Courbes planes : paramétrées et coniques

Exercice 1 — Éliminer le paramètre

Soit la courbe $\Gamma$ définie par $x(t)=t^2+1$ et $y(t)=2t$, $t\in\mathbb{R}$.

1. Exprimer $t$ en fonction de $y$.
2. En déduire une relation entre $x$ et $y$ ne comportant plus $t$.
3. Reconnaître la nature de $\Gamma$.

Exercice 2 — Tangente en un point d'une courbe paramétrée

Soit la courbe définie par $x(t)=t^2$, $y(t)=t^3$. On étudie le point $M$ obtenu pour $t=1$.

1. Calculer le vecteur dérivé $(x'(t)\,;y'(t))$ en $t=1$.
2. Justifier qu'il dirige la tangente en $M$.
3. Donner une équation de la tangente en $M$.

Exercice 3 — Étude de symétrie

Soit la courbe définie par $x(t)=t^3$, $y(t)=t$, $t\in\mathbb{R}$.

1. Comparer $M(-t)$ et $M(t)$ : montrer que $M(-t)$ est le symétrique de $M(t)$ par rapport à l'origine $O$.
2. Que peut-on en déduire pour l'étude de la courbe ?
3. Donner l'équation cartésienne de cette courbe.

Exercice 4 — Construire une parabole à partir de son foyer

On cherche la parabole de sommet $O$, d'axe focal $(Ox)$, dont le foyer est $F(2\,;0)$.

1. Déterminer le paramètre $p$.
2. Donner l'équation réduite de la parabole.
3. Donner l'équation de la directrice.
4. Le point $M(2\,;4)$ appartient-il à cette parabole ?

Exercice 5 — Construire une ellipse à partir de ses foyers

On cherche l'ellipse de foyers $F(3\,;0)$ et $F'(-3\,;0)$, telle que pour tout point $M$ de l'ellipse, $MF+MF'=10$.

1. Donner les valeurs de $c$ et de $a$.
2. Calculer $b^2$.
3. Donner l'équation réduite de l'ellipse.
4. Calculer l'excentricité $e$.

Exercice 6 — Étudier une hyperbole

Soit l'hyperbole d'équation réduite $\dfrac{x^2}{9}-\dfrac{y^2}{16}=1$.

1. Donner les valeurs de $a$ et $b$.
2. Calculer $c$.
3. Donner les foyers et l'excentricité.
4. Donner les équations des asymptotes.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\). On considère le point \(F(3\,;\,0)\), la droite \((D)\) d'équation \(x=4\) et l'ensemble \((E)\) des points \(M\) du plan tels que \(MF=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\,MH\), où \(H\) désigne le projeté orthogonal de \(M\) sur \((D)\).

1) Sans calcul, donne la nature de \((E)\). Démontre ensuite qu'un point \(M(x\,;\,y)\) appartient à \((E)\) si et seulement si \(x^2+4y^2=12\), puis écris cette équation sous forme réduite.

2) Détermine les éléments caractéristiques de \((E)\) : centre, axe focal, sommets, foyers et directrices. Retrouve l'excentricité à partir de l'équation réduite.

3) Soit \(P\) le point de \((E)\) d'abscisse 2 et d'ordonnée positive. Calcule son ordonnée, puis les distances \(PF\) et \(PH\), où \(H\) est le projeté orthogonal de \(P\) sur \((D)\). Contrôle la relation qui définit \((E)\).

4) La partie de \((E)\) située au-dessus de l'axe des abscisses est la courbe de la fonction \(f\) définie sur \([-2\sqrt{3}\,;\,2\sqrt{3}]\) par \(f(x)=\dfrac{1}{2}\sqrt{12-x^2}\). Calcule \(f'(x)\) pour \(x\) dans \(]-2\sqrt{3}\,;\,2\sqrt{3}[\), puis démontre que la tangente \((T)\) à \((E)\) en \(P\) a pour équation \(x+2\sqrt{2}\,y=6\).

