Terminale C · Leçon 2
Calcul différentiel
Dérivabilité à gauche et à droite, points anguleux
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) lorsque le taux d'accroissement admet une limite finie en \(a\) :
\[ f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a} = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]Géométriquement, \(f'(a)\) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d'abscisse \(a\). Cette tangente a pour équation :
\[ y = f'(a)(x - a) + f(a). \]Si la limite est \(\pm\infty\), la courbe admet une tangente verticale en \(a\), mais \(f\) n'y est pas dérivable.
\(f\) est dérivable à droite en \(a\) si la limite suivante existe et est finie :
\[ f'_d(a) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]On définit de même la dérivée à gauche :
\[ f'_g(a) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}. \]\(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si \(f'_d(a)\) et \(f'_g(a)\) existent, sont finies, et sont égales. Leur valeur commune est \(f'(a)\).
Si elles sont finies mais différentes, la courbe présente un point anguleux en \(a\) : deux demi-tangentes distinctes, de pentes \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\).
En pratique, les dérivées latérales servent surtout pour les fonctions définies par morceaux : chaque morceau est dérivable sur son intervalle, et la question se pose uniquement au point de raccord. Si les deux dérivées latérales coïncident, la courbe est « lisse » ; sinon, elle « plie » — c'est le point anguleux.
Soit \(f(x) = |x|\).
- À gauche : \(f'_g(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0^-} \dfrac{-h}{h} = -1\).
- À droite : \(f'_d(0) = \displaystyle\lim_{h \to 0^+} \dfrac{h}{h} = +1\).
Les deux limites sont finies mais \(-1 \neq +1\) : \(f\) n'est pas dérivable en 0. Point anguleux avec demi-tangentes de pentes \(-1\) et \(+1\). Rappel : \(f\) est bien continue en 0.
Sur \(]-1\,;1[\) : \(f(x) = 1 - x^2\), donc \(f'_g(1) = -2\times 1 = -2\).
Sur \(]1\,;+\infty[\) : \(f(x) = x^2 - 1\), donc \(f'_d(1) = 2\times 1 = 2\).
Comme \(-2 \neq 2\) : point anguleux en \(x=1\). Les demi-tangentes ont des pentes opposées — forme en « V ».
Soit \(f(x) = \sqrt[3]{x}\). En \(a = 0\) :
\[\lim_{h \to 0} \frac{h^{1/3}}{h} = \lim_{h \to 0} h^{-2/3} = +\infty.\]La limite est infinie : \(f\) n'est pas dérivable en 0, mais la courbe admet une tangente verticale (l'axe des ordonnées). Ce cas est distinct du point anguleux.
- Point anguleux : dérivées latérales finies et inégales. La courbe « plie » brusquement.
- Tangente verticale : une dérivée latérale (ou les deux) est infinie. La courbe « monte à pic ».
Dans les deux cas, \(f\) est continue mais non dérivable.
Figure interactive — Point anguleux et demi-tangentes
demi-tangente gauche
demi-tangente droite
Choisir un exemple via le sélecteur
Les demi-tangentes matérialisent les pentes \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\). Quand elles diffèrent, la courbe présente un pli visible au point de raccord.
- Vérifier la continuité en \(a\) — condition préalable nécessaire.
- Calculer \(f'_g(a)\) en dérivant l'expression du morceau gauche, évaluée en \(a\).
- Calculer \(f'_d(a)\) de même avec le morceau droit.
- Comparer : égales → dérivable, valeur commune \(= f'(a)\) ; inégales → point anguleux.
Si \(f\) est discontinue en \(a\), inutile de calculer les dérivées latérales — la dérivabilité est déjà exclue.
Soit \(f(x) = \begin{cases} x^2 + 1 & \text{si } x \le 1, \\ 3x - 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}\)
Continuité : \(\lim_{1^-}(x^2+1)=2\), \(\lim_{1^+}(3x-1)=2\), \(f(1)=2\). Continue en 1.
Dérivées latérales : \(f'_g(1) = 2\) et \(f'_d(1) = 3\). Comme \(2 \neq 3\) : point anguleux en \(x=1\).
Soit \(g(x) = \begin{cases} x^2 & \text{si } x \le 1, \\ 2x - 1 & \text{si } x > 1. \end{cases}\)
Continuité : \(\lim_{1^-} x^2 = 1 = \lim_{1^+}(2x-1)\). Continue en 1.
