Calcul intégral

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Exercice 1 — Intégrale d'un polynôme

Calculer $\displaystyle\int_0^2 (3x^2-2x+1)\,dx$.

Exercice 2 — Intégrale de $1/x$

Calculer $\displaystyle\int_1^e \frac{1}{x}\,dx$.

Exercice 3 — Valeur moyenne

Calculer la valeur moyenne de $f(x)=x^2$ sur $[0\,;3]$.

Exercice 4 — Double intégration par parties

Calculer $\displaystyle\int_0^1 x^2e^x\,dx$ à l'aide de deux intégrations par parties successives.

Exercice 5 — Aire entre deux courbes

Calculer l'aire du domaine délimité par les courbes $y=4-x^2$ et $y=x^2$.

Exercice 6 — Volume de révolution

Calculer le volume du solide engendré par la rotation autour de $(Ox)$ de la courbe $y=e^{-x}$ sur $[0\,;1]$.

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(I_n=\int_{0}^{1}(1-x)^n e^{x}\,dx\) ; en particulier \(I_0=\int_{0}^{1}e^{x}\,dx\). On rappelle que \(0!=1\) et que, pour tout entier \(n\geq 1\), \(n!=1\times 2\times\dots\times n\). On pose enfin \(S_n=1+\dfrac{1}{1!}+\dfrac{1}{2!}+\dots+\dfrac{1}{n!}\), avec \(S_0=1\).

1) Calcule \(I_0\).

2) À l'aide d'une intégration par parties, démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(I_{n+1}=(n+1)I_n-1\). Déduis-en les valeurs exactes de \(I_1\) et de \(I_2\).

3) Démontre que, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{1}{n+1}\leq I_n\leq\dfrac{e}{n+1}\). Quelle est la limite de la suite \((I_n)\) ?

4) Démontre par récurrence que, pour tout entier naturel \(n\), \(I_n=n!\left(e-S_n\right)\).

5) Déduis des questions 3 et 4 que, pour tout entier naturel \(n\), \(\dfrac{1}{(n+1)!}\leq e-S_n\leq\dfrac{e}{(n+1)!}\), puis détermine la limite de la suite \((S_n)\). Calcule \(S_6\) sous forme de fraction et, en admettant que \(e\lt 3\), donne un encadrement de \(e\) d'amplitude inférieure à \(10^{-3}\).

Dans un repère orthonormé d'unité graphique 2 cm, on note \((C_f)\) et \((C_g)\) les courbes des fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \([0\,;\pi]\) par \(f(x)=\sin x\) et \(g(x)=\sin 2x\). Pour tout \(x\) de \([0\,;\pi]\), on pose \(d(x)=f(x)-g(x)\).

1) Démontre que \(d(x)=\sin x\,(1-2\cos x)\). Résous l'équation \(d(x)=0\) sur \([0\,;\pi]\), étudie le signe de \(d(x)\) et déduis-en la position relative des deux courbes.

2) Calcule \(I=\int_{0}^{\pi/3}d(x)\,dx\) et \(J=\int_{\pi/3}^{\pi}d(x)\,dx\).

3) Calcule, en unités d'aire puis en cm², l'aire \(\mathcal{A}\) du domaine compris entre les deux courbes sur \([0\,;\pi]\).

4) Calcule \(\int_{0}^{\pi}d(x)\,dx\) et explique pourquoi ce nombre n'est pas égal à \(\mathcal{A}\). Donne la valeur moyenne de \(d\) sur \([0\,;\pi]\).

5) On rappelle que, pour tous réels \(a\) et \(b\), \(\sin^2 a=\dfrac{1-\cos 2a}{2}\) et \(\sin a\sin b=\dfrac{1}{2}\left[\cos(a-b)-\cos(a+b)\right]\). Démontre que \(d(x)^2=1-\dfrac{1}{2}\cos 2x-\dfrac{1}{2}\cos 4x-\cos x+\cos 3x\), puis calcule la valeur moyenne de la fonction \(d^2\) sur \([0\,;\pi]\).

Un artisan tourne une toupie dans un morceau de bois. Dans un repère orthonormé d'unité 1 cm, la toupie est le solide obtenu en faisant tourner autour de l'axe des abscisses la courbe de la fonction \(f\) définie sur \([0\,;3]\) par \(f(x)=\sqrt{3-x}\;e^{x/2}\) : à l'abscisse \(x\), la section de la toupie est un disque de rayon \(f(x)\), donc d'aire \(\pi f(x)^2\). On admet que le volume du solide est \(V=\int_{0}^{3}\pi f(x)^2\,dx\), en cm³. On pose \(g(x)=f(x)^2=(3-x)e^{x}\).

1) Calcule \(g'(x)\) et dresse le tableau de variation de \(g\) sur \([0\,;3]\). Déduis-en le plus grand rayon de la toupie et l'abscisse où il est atteint.

2) À l'aide d'une intégration par parties, démontre que \(\int_{0}^{3}(3-x)e^{x}\,dx=e^{3}-4\).

3) Donne la valeur exacte de \(V\), puis une valeur approchée au dixième de cm³. Le bois a une masse volumique de 0,8 gramme par cm³ : quelle est la masse de la toupie, au gramme près ?

4) Calcule la valeur moyenne \(m\) de \(g\) sur \([0\,;3]\). Explique pourquoi un cylindre de longueur 3 cm et de rayon \(\sqrt{m}\) a le même volume que la toupie, et donne ce rayon au dixième de cm.

5) Vérifie que la fonction \(G\) définie par \(G(x)=(4-x)e^{x}\) est une primitive de \(g\). La pointe de la toupie est la partie comprise entre les abscisses 2 et 3 : calcule son volume exact et démontre qu'elle représente environ un tiers du volume total.

On considère la fonction \(F\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(F(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{dt}{1+t^2}\). On ne cherche pas à exprimer \(F(x)\) à l'aide des fonctions usuelles.

1) Justifie que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), donne \(F'(x)\) et le sens de variation de \(F\). En dérivant la fonction \(x\mapsto F(x)+F(-x)\), démontre que \(F\) est impaire.

2) Soit \(\varphi\) la fonction définie sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\) par \(\varphi(x)=F(\tan x)\). Calcule \(\varphi'(x)\) et déduis-en que \(\varphi(x)=x\). Donne alors les valeurs exactes de \(F(1)\) et de \(F\left(\sqrt{3}\right)\), puis celle de \(\int_{1}^{\sqrt{3}}\dfrac{dt}{1+t^2}\).

3) Démontre que la fonction \(H\) définie sur \(]0\,;+\infty[\) par \(H(x)=F(x)+F\left(\dfrac{1}{x}\right)\) est constante. Déduis-en la limite de \(F\) en \(+\infty\) et interprète-la en termes d'aire.

4) Démontre que, pour tout réel \(t\), \(1-t^2\leq\dfrac{1}{1+t^2}\leq 1-t^2+t^4\). Déduis-en un encadrement de \(F(1)\), puis de \(\pi\), par des fractions.

5) À l'aide d'une intégration par parties, calcule \(K=\int_{0}^{1}\ln\left(1+t^2\right)dt\).