Équations différentielles

Exercice 1 — Équation du premier ordre

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y'+3y=0$ avec $y(0)=2$.

Exercice 2 — Second ordre, $\Delta>0$

Résoudre sur $\mathbb{R}$ l'équation $y''-5y'+6y=0$.

Exercice 4 — Équation caractéristique

1. $y''-5y'+6y=0$ ($\Delta>0$)  2. $y''-4y'+4y=0$ ($\Delta=0$)  3. $y''-2y'+5y=0$ ($\Delta<0$)

Exercice 3 — Forme amplitude-phase

Résoudre $y''+4y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=2$, puis écrire la solution sous forme amplitude-phase.

Exercice 4 — Équation avec second membre

Résoudre $y'-3y=e^{2x}$ avec $y(0)=4$.

Exercice 5 — Racine double

Résoudre $y''-2y'+y=0$ avec $y(0)=1$ et $y'(0)=3$.

Exercice 6 — Oscillateur harmonique

Un système masse-ressort sans frottement obéit à $x''+9x=0$, avec $x(0)=2$ et $x'(0)=0$. Déterminer $x(t)$, son amplitude et sa période.

Une boisson servie à 90 °C est posée dans une pièce où la température ambiante reste égale à 30 °C. On note \(\theta(t)\) sa température (en °C) à l'instant \(t\) (en minutes). On admet que la fonction \(\theta\) est dérivable sur \([0;+\infty[\) et vérifie \(\theta(0)=90\) et l'équation différentielle \((E)\) : \(\theta'=-0{,}2\,\theta+6\).

1) Détermine la solution constante de \((E)\). Que représente-t-elle physiquement ?

2) Démontre qu'une fonction \(\theta\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(\varphi=\theta-30\) est solution de \(y'=-0{,}2\,y\). Déduis-en toutes les solutions de \((E)\).

3) Détermine l'expression de \(\theta(t)\) vérifiant la condition initiale.

4) Au bout de combien de temps la boisson atteint-elle 60 °C ? Donne la valeur exacte puis une valeur approchée à la seconde près.

5) Étudie le sens de variation de \(\theta\) et sa limite en \(+\infty\). Interprète, puis calcule au bout de combien de temps (à 0,1 min près) la boisson n'est plus qu'à 31 °C.

On considère l'équation différentielle \((E)\) : \(y''-2y'+5y=0\), où \(y\) est une fonction deux fois dérivable sur \(\mathbb{R}\).

1) Vérifie que la fonction \(f\) définie par \(f(x)=e^{x}\cos 2x\) est solution de \((E)\).

2) Résous dans \(\mathbb{C}\) l'équation caractéristique de \((E)\), puis donne la solution générale de \((E)\).

3) Détermine la solution \(g\) de \((E)\) telle que \(g(0)=1\) et \(g'(0)=3\).

4) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(g(x)=\sqrt{2}\,e^{x}\cos\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\).

5) Résous dans \([0;\pi]\) l'équation \(g(x)=0\), puis donne le signe de \(g(x)\) sur \([0;\pi]\).

Une masse suspendue à un ressort oscille verticalement sans frottement. Sa position \(x(t)\) (en cm), mesurée à partir d'un repère fixe, à l'instant \(t\) (en s), vérifie l'équation différentielle \((E)\) : \(x''+4x=8\), avec \(x(0)=0\) et \(x'(0)=4\).

1) Détermine la solution constante \(x_0\) de \((E)\) et interprète-la.

2) Démontre que \(x\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(z=x-x_0\) est solution de \(z''+4z=0\).

3) Résous \(z''+4z=0\) et déduis-en la solution générale de \((E)\).

4) Détermine la solution vérifiant les conditions initiales, puis démontre qu'elle s'écrit \(x(t)=2+2\sqrt{2}\cos\left(2t-\frac{3\pi}{4}\right)\).

5) Donne la période, l'amplitude et la position d'équilibre du mouvement, puis les positions extrêmes de la masse et le premier instant où la position est maximale.

On considère l'équation différentielle \((E)\) : \(y''-3y'+2y=2x-3\), et l'équation homogène associée \((E_0)\) : \(y''-3y'+2y=0\).

1) Détermine les réels \(a\) et \(b\) tels que la fonction \(p\) définie par \(p(x)=ax+b\) soit solution de \((E)\).

2) Démontre qu'une fonction \(y\) est solution de \((E)\) si et seulement si \(y-p\) est solution de \((E_0)\).

3) Résous \((E_0)\), puis donne la solution générale de \((E)\).

4) Détermine la solution \(g\) de \((E)\) telle que \(g(0)=0\) et \(g'(0)=0\).

5) Démontre que, pour tout réel \(x\), \(g'(x)=-(2e^{x}+1)(e^{x}-1)\). Étudie les variations de \(g\) et déduis-en que \(g(x)\le 0\) pour tout réel \(x\). Interprète graphiquement.