Dérivées latérales : \(g'_g(1) = 2\) et \(g'_d(1) = 2\). Égales : \(g\) est dérivable en 1 et \(g'(1) = 2\). Courbe lisse au raccord.
Dérivées successives, dérivée seconde et concavité
Si \(f\) est dérivable sur \(I\) et si \(f'\) est elle-même dérivable, on appelle dérivée seconde la fonction \(f'' = (f')'\), notée aussi \(f^{(2)}\). On définit par récurrence les dérivées successives :
\[ f^{(0)} = f, \qquad f^{(1)} = f', \qquad f^{(n+1)} = \left(f^{(n)}\right)'. \]On dit que \(f\) est de classe \(\mathcal{C}^n\) sur \(I\) si elle est \(n\) fois dérivable et si \(f^{(n)}\) est continue sur \(I\).
- \(f''(x) > 0\) sur \(I\) : \(f'\) croissante, courbe convexe (forme en U).
- \(f''(x) < 0\) sur \(I\) : \(f'\) décroissante, courbe concave (forme en ∩).
- \(f''\) change de signe en \(a\) avec \(f''(a) = 0\) : point d'inflexion — la tangente traverse la courbe.
Les dérivées de \(\sin\) se répètent avec une période de 4. Pour \(f^{(n)}\), calculer \(n \bmod 4\). Par exemple, \(f^{(17)} = f^{(1)} = \cos\).
En particulier, \(f^{(n)}(x) = n!\) et \(f^{(n+1)} \equiv 0\). Tout polynôme de degré \(n\) a sa dérivée \((n+1)\)-ième identiquement nulle.
Soit \(f(x) = x^3 - 3x^2 + 2\). Alors \(f'(x) = 3x^2 - 6x\) et \(f''(x) = 6(x-1)\).
- \(f''(x) < 0\) pour \(x < 1\) : courbe concave.
- \(f''(x) > 0\) pour \(x > 1\) : courbe convexe.
- \(f''(1) = 0\) avec changement de signe : point d'inflexion en \((1\,;\,0)\).
La dérivée seconde permet deux choses concrètes : confirmer la nature d'un extremum (si \(f'(a)=0\) et \(f''(a) > 0\) → minimum local ; si \(f''(a) < 0\) → maximum local), et localiser les points d'inflexion. Ce critère est souvent plus rapide que l'étude du signe de \(f'\) de part et d'autre.
Figure interactive — Dérivée seconde et concavité
\(f''(x) = 6x - 6\)
point d'inflexion
Cochez les éléments via les cases
La dérivée seconde (verte) change de signe en \(x=1\) : là où elle passe de négatif à positif, la courbe passe de concave à convexe — c'est le point d'inflexion.
Dérivée d'une fonction composée
Si \(u\) est dérivable sur \(I\), à valeurs dans \(J\), et si \(f\) est dérivable sur \(J\), alors \(f \circ u\) est dérivable sur \(I\) et :
\[ (f \circ u)'(x) = u'(x) \times f'(u(x)). \]En notation abrégée : \((f(u))' = u' \cdot f'(u)\). Le facteur \(u'\) est la dérivée intérieure — c'est lui qu'on oublie le plus souvent.
On dérive « de l'extérieur vers l'intérieur » : appliquer la règle de \(f\) en laissant \(u\) intact à l'intérieur, puis multiplier par \(u'\). Identifier qui est « dehors » et qui est « dedans » est le réflexe clé.
| Fonction | Dérivée | Condition |
|---|---|---|
| \(u^n\) (\(n \in \mathbb{Z}\)) | \(n\,u'\,u^{n-1}\) | \(u \neq 0\) si \(n < 0\) |
| \(\sqrt{u}\) | \(\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\) | \(u > 0\) |
| \(u^\alpha\) (\(\alpha \in \mathbb{R}\)) | \(\alpha\,u'\,u^{\alpha-1}\) | \(u > 0\) |
| \(e^u\) | \(u'\,e^u\) | — |
| \(\ln u\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u > 0\) |
| \(\ln|u|\) | \(\dfrac{u'}{u}\) | \(u \neq 0\) |
| \(\sin u\) | \(u'\cos u\) | — |
| \(\cos u\) | \(-u'\sin u\) | — |
Avant d'écrire la dérivée, posez explicitement \(u =\) et \(u' =\) au brouillon. La quasi-totalité des erreurs vient d'un \(u'\) oublié ou d'une mauvaise identification des couches.
