Vecteurs, repères, droites et plans de l'espace

Exercice 1 — QCM (chaque question : une seule bonne réponse parmi a, b, c, d)

1) Soit $A(1;2;-1)$ et $B(3;-1;2)$. Les coordonnées du vecteur $\overrightarrow{AB}$ sont :
a) $(2;-3;3)$   b) $(2;3;3)$   c) $(4;1;1)$   d) $(-2;3;-3)$

2) Une droite $D$ dirigée par $\vec u(2;-1;3)$ et passant par $A(0;1;-2)$ admet pour représentation paramétrique :
a) $\begin{cases}x=2t\\y=1-t\\z=-2+3t\end{cases}$   b) $\begin{cases}x=2t\\y=1+t\\z=-2-3t\end{cases}$   c) $\begin{cases}x=t\\y=1-2t\\z=-2+3t\end{cases}$   d) $\begin{cases}x=2t\\y=-1+t\\z=3-2t\end{cases}$

3) Les vecteurs $\vec u(1;2;0)$, $\vec v(0;1;1)$, $\vec w(1;5;3)$ sont :
a) coplanaires, avec $\vec w=\vec u+3\vec v$   b) coplanaires, avec $\vec w=2\vec u+\vec v$   c) non coplanaires   d) colinéaires deux à deux

4) Le plan $P$ a pour équation $3x-2y+z-5=0$. Le point $M(1;2;4)$ appartient-il à $P$ ?
a) Non, car $3(1)-2(2)+4-5=-2\neq0$   b) Oui   c) Non, car $M$ n'a pas 3 coordonnées   d) Impossible à déterminer

Exercice 2 — Situation d'intégration

Un ingénieur installe un pylône de télécommunication, modélisé par une droite $D$ de l'espace. Le pied du pylône est au point $A(0;0;0)$ (au sol) et le pylône est dirigé par le vecteur $\vec u(1;2;12)$ (la troisième coordonnée représente l'altitude en mètres).

Consigne :

1) Donner une représentation paramétrique de $D$.

2) Un technicien doit fixer un hauban au point du pylône situé à $24$ m d'altitude ($z=24$). Déterminer les coordonnées $x$ et $y$ de ce point.

3) Un second pylône identique est installé au point $B(10;0;0)$, dirigé par le même vecteur $\vec u$. Les droites représentant les deux pylônes sont-elles parallèles ? Sécantes ? Justifier.

Exercice 2 — Situation d'intégration

Sur le chantier de rénovation d'un lycée, un charpentier installe une poutre métallique verticale. Il place un repère orthonormé $(O;\vec\imath,\vec\jmath,\vec k)$ où le sol correspond au plan $(O;\vec\imath,\vec\jmath)$ et l'axe $(Oz)$ est vertical (unité : le mètre). Le toit plat du bâtiment est modélisé par le plan $P$ d'équation $z=6$ (soit $0x+0y+z-6=0$), et la poutre par la droite $D$ dirigée par $\vec u(0;0;1)$, passant par le point $A(3;2;0)$ au sol.

Consigne :

1) Donner le vecteur normal du plan $P$.

2) Le charpentier affirme que sa poutre $D$ est perpendiculaire au toit $P$. A-t-il raison ? Justifier à l'aide d'un produit scalaire (ou d'une comparaison de vecteurs).

3) Un second appui est prévu, dirigé par le vecteur $\vec v(1;0;1)$. Cet appui est-il, lui aussi, perpendiculaire au toit $P$ ?

Partie A. Soit $A(1;0;2)$, $B(3;-2;4)$, $C(2;1;-1)$.

1) Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$.

2) Montrer que $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ ne sont pas colinéaires (donc $A$, $B$, $C$ déterminent bien un plan).

3) Donner une représentation paramétrique du plan $(ABC)$.

Partie B. Soit le plan $P$ d'équation $x+y-z-1=0$.

4) Le point $D(2;3;4)$ appartient-il à $P$ ?

5) La droite $\Delta$ passant par $D$ et dirigée par $\vec v(1;1;1)$ est-elle incluse dans $P$, parallèle à $P$ sans lui appartenir, ou sécante à $P$ ? Préciser, le cas échéant, le point d'intersection.

Exercice 4 — Approfondissement

Dans l'espace muni d'un repère, on donne les points $A(1;0;0)$, $B(0;1;0)$, $C(0;0;1)$ et $D(1;1;1)$.

1) On cherche une équation du plan $(ABC)$ sous la forme $ax+by+cz=d$. En utilisant les coordonnées de $A$, $B$ et $C$, montrer que l'on peut choisir $a=b=c=1$ et $d=1$.

2) Le point $D$ appartient-il au plan $(ABC)$ ?