5) La droite \((T)\) coupe la directrice \((D)\) en un point \(K\). Calcule les coordonnées de \(K\), puis démontre que le triangle \(PFK\) est rectangle en \(F\).

6) Soit \((C)\) le cercle de centre \(O\) et de rayon \(2\sqrt{3}\), et \(s\) l'affinité orthogonale d'axe \((O\,;\,\vec{i})\) et de rapport \(\dfrac{1}{2}\), qui à tout point de coordonnées \((x\,;\,y)\) associe le point de coordonnées \(\left(x\,;\,\dfrac{y}{2}\right)\). Démontre que l'image de \((C)\) par \(s\) est \((E)\) et déduis-en une représentation paramétrique de \((E)\). Détermine le point \(Q\) de \((C)\) dont l'image par \(s\) est \(P\), puis vérifie que la tangente à \((C)\) en \(Q\) et la droite \((T)\) coupent l'axe des abscisses au même point.

Le plan est muni d'un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\). On note \((H)\) la courbe d'équation \(3x^2-y^2=12\).

1) Écris l'équation de \((H)\) sous forme réduite et donne la nature de \((H)\). Détermine son axe focal, ses sommets, ses foyers, son excentricité, ses directrices et ses asymptotes.

2) On note \(F\) le foyer d'abscisse positive et \((D)\) la directrice d'abscisse positive. Soit \(M(x\,;\,y)\) un point de \((H)\) et \(K\) son projeté orthogonal sur \((D)\). Démontre que \(MF^2=4(x-1)^2\), puis que \(MF=2\,MK\). Quelle définition de \((H)\) retrouves-tu ? Contrôle ce résultat avec le point \(P(4\,;\,6)\).

3) Démontre que le produit des distances d'un point \(M\) de \((H)\) aux deux asymptotes ne dépend pas de \(M\), et donne sa valeur.

4) On considère les vecteurs \(\vec{u}\left(\dfrac{1}{2}\,;\,\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\) et \(\vec{v}\left(\dfrac{1}{2}\,;\,-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right)\), qui dirigent les asymptotes. Un point \(M\) a pour coordonnées \((x\,;\,y)\) dans \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\) et \((X\,;\,Y)\) dans le repère \((O\,;\,\vec{u},\vec{v})\). Exprime \(x\) et \(y\) en fonction de \(X\) et \(Y\), puis démontre que \((H)\) a pour équation \(XY=4\) dans le repère \((O\,;\,\vec{u},\vec{v})\). Contrôle avec le sommet d'abscisse positive.

5) La partie de \((H)\) formée des points d'abscisse supérieure ou égale à 2 et d'ordonnée positive est la courbe de la fonction \(g\) définie sur \([2\,;\,+\infty[\) par \(g(x)=\sqrt{3x^2-12}\). Calcule \(g'(x)\) pour \(x\gt 2\), écris une équation de la tangente \((T)\) à \((H)\) en \(P\), puis démontre que \(P\) est le seul point commun à \((T)\) et à \((H)\).

Une roue de vélo de rayon 3 décimètres roule sans glisser sur un sol horizontal. Un catadioptre est fixé sur un rayon de la roue, à 2 décimètres du centre. Dans un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\) dont l'unité est le décimètre et dont l'axe des abscisses représente le sol, on admet qu'à l'instant \(t\), exprimé en dixièmes de seconde, le centre de la roue est le point \(C(t)\) de coordonnées \((3t\,;\,3)\) et le catadioptre est le point \(M(t)\) de coordonnées \(x(t)=3t-2\sin t\) et \(y(t)=3-2\cos t\). On note \((\Gamma)\) la courbe décrite par \(M(t)\) lorsque \(t\) parcourt \(\mathbb{R}\).