\(f(x) = (2x+1)^5\). Poser \(u = 2x+1\), \(u' = 2\) :
\[f'(x) = 5 \times 2 \times (2x+1)^4 = 10(2x+1)^4.\]\(g(x) = \sqrt{x^2 + 3}\). Poser \(u = x^2+3\), \(u' = 2x\) :
\[g'(x) = \frac{2x}{2\sqrt{x^2+3}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+3}}.\]\(h(x) = e^{-x^2}\). Poser \(u = -x^2\), \(u' = -2x\) :
\[h'(x) = -2x\,e^{-x^2}.\]\(k(x) = \ln(x^2 + 1)\). Poser \(u = x^2+1 > 0\), \(u' = 2x\) :
\[k'(x) = \frac{2x}{x^2+1}.\]\(m(x) = e^{\sin x}\). Couche extérieure \(\exp\), intérieure \(\sin x\). Poser \(u = \sin x\), \(u' = \cos x\) :
\[m'(x) = \cos x \cdot e^{\sin x}.\]Vérification en \(x=0\) : \(m'(0) = 1 \cdot e^0 = 1\). La tangente en 0 est \(y = x + 1\).
\(p(x) = x^{2/3}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Poser \(\alpha = 2/3\) :
\[p'(x) = \frac{2}{3} \cdot x^{-1/3} = \frac{2}{3x^{1/3}}.\]- Oublier \(u'\) : écrire \((\ln(x^2+1))' = \dfrac{1}{x^2+1}\) au lieu de \(\dfrac{2x}{x^2+1}\). Le \(u'\) au numérateur est systématiquement oublié par les élèves qui récitent la formule sans l'avoir comprise.
- Confondre les couches : pour \((e^{\sin x})'\), écrire \(e^{\cos x}\) — en dérivant l'intérieur là où on aurait dû dériver l'extérieur. La fonction extérieure reste appliquée à \(u\) après dérivation.
Inégalité des accroissements finis
Soit \(f\) dérivable sur \(I\). S'il existe \(M \ge 0\) tel que \(|f'(t)| \le M\) pour tout \(t \in I\), alors :
\[ \forall\, a, b \in I,\quad |f(b) - f(a)| \le M\,|b - a|. \]Si la pente est bornée, la variation de \(f\) est bornée en proportion de la variation de \(x\).
Si \(m \le f'(t) \le M\) pour tout \(t \in [a\,;b]\) (avec \(a < b\)), alors :
\[ m(b-a) \le f(b) - f(a) \le M(b-a). \]La pente de la corde reliant \((a\,;\,f(a))\) à \((b\,;\,f(b))\) est encadrée par les valeurs extrêmes de \(f'\) sur \([a\,;b]\).
Seule l'inégalité des accroissements finis est exigible en série C. Le théorème de Rolle et le théorème des accroissements finis au sens strict (« égalité », \(f(b)-f(a) = (b-a)f'(c)\)) sont hors programme.
Soit \(f(t) = \sqrt{t}\) sur \([100\,;101]\). On a \(f'(t) = \dfrac{1}{2\sqrt{t}}\).
Sur \([100\,;101]\) : \(\dfrac{1}{22} \le f'(t) \le \dfrac{1}{20}\). La forme encadrement donne :
\[\frac{1}{22} \le \sqrt{101} - 10 \le \frac{1}{20}, \quad \text{soit} \quad 10{,}04\overline{5} \le \sqrt{101} \le 10{,}05.\]Valeur exacte : \(\sqrt{101} \approx 10{,}0499\) — bien dans l'encadrement.
Pour \(f(t) = \sin t\) : \(|f'(t)| = |\cos t| \le 1\). La forme majoration avec \(a = 0\) donne :
\[|\sin x| \le 1 \times |x| = |x|.\]Résultat souvent utilisé dans les gendarmes, démontré ici en deux lignes.
