \ell \iff \dfrac{\ell}{2} + 2 = \ell \iff \ell = 4\).
Intervalle stable : si \(x \in [0\,;\,4]\), alors \(f(x) \in [2\,;\,4] \subset [0\,;\,4]\).
Monotonie : \(u_{n+1} - u_n = 2 - \dfrac{u_n}{2} \ge 0\) car \(u_n \le 4\) → suite croissante.
Convergence : croissante et majorée par 4 → converge. Par continuité de \(f\), la limite vérifie \(f(\ell) = \ell\), d'où \(\ell = 4\).
Via l'IAF : \(f'(x) = \dfrac{1}{2}\) sur \(\mathbb{R}\), donc \(|u_n - 4| \le \left(\dfrac{1}{2}\right)^n |u_0 - 4| = \dfrac{4}{2^n} \to 0\).
Toile d'araignée — \(u_{n+1} = f(u_n)\), \(f(x) = ax + b\)
\(y = x\)
toile \(u_0, u_1, \ldots\)
point fixe \(\ell\)
Ajustez les paramètres pour visualiser la convergence ou la divergence
La toile d'araignée permet de prévoir graphiquement le comportement de la suite. Depuis \((u_0, 0)\), on monte jusqu'à la courbe de \(f\), puis horizontalement jusqu'à la droite \(y = x\), et ainsi de suite. Si \(|a| < 1\), la suite converge vers le point fixe \(\ell = b/(1-a)\).
Résoudre \(f(x) = x\) sans avoir préalablement prouvé la convergence est sans valeur. Si la suite diverge, un point fixe peut exister sans que la suite ne le rejoigne. On doit d'abord établir la convergence, puis identifier la limite.
Résumé
Initialisation + hérédité dans cet ordre. On suppose \(P(n)\) et on déduit \(P(n+1)\), jamais l'inverse.
Signe de \(u_{n+1} - u_n\), quotient si \(u_n > 0\), variations de \(f\) si explicite, récurrence si récurrente.
Croissante majorée ou décroissante minorée → convergence (admis). Gendarmes : deux suites encadrantes de même limite.
Transférer les limites de fonctions. Croissances comparées : \(\ln n \ll n^\alpha \ll a^n \ll n!\).
Si \((u_n)\) converge et \(f\) est continue en \(\ell\), alors \(f(\ell) = \ell\). Méthode en 5 étapes.
Si \(|f'| \le k < 1\) sur l'intervalle stable : \(|u_n - \ell| \le k^n |u_0 - \ell| \to 0\).
Sujet type Bac
On considère la suite \((u_n)\) définie par \(u_0 = 1\) et, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : \[ u_{n+1} = \frac{u_n^{\,2} + 2}{2\,u_n}. \]
Question 1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\). En déduire une conjecture sur le comportement de la suite.
Les termes semblent décroître et se rapprocher de \(\sqrt{2} \approx 1{,}414\). Conjecture : la suite converge vers \(\sqrt{2}\).
Question 2. Déterminer les points fixes de \(f(x) = \dfrac{x^2+2}{2x}\).
On résout \(f(x) = x\) pour \(x > 0\) :
\[ \frac{x^2 + 2}{2x} = x \iff x^2 + 2 = 2x^2 \iff x^2 = 2 \iff x = \sqrt{2}. \]Question 3. Montrer par récurrence que \(u_n \ge \sqrt{2}\) pour tout \(n \ge 1\).
Initialisation (\(n=1\)) : \(u_1 = 3/2 > \sqrt{2}\). Vrai.
Hérédité : supposons \(u_n \ge \sqrt{2}\). On calcule :
\[ u_{n+1} - \sqrt{2} = \frac{u_n^2 + 2 - 2\sqrt{2}\,u_n}{2u_n} = \frac{(u_n - \sqrt{2})^2}{2u_n} \ge 0. \]Le numérateur est positif ou nul, le dénominateur est positif : \(u_{n+1} \ge \sqrt{2}\).
Question 4. Montrer que la suite est décroissante à partir du rang 1.
Pour \(n \ge 1\), on a \(u_n \ge \sqrt{2} > 0\) :
\[ u_{n+1} - u_n = \frac{u_n^2 + 2 - 2u_n^2}{2u_n} = \frac{2 - u_n^2}{2u_n}. \]Comme \(u_n^2 \ge 2\), on a \(2 - u_n^2 \le 0\) et \(2u_n > 0\) : la suite est décroissante.
Question 5. Conclure sur la convergence et calculer la limite.
À partir du rang 1, la suite est décroissante et minorée par \(\sqrt{2}\). Par le théorème de la limite monotone, elle converge. Sa limite \(\ell\) vérifie \(f(\ell) = \ell\), d'où :
\[ \lim_{n \to +\infty} u_n = \sqrt{2}. \]C'est l'algorithme de Héron, méthode de calcul numérique de \(\sqrt{2}\) connue depuis l'Antiquité. Le nombre de décimales exactes double à chaque itération.