L'espace est muni d'un repère \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\). On considère les points \(A(2;1;0)\), \(B(0;3;1)\), \(C(1;0;2)\) et \(D(-1;6;0)\), ainsi que la droite \(\Delta\) passant par \(F(1;4;5)\) et de vecteur directeur \(\vec{v}(1;1;1)\).

1) Démontre que les points \(A\), \(B\) et \(C\) définissent un plan, noté \(\mathcal{P}\).

2) Détermine deux réels \(a\) et \(b\) tels que \(\overrightarrow{AD}=a\,\overrightarrow{AB}+b\,\overrightarrow{AC}\). Que peux-tu en déduire pour le point \(D\) ?

3) Écris une représentation paramétrique du plan \(\mathcal{P}\), puis démontre que \(5x+3y+4z-13=0\) est une équation cartésienne de \(\mathcal{P}\).

4) Écris une représentation paramétrique de \(\Delta\), puis détermine les coordonnées du point d'intersection \(I\) de \(\Delta\) et de \(\mathcal{P}\).

5) Démontre que le quadrilatère \(ABIC\) est un parallélogramme.

Trois drones d'épandage survolent un périmètre rizicole. Chacun vole en ligne droite et à vitesse constante. L'espace est muni d'un repère \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) ; l'unité représente 100 m et la troisième coordonnée est l'altitude. À l'instant \(t\) (en minutes, avec \(0\leq t\leq 10\)), les positions sont :
le premier drone est au point de coordonnées \((2+3t;1+t;1+2t)\) ;
le deuxième drone est au point de coordonnées \((11-t;t;2+t)\) ;
le troisième drone est au point de coordonnées \((6t;4+2t;3+4t)\).

On note \(D_1\), \(D_2\) et \(D_3\) les droites qui portent les trois trajectoires.

1) Pour chacune des droites \(D_1\) et \(D_2\), donne un point et un vecteur directeur. Ces deux droites sont-elles parallèles ?

2) Démontre que \(D_1\) et \(D_2\) sont sécantes et calcule les coordonnées de leur point d'intersection \(P\). À quelle altitude se trouve-t-il ?

3) Les drones 1 et 2 risquent-ils de se heurter ? Justifie et interprète.

4) Démontre que \(D_3\) est strictement parallèle à \(D_1\).

5) Démontre que \(D_2\) et \(D_3\) ne sont pas coplanaires. Qu'en déduis-tu pour les drones 2 et 3 ?

L'espace est muni d'un repère \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\). On considère les vecteurs \(\vec{u}(1;2;-1)\) et \(\vec{v}(2;-1;3)\) et, pour tout réel \(m\), le vecteur \(\vec{w}(4;3;m)\).

1) Démontre que \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ne sont pas colinéaires.

2) Détermine la valeur de \(m\) pour laquelle les vecteurs \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) et \(\vec{w}\) sont coplanaires, et écris alors \(\vec{w}\) en fonction de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\).

3) Dans cette question et la suivante, \(m=2\). Justifie que \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})\) est une base de l'espace.

4) Détermine les coordonnées du vecteur \(\vec{t}(1;-3;3)\) dans la base \((\vec{u},\vec{v},\vec{w})\), toujours avec \(m=2\).

5) On donne les points \(A(1;0;2)\), \(B(2;2;1)\), \(C(3;-1;5)\), \(D(5;3;3)\) et \(E(5;3;4)\). En utilisant les questions précédentes, dis si les points \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) sont coplanaires, puis si les points \(A\), \(B\), \(C\), \(E\) le sont.

Dans la cour d'un atelier, l'espace est muni d'un repère \((O;\vec{i},\vec{j},\vec{k})\) (unité : le mètre). Le sol est le plan d'équation \(z=0\) et \(z\) désigne la hauteur. Une barre rectiligne est fixée entre les points \(A(1;4;6)\) et \(B(7;0;6)\). À un instant donné, les rayons du soleil sont tous parallèles, de vecteur directeur \(\vec{d}(2;1;-3)\). L'ombre d'un point est le point où le rayon passant par ce point rencontre le premier obstacle.

1) Écris une représentation paramétrique du rayon passant par \(A\), puis calcule les coordonnées de l'ombre \(A'\) de \(A\) sur le sol.

2) Calcule de même l'ombre \(B'\) de \(B\) sur le sol. Compare les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{A'B'}\), donne la nature du quadrilatère \(ABB'A'\) et explique ce résultat.

3) Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Calcule son ombre \(I'\) sur le sol et vérifie que \(I'\) est le milieu de \([A'B']\). Quelle propriété des projections retrouves-tu ?

4) On construit un mur dans le plan d'équation \(x=8\). Démontre que l'ombre de \(B\) se forme maintenant sur le mur, en un point \(B''\) dont tu donneras les coordonnées, alors que l'ombre de \(A\) reste le point \(A'\).

5) Vérifie que \(I'\) est au pied du mur, puis décris l'ombre complète de la barre en présence du mur. Justifie.