Pour \(f(t) = e^t\) : \(f'(t) = e^t \ge 1\) pour \(t \ge 0\). La forme encadrement avec \(a=0\), \(b=x\) (\(x \ge 0\)) :
\[e^x - 1 \ge x, \quad \text{soit} \quad e^x \ge 1 + x.\]On retrouve ainsi l'inégalité tangente sans étude de signe.
- Identifier la fonction \(f\) et l'intervalle \([a\,;b]\).
- Calculer \(f'(t)\) et l'encadrer sur \([a\,;b]\) : \(m \le f'(t) \le M\).
- Appliquer : \(m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)\).
- Interpréter : si \(f(a)\) est connu, en déduire un encadrement de \(f(b)\).
Figure interactive — Inégalité des accroissements finis sur \(\sqrt{t}\)
corde \([a\,;b]\)
droites de pentes \(m\) et \(M\)
Déplacer les curseurs pour changer \(a\) et \(b\)
La corde relie \((a\,;\,\sqrt{a})\) à \((b\,;\,\sqrt{b})\). Les deux droites vertes en pointillés correspondent aux pentes extrêmes \(m\) et \(M\) de \(f'\) sur \([a\,;b]\) : la corde reste toujours entre elles.
Primitives : définition, primitives usuelles
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\). Une fonction \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) lorsque \(F\) est dérivable sur \(I\) et \(F' = f\). Primitiver \(f\), c'est « remonter » d'une dérivée vers la fonction d'origine.
Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet des primitives sur \(I\).
Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), les primitives de \(f\) sont exactement les fonctions \(F + C\), avec \(C \in \mathbb{R}\).
Pour tout \(x_0 \in I\) et tout réel \(y_0\), il existe une unique primitive \(F\) vérifiant \(F(x_0) = y_0\). La condition initiale détermine entièrement \(C\).
| \(f(x)\) | Une primitive \(F(x)\) | Validité |
|---|---|---|
| \(k\) (constante) | \(kx\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n\) (\(n \in \mathbb{Z},\; n \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\) | \(\mathbb{R}\) ou sans 0 |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\ln|x|\) | \(]0;+\infty[\) ou \(]-\infty;0[\) |
| \(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\) | \(2\sqrt{x}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(x^\alpha\) (\(\alpha \neq -1\)) | \(\dfrac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(e^x\) | \(e^x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\cos x\) | \(\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin x\) | \(-\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{\cos^2 x}\) | \(\tan x\) | Intervalles \(\big]{-\frac{\pi}{2}+k\pi}\,;\frac{\pi}{2}+k\pi\big[\) |
Primitives de fonctions composées (forme u′·g(u))
| Forme de \(f\) | Primitive |
|---|---|
| \(u'\,u^n\) (\(n \neq -1\)) | \(\dfrac{u^{n+1}}{n+1}\) |
| \(\dfrac{u'}{u}\) | \(\ln|u|\) |
| \(u'\,e^u\) | \(e^u\) |
| \(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) | \(2\sqrt{u}\) |
| \(\dfrac{u'}{u^2}\) | \(-\dfrac{1}{u}\) |
| \(u'\cos u\) | \(\sin u\) |
| \(u'\sin u\) | \(-\cos u\) |
\(f(x) = 2x\,e^{x^2}\). Poser \(u = x^2\), \(u' = 2x\) — c'est exactement \(u'e^u\) :
\[F(x) = e^{x^2} + C.\]Vérification : \(F'(x) = 2x\,e^{x^2} = f(x)\).
\(g(x) = \dfrac{x}{x^2+1} = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{2x}{x^2+1}\). Poser \(u = x^2+1\), \(u' = 2x\) :
\[G(x) = \frac{1}{2}\ln(x^2+1) + C.\]Primitive vérifiant \(G(0) = 1\) : \(G(0) = 0 + C = 1\), donc \(G(x) = \dfrac{1}{2}\ln(x^2+1) + 1\).
\(h(x) = x(x^2+3)^4\). Poser \(u = x^2+3\), \(u' = 2x\), donc \(x = \dfrac{u'}{2}\) :
\[H(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+3)^5}{5} + C = \frac{(x^2+3)^5}{10} + C.\]\(k(x) = \dfrac{\cos x}{\sqrt{\sin x}}\) sur un intervalle où \(\sin x > 0\). Poser \(u = \sin x\), \(u' = \cos x\) :
\[K(x) = 2\sqrt{\sin x} + C.\]La primitive trouvée par reconnaissance de forme doit toujours être vérifiée en dérivant. Une erreur sur la constante multiplicative passe inaperçue à la lecture, mais trahit immédiatement à la dérivation.
