Probabilités

Exercice 1 — Tirage dans une urne

Une urne contient 4 boules rouges et 6 boules vertes, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard.

1. Calculer la probabilité $P(R)$ de tirer une boule rouge.
2. En déduire $P(\overline{R})$, la probabilité de ne pas tirer une boule rouge.
3. On remet la boule tirée dans l'urne, puis on tire une seconde boule. Calculer la probabilité de tirer une boule rouge aux deux tirages.

Exercice 2 — Réunion de deux événements

On lance un dé cubique équilibré à 6 faces. Soit $A$ l'événement « obtenir un nombre pair » et $B$ l'événement « obtenir un multiple de 3 ».

1. Calculer $P(A)$ et $P(B)$.
2. Décrire l'événement $A \cap B$ et calculer $P(A \cap B)$.
3. En déduire $P(A \cup B)$.

Exercice 3 — Tirages sans remise

Une urne contient 5 boules blanches et 3 boules noires. On tire successivement et sans remise deux boules. Soit $N_1$ l'événement « la 1ʳᵉ boule est noire » et $N_2$ « la 2ᵉ boule est noire ».

1. Calculer $P(N_2 \mid N_1)$.
2. En déduire $P(N_1 \cap N_2)$.
3. Calculer $P(N_2)$ (on pourra utiliser une partition selon l'issue du premier tirage). Les événements $N_1$ et $N_2$ sont-ils indépendants ?

Exercice 4 — Deux machines de production

Une usine produit des pièces sur deux machines : la machine $A$ fournit $70\%$ de la production, la machine $B$ fournit $30\%$. Le taux de pièces défectueuses est de $2\%$ pour la machine $A$ et de $5\%$ pour la machine $B$. On prélève une pièce au hasard dans la production totale et on note $D$ l'événement « la pièce est défectueuse ».

1. Calculer $P(A\cap D)$ et $P(B\cap D)$.
2. En déduire $P(D)$.
3. La pièce prélevée est défectueuse. Calculer la probabilité qu'elle provienne de la machine $B$.

Exercice 5 — Test qualité répété

Sur une chaîne de production, chaque pièce testée est conforme avec la probabilité $p = 0{,}8$, indépendamment des autres. On teste $n=4$ pièces. Soit $X$ le nombre de pièces conformes parmi les 4.

1. Justifier que $X$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(4\,;0{,}8)$.
2. Calculer $P(X=3)$ puis $P(X=4)$.
3. En déduire $P(X\geqslant 3)$.

Exercice 6 — Un jeu est-il favorable au joueur ?

Un jeu coûte 2 points de mise. On lance un dé cubique équilibré : si on obtient 6, le joueur reçoit 6 points ; sinon il ne reçoit rien. Soit $X$ le gain net du joueur (mise déduite).

1. Donner la loi de probabilité de $X$.
2. Calculer l'espérance mathématique $E(X)$.
3. Calculer la variance $V(X)$ puis l'écart-type $\sigma(X)$.
4. Le jeu est-il favorable au joueur ? Justifier.

Soit \(n\) un entier naturel non nul. Une urne contient 3 boules rouges et \(n\) boules noires, indiscernables au toucher. On tire simultanément deux boules de l'urne ; tous les tirages ont la même probabilité. On note \(p_n\) la probabilité de l'événement « les deux boules tirées sont de couleurs différentes ».

1) Exprime en fonction de \(n\) le nombre de tirages possibles, puis démontre que \(p_n=\dfrac{6n}{(n+2)(n+3)}\).

2) Soit \(f\) la fonction définie sur \([1\,;+\infty[\) par \(f(x)=\dfrac{6x}{x^2+5x+6}\). Calcule \(f'(x)\), étudie son signe et donne les variations de \(f\).

3) Calcule \(p_2\) et \(p_3\). Déduis de la question 2 les valeurs de \(n\) pour lesquelles la probabilité \(p_n\) est la plus grande, et donne cette probabilité maximale.

4) Détermine la limite de la suite \((p_n)\) et interprète ce résultat.

5) Dans cette question et la suivante, \(n=3\). On note \(X\) la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges tirées. Détermine la loi de probabilité de \(X\), puis calcule son espérance \(E(X)\).

6) On note \(F\) la fonction de répartition de \(X\), définie pour tout réel \(x\) par \(F(x)=p(X\leq x)\). Donne l'expression de \(F(x)\) selon les valeurs de \(x\) et décris sa représentation graphique.

