Nombres complexes — Travaux pratiques

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Exercice 1 — Produit sous forme algébrique

Calculer $(2+3i)(1-2i)$ sous forme algébrique.

Exercice 2 — Module et argument

Déterminer le module et un argument de $z = -1+i\sqrt{3}$.

Exercice 1 — Équation du second degré

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2+2z+5=0$.

Exercice 2 — Équation du second degré

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^2-4z+13=0$.

Exercice 3 — Quotient et conjugué

Écrire sous forme algébrique $z = \dfrac{3-i}{1+2i}$, puis déterminer son conjugué $\bar z$.

Exercice 3 — Équation de degré 3

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l'équation $z^3-4z^2+6z-4=0$, sachant qu'elle admet une racine réelle évidente.

Exercice 4 — Racines carrées d'un complexe

Déterminer les racines carrées de $-3+4i$.

Exercice 5 — Puissance via la formule de Moivre

Calculer $(1+i)^8$ en utilisant la forme trigonométrique.

Exercice 6 — Linéarisation par les formules d'Euler

Linéariser $\cos^2\theta\sin\theta$ (l'exprimer comme somme de sinus/cosinus d'angles multiples de $\theta$).

Exercice 4 — Racines cubiques de l'unité et $z^3=8$

Déterminer les racines cubiques de l'unité et vérifier que leur somme est nulle. En déduire les solutions de $z^3=8$.

Exercice 5 — Nature d'un triangle

Soit $A(1+i)$, $B(4+2i)$, $C(4i)$. Déterminer la nature du triangle $ABC$.

Exercice 6 — Lieu géométrique

Déterminer l'ensemble des points $M$ d'affixe $z$ tels que $\dfrac{z-2i}{z+2}$ soit un réel non nul.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct. Pour tout nombre complexe \(z\), on pose \(P(z)=z^3-(4+8i)z^2+(-14+24i)z+32+4i\).

1) Soit \(y\) un réel. Calcule la partie réelle et la partie imaginaire de \(P(iy)\). Déduis-en que \(P\) admet une seule racine imaginaire pure, \(z_0=2i\).

2) Détermine les nombres complexes \(a\) et \(b\) tels que, pour tout complexe \(z\), \(P(z)=(z-2i)(z^2+az+b)\).

3) Détermine, par la méthode algébrique, les racines carrées du nombre complexe \(-12-16i\).

4) Résous dans \(\mathbb{C}\) l'équation \(z^2-(4+6i)z-2+16i=0\), puis donne l'ensemble des solutions de l'équation \(P(z)=0\).

5) On note \(A\), \(B\) et \(C\) les points d'affixes \(z_A=2i\), \(z_B=3+i\) et \(z_C=1+5i\). Écris le quotient \(\dfrac{z_C-z_A}{z_B-z_A}\) sous forme algébrique, puis déduis-en la nature du triangle \(ABC\).

6) Soit \(D\) le point d'affixe \(z_D=4+4i\). Démontre que le quadrilatère \(ABDC\) est un carré, puis donne le centre et le rayon du cercle qui passe par ses quatre sommets.

Le plan complexe est muni d'un repère orthonormé direct d'origine \(O\). On pose \(a=-8+8i\sqrt{3}\) et on veut résoudre dans \(\mathbb{C}\) l'équation \((E)\) : \(z^4=a\).

1) Calcule le module et un argument de \(a\), puis écris \(a\) sous forme trigonométrique.

2) On pose \(z_0=\sqrt{3}+i\). Calcule le module et un argument de \(z_0\), puis démontre avec la formule de Moivre que \(z_0\) est une solution de \((E)\).

3) Donne les racines quatrièmes de l'unité. Démontre qu'un complexe \(z\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(\dfrac{z}{z_0}\) est une racine quatrième de l'unité, puis écris les quatre solutions de \((E)\) sous forme algébrique.

4) On note \(M_0\), \(M_1\), \(M_2\) et \(M_3\) les points dont les affixes sont \(z_0\), \(iz_0\), \(-z_0\) et \(-iz_0\). Démontre que \(M_0M_1M_2M_3\) est un carré de centre \(O\), puis calcule la longueur de son côté et son aire.