Des intégrales comme \(\displaystyle\int \sqrt{1-x^2}\,dx\) ou \(\displaystyle\int e^x \cos x\,dx\) nécessitent substitution trigonométrique ou intégration par parties — vues dans le chapitre suivant. Pour le Bac série C, les exercices restent dans le cadre de la reconnaissance de formes.
Résumé
Dérivable en \(a\) ssi \(f'_g(a) = f'_d(a)\). Finies et inégales → point anguleux. Infinie → tangente verticale.
\(f'' > 0\) : convexe (U). \(f'' < 0\) : concave (∩). \(f''\) change de signe → inflexion.
\((f(u))' = u' \cdot f'(u)\). Ne jamais oublier \(u'\). Identifier \(u\) et \(u'\) au brouillon avant d'appliquer.
\(|f'| \le M \Rightarrow |f(b)-f(a)| \le M|b-a|\). Forme encadrement : \(m(b-a) \le f(b)-f(a) \le M(b-a)\).
Toute fonction continue admet des primitives. Deux primitives diffèrent d'une constante. Condition initiale → primitive unique.
Reconnaître \(u'u^n\), \(u'/u\), \(u'e^u\), \(u'/\sqrt{u}\). Ajuster la constante multiplicative. Toujours vérifier en dérivant.
Sujet type Bac
Énoncé : Soit la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[ f(x) = \begin{cases} x^2 + 2x & \text{si } x \le 0, \\ e^{-x} - 1 & \text{si } x > 0. \end{cases} \]1. Étudier la continuité de \(f\) en \(x = 0\).
2. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(x = 0\).
3. Calculer \(f'(x)\) sur \(]-\infty\,;0[\) et \(]0\,;+\infty[\).
4. Déterminer une primitive \(F\) de \(f\) sur \(]0\,;+\infty[\) vérifiant \(F(0) = 2\).
5. Montrer que \(|f(x)| \le 2|x|\) pour tout \(x \in [-1\,;0]\) par l'inégalité des accroissements finis.
Partie 1 — Continuité en 0.
- \(\displaystyle\lim_{x\to 0^-}(x^2+2x) = 0\) et \(f(0) = 0\).
- \(\displaystyle\lim_{x\to 0^+}(e^{-x}-1) = 0\).
Les trois valeurs coïncident : \(f\) est continue en 0.
Partie 2 — Dérivabilité en 0.
\(f'_g(0) = (2x+2)\big|_{x=0} = 2\) et \(f'_d(0) = (-e^{-x})\big|_{x=0} = -1\).
Comme \(2 \neq -1\) : \(f\) est non dérivable en 0. Point anguleux, demi-tangentes de pentes \(2\) et \(-1\).
Partie 3 — Dérivée sur chaque intervalle.
Sur \(]-\infty\,;0[\) : \(f'(x) = 2x + 2\). Sur \(]0\,;+\infty[\) : \(f'(x) = -e^{-x}\).
En \(x=0\), la dérivée n'est pas définie.
Partie 4 — Primitive sur \(]0\,;+\infty[\).
Sur \(]0\,;+\infty[\), \(f(x) = e^{-x} - 1\). Primitivons terme à terme :
- \(e^{-x}\) : forme \(u'e^u\) avec \(u=-x\), \(u'=-1\) → primitive \(-e^{-x}\).
- \(-1\) → primitive \(-x\).
Condition \(F(0) = 2\) : \(-1 + C = 2\), donc \(C = 3\).
\[F(x) = -e^{-x} - x + 3.\]Vérification : \(F'(x) = e^{-x} - 1 = f(x)\).
Partie 5 — Inégalité des accroissements finis.
Sur \([-1\,;0]\) : \(f'(x) = 2x+2\). Pour \(x \in [-1\,;0]\) : \(0 \le f'(x) \le 2\), donc \(|f'(x)| \le 2\).
La forme majoration avec \(a=0\), \(b=x \in [-1\,;0]\) donne :
\[|f(x) - f(0)| \le 2|x - 0|, \quad \text{soit} \quad |f(x)| \le 2|x|,\]puisque \(f(0) = 0\).