1) Compare les coordonnées de \(M(t+2\pi)\), puis celles de \(M(-t)\), à celles de \(M(t)\). Explique comment obtenir toute la courbe \((\Gamma)\) à partir de l'arc décrit lorsque \(t\) parcourt \([0\,;\,\pi]\).

2) Calcule \(x'(t)\) et \(y'(t)\), étudie leur signe sur \([0\,;\,\pi]\) et dresse le tableau de variations conjoint de \(x\) et de \(y\) sur cet intervalle.

3) Précise la tangente à \((\Gamma)\) aux points de paramètres 0 et \(\pi\). Justifie qu'aucune tangente à \((\Gamma)\) n'est parallèle à l'axe des ordonnées, puis écris une équation de la tangente au point de paramètre \(\dfrac{\pi}{2}\).

4) On note \(v(t)\) la norme du vecteur vitesse du catadioptre à l'instant \(t\). Démontre que \(v(t)=\sqrt{13-12\cos t}\). Détermine la plus petite et la plus grande valeur de \(v\), les positions du catadioptre correspondantes, et compare ces valeurs à la vitesse du centre de la roue. Exprime les trois vitesses en mètres par seconde.

5) Pour \(t\) dans \([0\,;\,\pi]\), on note \(m(t)=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}\) le coefficient directeur de la tangente à \((\Gamma)\) en \(M(t)\). Étudie les variations de \(m\) et démontre que sa plus grande valeur est \(\dfrac{2\sqrt{5}}{5}\). Interprète ce résultat pour l'angle que fait la trajectoire avec le sol.

Une perche rigide \([AB]\), longue de 8 mètres, est appuyée contre un mur vertical : son pied \(A\) repose sur le sol horizontal et son sommet \(B\) touche le mur. On a noué un chiffon rouge au point \(M\) de la perche tel que \(AM=5\). Le plan vertical contenant la perche est muni d'un repère orthonormé \((O\,;\,\vec{i},\vec{j})\) d'unité le mètre, où \(O\) est le pied du mur, la demi-droite \([O\,;\,\vec{i})\) représente le sol et la demi-droite \([O\,;\,\vec{j})\) le mur. La perche glisse en restant appuyée ; on note \(t\) une mesure en radians de l'angle \(\widehat{OAB}\), avec \(t\) dans \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\), de sorte que \(A\) et \(B\) ont pour coordonnées \((8\cos t\,;\,0)\) et \((0\,;\,8\sin t)\).

1) En utilisant l'égalité \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{5}{8}\overrightarrow{AB}\), démontre que \(M\) a pour coordonnées \((3\cos t\,;\,5\sin t)\).

2) Démontre que \(M\) appartient à la courbe \((E)\) d'équation \(25x^2+9y^2=225\). Donne la nature de \((E)\), son axe focal, ses sommets, ses foyers, son excentricité et ses directrices. Quelle partie de \((E)\) le chiffon décrit-il ?

3) Détermine le vecteur dérivé au point \(M(t)\), dresse le tableau de variations conjoint des fonctions coordonnées sur \(\left[0\,;\,\dfrac{\pi}{2}\right]\) et précise les tangentes aux points de paramètres 0 et \(\dfrac{\pi}{2}\).

4) On note \(I\) le point de coordonnées \((8\cos t\,;\,8\sin t)\), quatrième sommet du rectangle \(OAIB\). Démontre que, pour tout \(t\), la tangente à la trajectoire en \(M(t)\) est perpendiculaire à la droite \((IM)\). Applique ce résultat pour écrire une équation de la tangente au point de paramètre \(t_0\) tel que \(\cos t_0=\dfrac{3}{5}\).

5) On note \(F\) le foyer de \((E)\) d'ordonnée positive et \((D)\) la directrice d'ordonnée positive. Démontre que \(MF=5-4\sin t\), puis retrouve la relation entre \(MF\) et la distance de \(M\) à \((D)\). Entre quelles valeurs la distance \(MF\) varie-t-elle pendant le glissement ?