5) Calcule la somme et le produit des quatre solutions de \((E)\). Compare ce produit au nombre \(a\).

6) Détermine le plus petit entier \(n\geq 1\) tel que \(z_0^n\) soit un réel strictement positif, et calcule ce réel. Explique pourquoi il est égal à \(a^3\).

Dans tout l'exercice, \(x\) désigne un nombre réel. On rappelle l'identité \((a+b)^4=a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+b^4\) et les formules d'Euler : \(\cos x=\dfrac{e^{ix}+e^{-ix}}{2}\), \(\sin x=\dfrac{e^{ix}-e^{-ix}}{2i}\). On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=\cos^4x+\sin^4x\).

1) En développant \((\cos x+i\sin x)^4\) et en utilisant la formule de Moivre, démontre que \(\cos 4x=8\cos^4x-8\cos^2x+1\).

2) En prenant \(x=\dfrac{\pi}{8}\) dans la question 1, détermine la valeur exacte de \(\cos^2\dfrac{\pi}{8}\), puis celle de \(\cos\dfrac{\pi}{8}\).

3) À l'aide des formules d'Euler, démontre que \(\cos^4x=\dfrac{\cos 4x+4\cos 2x+3}{8}\) et que \(\sin^4x=\dfrac{\cos 4x-4\cos 2x+3}{8}\).

4) Déduis-en que \(f(x)=\dfrac{3+\cos 4x}{4}\), puis résous dans l'intervalle \([0\,;\,\pi]\) l'équation \(f(x)=\dfrac{5}{8}\).

5) Calcule \(f'(x)\), puis étudie les variations de \(f\) sur l'intervalle \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\). Déduis-en un encadrement de \(f(x)\) sur cet intervalle et explique pourquoi cet encadrement reste vrai pour tout réel \(x\).

Un grand-père a enterré une jarre dans un champ plat. Sur son plan, chaque point est repéré par son affixe dans un repère orthonormé direct ; l'unité de longueur représente 10 mètres. Un baobab est au point \(A\) d'affixe \(a=-4\) et un karité au point \(B\) d'affixe \(b=4+2i\). Le plan indique : « Pars du piquet \(M\). Marque le point \(P\) tel que \(AP=AM\) et \(\left(\overrightarrow{AM}\,,\,\overrightarrow{AP}\right)=\dfrac{\pi}{2}\), puis le point \(Q\) tel que \(BQ=BM\) et \(\left(\overrightarrow{BM}\,,\,\overrightarrow{BQ}\right)=-\dfrac{\pi}{2}\). La jarre est au milieu \(T\) du segment \([PQ]\). » Hélas, le piquet a disparu : personne ne connaît son affixe \(z\). On suppose seulement que \(M\) est distinct de \(A\) et de \(B\). On note \(p\), \(q\) et \(t\) les affixes de \(P\), \(Q\) et \(T\).

1) Justifie que \(\dfrac{p-a}{z-a}=i\) et que \(\dfrac{q-b}{z-b}=-i\). Déduis-en que \(p=iz-4+4i\) et \(q=-iz+2+6i\).

2) Fais deux essais : calcule \(p\), \(q\) et \(t\) lorsque \(z=2-4i\), puis lorsque \(z=-2-2i\). Que remarques-tu ?

3) Démontre que l'affixe \(t\) ne dépend pas de \(z\) et donne sa valeur.

4) Écris le quotient \(\dfrac{b-t}{a-t}\) sous forme algébrique, puis déduis-en la nature du triangle \(ATB\).

5) On note \(I\) le milieu du segment \([AB]\). Écris le quotient \(\dfrac{t-z_I}{b-z_I}\) sous forme algébrique, où \(z_I\) est l'affixe de \(I\). Interprète ce résultat : explique comment retrouver la jarre à partir des deux arbres seulement, et donne la distance \(IT\) en mètres, arrondie au décimètre.