Statistiques à deux variables

Exercice 2 — Régression linéaire

Chiffre d'affaires (en millions de FCFA) d'une entreprise sur 5 ans :

Formules : $a=\dfrac{\overline{xy}-\bar{x}\bar{y}}{\overline{x^2}-\bar{x}^2}$   $b=\bar{y}-a\bar{x}$

1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $\overline{xy}$, $\overline{x^2}$.

2. Déterminer la droite de régression $y=ax+b$.

3. Prévision pour l'année 6 et l'année 8.

Exercice 1 — Point moyen

Soit la série $(1\,;3)$, $(2\,;5)$, $(3\,;7)$, $(4\,;9)$. Calculer $\bar x$ et $\bar y$.

Exercice 2 — Sommes préparatoires

Pour la série $(1\,;3)$, $(2\,;5)$, $(3\,;7)$, $(4\,;9)$, calculer $\sum x_iy_i$ et $\sum x_i^2$.

Exercice 4 — Production agricole

Production de coton (tonnes) dans une province du Burkina selon la pluviométrie (mm) :

1. Calculer les paramètres de la droite de régression de $y$ en $x$.

2. Calculer $r$ et conclure sur la qualité de l'ajustement.

3. Estimer la production pour $x=750$ mm et $x=1000$ mm.

4. Calculer les résidus $e_i=y_i-\hat{y}_i$ et commenter.

Exercice 6 — Ajustement puissance

Revenus $x$ (milliers FCFA) et dépenses en alimentation $y$ selon la loi de puissance $y=ax^b$ :

1. Linéariser par $\ln y=\ln a+b\ln x$.  2. Régression de $\ln y$ en $\ln x$.  3. Déduire $a$, $b$.  4. Prévision pour $x=600$.  5. Comparer avec ajustement logarithmique $y=\alpha\ln x+\beta$.

Exercice 3 — Droite de régression

Pour la série $(1\,;3)$, $(2\,;5)$, $(3\,;7)$, $(4\,;9)$, calculer $\text{cov}(x,y)$ et $V(x)$, puis en déduire les coefficients $a$ et $b$ de la droite de régression $y=ax+b$.

Exercice 9 — Problème type Bac Burkina Faso

On étudie la relation entre le nombre d'années d'expérience $x$ et le salaire mensuel $y$ (en milliers de FCFA) de 7 employés :

Partie A — Ajustement linéaire

1. Calculer $\bar{x}$, $\bar{y}$, $r$, droite de régression $\hat{y}=ax+b$.

2. Prévision pour $x=15$ ans. Discuter la fiabilité.

Partie B — Ajustement exponentiel

3. Poser $Y=\ln y$ : trouver la droite de régression de $Y$ en $x$.

4. Comparer les deux modèles via leur coefficient $r$. Lequel choisir ?

Partie C — Application

5. Avec le meilleur modèle, après combien d'années le salaire dépasse-t-il 300 k FCFA ?

Exercice 4 — Coefficient de corrélation

Pour la série $(2\,;1)$, $(4\,;3)$, $(6\,;4)$, $(8\,;7)$, $(10\,;8)$, calculer $\bar x$, $\bar y$, $\text{cov}(x,y)$, $V(x)$, $V(y)$ et le coefficient de corrélation $r$. Conclure sur la qualité de l'ajustement affine.

Exercice 5 — Régression et extrapolation

En utilisant $\bar x=6$, $\bar y=4{,}6$, $\text{cov}(x,y)=7{,}2$ et $V(x)=8$ (résultats de l'exercice précédent), déterminer l'équation de la droite de régression de $y$ en $x$, puis estimer $y$ pour $x=12$.

Exercice 6 — Méthode de Mayer

Un nuage de $6$ points, trié par abscisses croissantes, donne deux sous-nuages : $\{(1;2),(2;3),(3;5)\}$ et $\{(6;10),(7;12),(8;13)\}$. Déterminer la droite de Mayer, puis vérifier qu'elle passe par le point moyen global $G$.

Dans un repère du plan, on considère le nuage des cinq points \(M_i(x_i;\,y_i)\) donnés par le tableau suivant.

On note \(G\) le point moyen du nuage. Pour une droite d'équation \(y=ax+b\), on appelle écart au point \(M_i\) le nombre \(e_i=y_i-(ax_i+b)\). On rappelle que la droite de régression de \(y\) en \(x\) est la droite qui rend la plus petite possible la somme des carrés des écarts.

1) Calcule les coordonnées du point \(G\).

2) Pour tout réel \(a\), on note \(D_a\) la droite de coefficient directeur \(a\) qui passe par \(G\), et \(S(a)\) la somme des carrés des cinq écarts pour cette droite. Écris une équation de \(D_a\), exprime les cinq écarts en fonction de \(a\), puis démontre que \(S(a)=10a^2-40a+50\).

3) Étudie les variations de la fonction \(S\) sur \(\mathbb{R}\). Déduis-en la valeur de \(a\) pour laquelle \(S(a)\) est minimale, la valeur de ce minimum, et une équation de la droite correspondante, notée \(D\).

4) Calcule la variance \(V(x)\) et la covariance \(\mathrm{cov}(x,y)\) à l'aide des écarts aux moyennes, puis vérifie que les formules \(a=\dfrac{\mathrm{cov}(x,y)}{V(x)}\) et \(b=\overline{y}-a\overline{x}\) redonnent la droite \(D\).