Chaque soir, Awa révise une seule matière : les mathématiques ou la physique. Le premier soir, elle révise les mathématiques. Ensuite, si elle a révisé les mathématiques un soir, elle les révise encore le lendemain avec la probabilité \(\dfrac{1}{5}\) ; si elle a révisé la physique un soir, elle révise les mathématiques le lendemain avec la probabilité \(\dfrac{4}{5}\). Pour tout entier \(n\geq 1\), on note \(M_n\) l'événement « Awa révise les mathématiques le \(n\)-ième soir » et \(p_n=p(M_n)\). Ainsi \(p_1=1\).

1) Décris l'arbre pondéré qui représente les soirs 2 et 3, puis calcule \(p_2\) et \(p_3\).

2) Soit \(n\geq 1\). L'événement \(M_{n+1}\) est la réunion des deux événements incompatibles \(M_n\cap M_{n+1}\) et \(\overline{M_n}\cap M_{n+1}\). Démontre que \(p_{n+1}=-\dfrac{3}{5}\,p_n+\dfrac{4}{5}\).

3) Pour tout entier \(n\geq 1\), on pose \(u_n=p_n-\dfrac{1}{2}\). Démontre que la suite \((u_n)\) est géométrique, puis exprime \(p_n\) en fonction de \(n\).

4) Détermine la limite de la suite \((p_n)\) et interprète-la. La suite \((p_n)\) est-elle monotone ? Justifie.

5) Détermine, à l'aide du logarithme népérien, le plus petit entier \(n\) tel que \(\left|p_n-\dfrac{1}{2}\right|\lt\dfrac{1}{100}\).

6) On sait qu'Awa a révisé les mathématiques le troisième soir. En revenant à la définition d'une probabilité conditionnelle, calcule la probabilité qu'elle ait révisé les mathématiques le deuxième soir, et commente.

À l'entraînement, une basketteuse réussit chaque lancer franc avec la probabilité \(\dfrac{3}{4}\), et les lancers sont indépendants les uns des autres.

1) Elle effectue 4 lancers. On note \(X\) le nombre de lancers réussis. Justifie que \(X\) suit une loi binomiale dont tu préciseras les paramètres, puis dresse le tableau de la loi de probabilité de \(X\).

2) Calcule la probabilité qu'elle réussisse au moins 3 lancers. Calcule ensuite l'espérance \(E(X)\) à partir du tableau, compare avec la formule de l'espérance d'une loi binomiale et interprète le résultat.

3) Elle effectue maintenant \(n\) lancers, où \(n\) est un entier naturel non nul. On note \(r_n\) la probabilité qu'elle manque au moins un lancer. Exprime \(r_n\) en fonction de \(n\), puis détermine, à l'aide du logarithme népérien, le plus petit entier \(n\) tel que \(r_n\geq 0{,}95\).

4) Pour tout entier \(k\geq 1\), on note \(q_k\) la probabilité que le premier lancer manqué soit le \(k\)-ième. Calcule \(q_1\), \(q_2\) et \(q_3\), exprime \(q_k\) en fonction de \(k\) et démontre que la suite \((q_k)\) est géométrique.

5) Démontre que, pour tout entier \(n\geq 1\), \(q_1+q_2+\dots+q_n=1-\left(\dfrac{3}{4}\right)^n\). Explique pourquoi ce résultat était prévisible sans calcul.

On lance deux fois de suite un dé tétraédrique équilibré dont les quatre faces sont numérotées 1, 2, 3 et 4. Le résultat est le couple \((a\,;b)\), où \(a\) est le numéro obtenu au premier lancer et \(b\) le numéro obtenu au second ; tous les couples ont la même probabilité. On note \(A\) l'événement « \(a\) est pair », \(B\) l'événement « \(a+b=5\) » et \(X\) la variable aléatoire égale au plus grand des deux numéros obtenus (au numéro commun si \(a=b\)).

1) Combien y a-t-il de résultats possibles ? Calcule \(p(A)\), \(p(B)\) et \(p(A\cap B)\). Les événements \(A\) et \(B\) sont-ils indépendants ?

2) Soit \(k\) un entier compris entre 1 et 4. Démontre que \(p(X\leq k)=\dfrac{k^2}{16}\).

3) Déduis de la question 2 la loi de probabilité de \(X\).

4) Calcule l'espérance \(E(X)\), la variance \(V(X)\) et l'écart-type de \(X\).

5) On note \(C\) l'événement \((X=4)\). Calcule \(p(A\cap C)\), puis la probabilité de \(A\) sachant \(C\). Les événements \(A\) et \(C\) sont-ils indépendants ? Interprète.

6) On répète trois fois, de façon indépendante, cette expérience de deux lancers. Calcule la probabilité que l'événement \(C\) soit réalisé exactement deux fois.