5) Calcule les cinq écarts pour la droite \(D\) et vérifie que leur somme est nulle. Pour tout réel \(k\), on note \(\Delta_k\) la droite d'équation \(y=2x+1+k\). Démontre que la somme des carrés des écarts pour \(\Delta_k\) vaut \(10+5k^2\), puis interprète ce résultat.

6) Calcule la variance \(V(y)\), puis le coefficient de corrélation linéaire \(r\), arrondi au centième. Vérifie que le minimum trouvé à la question 3 est égal à \(5\,V(y)(1-r^2)\) et interprète cette égalité.

Un groupement de productrices de beurre de karité a relevé sa production pendant sept années consécutives. On note \(x\) le rang de l'année et \(y\) la production, en tonnes.

On donne les sommes suivantes, obtenues à la calculatrice : \(\sum x_i=28\), \(\sum y_i=98\), \(\sum x_i^2=140\), \(\sum y_i^2=1522\) et \(\sum x_iy_i=455\).

1) Calcule les coordonnées du point moyen \(G\) du nuage.

2) Méthode de Mayer. On note \(G_1\) le point moyen des trois premiers points et \(G_2\) le point moyen des quatre derniers. Calcule les coordonnées de \(G_1\) et de \(G_2\), puis détermine une équation de la droite \((G_1G_2)\).

3) Démontre que \(3\overrightarrow{GG_1}+4\overrightarrow{GG_2}=\overrightarrow{0}\). Que représente le point \(G\) pour les points \(G_1\) et \(G_2\) ? Explique pourquoi la droite de Mayer passe par \(G\), bien que les deux groupes n'aient pas le même effectif.

4) Méthode des moindres carrés. Calcule \(V(x)\) et \(\mathrm{cov}(x,y)\), puis détermine une équation de la droite de régression \(D\) de \(y\) en \(x\).

5) Calcule le coefficient de corrélation linéaire \(r\), arrondi au centième. Un ajustement affine est-il justifié ?

6) Estime, avec chacune des deux droites, la production de l'année de rang 10 et donne l'écart entre les deux estimations. D'après la droite \(D\), quel est le rang de la première année où la production dépasserait 35 tonnes ? Dis pourquoi ces prévisions restent fragiles.

En travaux pratiques de physique, on suspend des masses à un ressort et on mesure sa longueur. On note \(x\) la masse suspendue, en grammes, et \(y\) la longueur du ressort, en millimètres.

Pour alléger les calculs, on pose \(u_i=\dfrac{x_i-200}{50}\).

1) Calcule les cinq valeurs \(u_i\), puis les moyennes \(\overline{u}\) et \(\overline{y}\), la variance \(V(u)\) et la covariance \(\mathrm{cov}(u,y)\).

2) Détermine une équation de la droite de régression de \(y\) en \(u\), sous la forme \(y=\alpha u+\beta\).

3) Cas général. Soit \(h\) un réel strictement positif et \(x_0\) un réel ; on suppose que \(x_i=hu_i+x_0\) pour tout \(i\). Démontre que \(\overline{x}=h\overline{u}+x_0\), puis que \(V(x)=h^2V(u)\) et \(\mathrm{cov}(x,y)=h\,\mathrm{cov}(u,y)\).

4) Déduis des questions 2 et 3 une équation de la droite de régression \(D\) de \(y\) en \(x\), sous la forme \(y=ax+b\). Retrouve cette équation en remplaçant \(u\) par son expression dans l'équation de la question 2.

5) Démontre que le coefficient de corrélation linéaire de \(x\) et \(y\) est égal à celui de \(u\) et \(y\), puis calcule-le, arrondi au millième.

6) Interprète les coefficients \(a\) et \(b\) pour le ressort. Estime la longueur du ressort pour une masse de 220 grammes, puis la masse qui donnerait une longueur de \(166{,}4\) millimètres. Laquelle de ces deux estimations est la plus sûre ? Justifie.

Soit \(n\) un entier naturel supérieur ou égal à 2. Dans un repère du plan, on considère le nuage des \(n\) points \(M_k(k;\,k^2)\), pour \(k\) allant de 1 à \(n\) : ici \(x_k=k\) et \(y_k=k^2\). On admet que \(1+2+\dots+n=\dfrac{n(n+1)}{2}\) et que \(1^2+2^2+\dots+n^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\).

1) Démontre par récurrence que, pour tout entier \(n\geq 1\), \(1^3+2^3+\dots+n^3=\dfrac{n^2(n+1)^2}{4}\).

2) Exprime en fonction de \(n\) les coordonnées \(\overline{x}\) et \(\overline{y}\) du point moyen du nuage.

3) Démontre que \(V(x)=\dfrac{(n-1)(n+1)}{12}\) et que \(\mathrm{cov}(x,y)=\dfrac{(n-1)(n+1)^2}{12}\).

4) Déduis-en que la droite de régression de \(y\) en \(x\) a pour équation \(y=(n+1)x-\dfrac{(n+1)(n+2)}{6}\).

5) Dans cette question et la suivante, \(n=5\). Écris l'équation de la droite de régression \(D\), calcule les cinq écarts \(e_k=y_k-(ax_k+b)\), leur somme, puis la somme de leurs carrés.

6) Étudie le signe de \(x^2-6x+7\) sur \(\mathbb{R}\) et déduis-en la position de chaque point du nuage par rapport à \(D\). Calcule ensuite le coefficient de corrélation linéaire \(r\), arrondi au centième. Un coefficient proche de 1 prouve-t-il que les points d'un nuage sont répartis au hasard autour d'une droite ?